Aus den Erwägungen:
Mit Entscheid vom 20. Oktober 2014 bewilligte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts in der Betreibung Nr. z/BA Z den Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens, soweit er den Betrag von Fr. 734.-- übersteigt. Dem Gesuchsteller auferlegte sie 10 % und der Gesuchsgegnerin 90 % der Gerichtskosten von Fr. 300.-- sowie jeder Partei ihre eigenen Parteikosten.
Gegen diesen Entscheid erhob die Gesuchsgegnerin am 3. November 2014 Kostenbeschwerde mit den Anträgen, Ziff. 3 des angefochtenen Entscheids sei aufzuheben und der Gesuchsteller sei zu verpflichten, die Gerichtskosten zu tragen und der Gesuchsgegnerin eine Anwaltskostenentschädigung von Fr. 486.-- zu bezahlen.
3.1
Der im summarischen Verfahren ergangene Entscheid über die Feststellung neuen Vermögens, gegen den in der Sache kein Rechtsmittel gegeben ist (Art. 265a Abs. 1 des Bundesgesetzes über Schuldbetreibung und Konkurs [SchKG; SR 281.1]), kann Gegenstand einer Beschwerde im Sinn von Art. 319 ff. der Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO; SR 272) bilden, wenn einzig die Verteilung der Kosten und Auslagen des erstinstanzlichen Verfahrens strittig ist (BGE 138 III 130 E. 2). Die erhobene Kostenbeschwerde ist demnach zulässig.
(…)
Die Gesuchsgegnerin rügt eine Verletzung von Art. 265a SchKG und von Art. 106 ZPO. Sie bringt vor, für die Kostenverteilung im summarischen Verfahren nach Art. 265a Abs. 1 - 3 SchKG sei ausschliesslich die Bewilligung oder Nichtbewilligung des Rechtsvorschlags massgebend; ob und allenfalls in welchem Umfang neues Vermögen festgestellt werde, bleibe demgegenüber ohne Einfluss auf das prozessuale Obsiegen bzw. Unterliegen. Sobald bloss ein Franken neues Vermögen festgestellt worden sei, werde der Rechtsvorschlag nicht bewilligt und der Schuldner sei im Sinne von Art. 106 Abs. 1 ZPO gänzlich unterlegen und kostenpflichtig.
Die vom Berner Obergericht vertretene Lösung ist nicht die einzig denkbare. In der Literatur wird auch die Gegenmeinung vertreten, dass die Kosten entsprechend anteilsmässig auf die Parteien zu verteilen sind, wenn neues Vermögen nur in einem Teilumfang festgestellt wird (Gut/Rajower/Sonnenmoser, Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens, in: AJP 5/98 S. 534). Diese Lösung, welcher der Vorzug gegeben wird, lässt sich wie folgt begründen: Gegenstand und Zweck des Verfahrens von Art. 265a Abs. 1 SchKG ist die Feststellung neuen Vermögens. Im Umfang, in welchem die Einrede des mangelnden neuen Vermögens zutrifft und der Rechtsvorschlag bewilligt wird, kommt die Betreibung zum Stillstand (BGE 139 III 498 E. 2.2.4). Soweit die Einrede abgewiesen und der Umfang des neuen Vermögens festgestellt wird, kann der Gläubiger die Betreibung entsprechend fortsetzen. Die gerichtliche Feststellung neuen Vermögens beschränkt umfangmässig die Haftung des Schuldners im Rahmen der hängigen Betreibung (BGE 136 III 51 E. 3.2). In diesem Sinne kann nur dann von einem vollständigen Obsiegen oder Unterliegen gesprochen werden, wenn entweder gar kein neues Vermögen vorhanden ist, was einem vollständigen Obsiegen des Schuldners gleichkommt, oder wenn der festgestellte Umfang des neuen Vermögens die Betreibungsforderung zu decken vermag, in welchem Fall der Schuldner mit seiner Einrede mangelnden neuen Vermögens vollständig unterliegt. In allen übrigen Fällen erzielt der Schuldner – bezogen auf das Gesamtergebnis – einen Teilerfolg (Jenny, in: Komm. zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [Hrsg. Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger], 2. Aufl. 2013, Art. 106 ZPO N 6; Fischer, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [Hrsg. Baker & McKenzie], Bern 2010, Art. 106 ZPO N 7; Urwyler, in: Schweizerische Zivilprozessordnung Komm. [Hrsg. Brunner/Gasser/Schwander], Zürich 2011, Art. 106 ZPO N 5). Auch das Bundesgericht lehnte es im Rahmen einer Willkürprüfung ab, bei der Kostenverlegung ausschliesslich darauf abzustellen, ob der Rechtsvorschlag bewilligt wird oder nicht, da das Gesetz dem Richter auftrage, den Umfang des neuen Vermögens festzustellen (BGer-Urteil 5D_15/2013 vom 5.2.2013 E. 4.3.3). Da die Gesuchsgegnerin einen Betrag von Fr. 6'460.-- in Betreibung gesetzt hat, neues Vermögen jedoch nur im Umfang von Fr. 734.-- festgestellt worden ist, hat der Gesuchsteller insofern einen Teilerfolg erzielt, als die Fortsetzung der Betreibung nur noch in diesem Umfang möglich sein wird, während sie für den Restbetrag von Fr. 5'726.-- eingestellt ist. Es ist demnach nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die Gerichtskosten prozentual aufgeteilt und jeder Partei ihre eigenen Parteikosten überbunden hat. Da die vorinstanzliche Kostenverlegung nur in grundsätzlicher Hinsicht angefochten, masslich jedoch nicht beanstandet wurde, ist die Beschwerde abzuweisen.