Aus den Erwägungen:
9.4. Subrogation der Unterhaltsansprüche an die Gemeinde Z
9.4.1.
Die Vorinstanz setzte sich mit einer allfälligen Subrogation der Unterhaltsansprüche des Klägers an die Gemeinde Z nicht auseinander.
9.4.2.
Der Beklagte macht geltend, die Kläger hätten zumindest zeitweise von materieller Hilfe durch die Gemeinde Z gelebt. Nach Art. 289 Abs. 2 des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs (ZGB; SR 210) gehe der Unterhaltsanspruch mit allen Rechten auf das Gemeinwesen über, wenn das Gemeinwesen für den Unterhalt eines Kindes aufkomme. In dem Umfang, in dem die Gemeinde Z für den Unterhalt der Kläger aufgekommen sei, sei folglich nur noch die Gemeinde Z legitimiert, Unterhaltszahlungen zu fordern. Die Vorinstanz habe jedoch unberücksichtigt gelassen, dass es dem Kläger zumindest teilweise an der Legitimation, Unterhaltszahlungen zu fordern, mangeln müsse. Die Vorinstanz habe nicht einmal abgeklärt, in welcher Zeit die Gemeinde Z in welchem Umfang für den Unterhalt der Klägerin und/oder des Klägers aufgekommen sei. Dadurch habe die Vorinstanz den Sachverhalt nicht richtig abgeklärt. Die Sache sei daher an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er stehe nicht auf dem Standpunkt, von Unterhaltsleistungen befreit zu sein, nur weil die Gemeinde Z für den Unterhalt der Klägerin und/oder des Klägers aufgekommen sei. Er stelle sich jedoch auf den Standpunkt, dass die Aktivlegitimation von Gesetzes wegen auf die Gemeinde Z übergegangen sei. In welchem Umfang die Gemeinde Z für den Unterhalt der Klägerin und/oder des Klägers aufgekommen sei, wisse er nicht und könne er auch nicht wissen. Es wäre daher Sache der Kläger gewesen, die erforderlichen Aufschlüsse zu erteilen.
9.4.3.
Mit Eingabe vom 18. April 2019 machte die Gemeinde Z geltend, für die Kläger zwischen dem 1. Februar 2016 und 31. März 2018 sowie ab dem 1. Dezember 2018 bis zur allfälligen Ablösung wirtschaftliche Sozialhilfe auszurichten bzw. ausgerichtet zu haben und deshalb in diesem Zeitraum in die Unterhaltsansprüche des Klägers zu subrogieren. Die Gemeinde Z ersuchte darum, dies im laufenden Verfahren zu berücksichtigen und die Ansprüche der Sozialdienste Z festzulegen.
9.4.4.
Der Anspruch auf Unterhaltsbeiträge steht dem Kind zu und wird, solange es minderjährig ist, durch Leistung an dessen gesetzlichen Vertreter oder an den Inhaber der Obhut erfüllt, soweit das Gericht es nicht anders bestimmt (Art. 289 Abs. 1 ZGB). Kommt jedoch das Gemeinwesen für den Unterhalt auf, geht der Unterhaltsanspruch mit allen Rechten auf das Gemeinwesen über (Abs. 2). Beim Rechtsübergang nach Art. 289 Abs. 2 ZGB handelt es sich um eine Legalzession (Subrogation) im Sinn von Art. 166 des Obligationenrechts (OR; SR 220; BGE 137 III 193 E. 2.1, 123 III 161 E. 4b; BGer-Urteil 5A_643/2016 vom 21.6.2017 E. 3.1). Zu «allen Rechten», die auf das Gemeinwesen übergehen, sind auch die Nebenrechte zu zählen. Dazu gehört das Klagerecht gemäss Art. 279 ZGB (Fountoulakis/Breitschmid/Kamp, Basler Komm., 6. Aufl. 2018, Art. 289 ZGB N 10; vgl. BGE 123 III 161 E. 4b). Art. 289 Abs. 2 ZGB bezieht sich insbesondere auf Leistungen der öffentlichen Hilfe oder Sozialhilfe, einschliesslich Vorschüsse. Sie umfasst sowohl fällige als auch in der Vergangenheit gezahlte Leistungen. Gewährt die Behörde eine Hilfe, die unter dem Unterhaltsanspruch des Kindes liegt, so tritt sie nur bis zur Höhe der gezahlten Leistungen in die Rechte des Kindes ein; für den Rest behält das Kind die Stellung eines Unterhaltsberechtigten für die vom Vater und von der Mutter geschuldeten Unterhaltsbeiträge (BGE 123 III 161 E. 4b m.H.).
Das Kantonsgericht hat im Leitentscheid 3B 18 67 vom 9. Dezember 2019 (LGVE 2020 II Nr. 4) festgehalten, dass mit der Bevorschussung der Alimentenforderung das Gemeinwesen nur in die mit der konkret bevorschussten Einzelforderung verbundenen Rechte und Nebenrechte subrogiert. Bei der Bevorschussung durch das Gemeinwesen wird somit nicht das Stammrecht, sondern werden nur die mit der konkret bevorschussten Einzelforderung verbundenen Rechte und Nebenrechte subrogiert (LGVE 2020 II Nr. 4 E. 3.2.3.8). Da das Stammrecht des Klägers, d.h. sein Unterhaltsanspruch, durch die Subrogation der einzelnen Forderungen nicht tangiert wird, bleibt er weiterhin zur Unterhaltsklage aktivlegitimiert, auch wenn die einzelnen Unterhaltsbeiträge im Umfang der erhaltenen Sozialhilfe nicht mehr dem Kläger, sondern dem unterstützenden Gemeinwesen zustehen, welches im Umfang der geleisteten Sozialhilfe in die einzelnen Unterhaltsforderungen subrogiert ist. Wäre dem nicht so, würde dies in Fällen, in welchen während eines hängigen Unterhaltsverfahrens Sozialleistungen zugesprochen werden, dazu führen, dass die Klage des Kindes nachträglich abgewiesen werden müsste, mit allen damit verbundenen Konsequenzen. Dies hätte dann auch zur Folge, dass das Gemeinwesen eine neue (eigene) Klage einzureichen hätte − und dies schlimmstenfalls gar immer wieder − weil die Dauer der Bezahlung der Sozialleistungen bzw. der Umfang der gesetzlichen Subrogation in die einzelnen Forderungen ungewiss ist. Entsprechend ist die Praxis des Kantonsgerichts Luzern im Leitentscheid LGVE 2020 II Nr. 4 zu bestätigen, wonach das Stammrecht, d.h. der Unterhaltsanspruch, nicht an das unterstützende Gemeinwesen subrogiert wird, sondern nur die einzelnen Unterhaltsforderungen bzw. konkreten Unterhaltsbeiträge im Umfang der Unterstützungsleistung an das Gemeinwesen subrogiert werden.
Im Zeitraum vom 9. Februar 2016 bis 8. November 2017 hat die Gemeinde Z durchgehend an die Kläger Sozialhilfeleistungen erbracht. Vom 19. Februar 2016 bis 31. Dezember 2016 hätte der Kläger grundsätzlich Anspruch auf einen Kinderunterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 600.--. Im Februar 2016 erhielt der Kläger zur Deckung seines Unterhaltsbedarfs von der Gemeinde Z Sozialhilfe von Fr. 766.20 (Fr. 286.20 Grundbedarf + Fr. 480.-- Anteil Mietzins Kläger), wobei später Abzüge für die Kinderzulage von Fr. 200.-- sowie die Geburtszulage von Fr. 1'000.-- erfolgten, wodurch der Kläger im Ergebnis (Saldo) für den Februar 2016 keine Unterstützung durch das Sozialamt erhielt. Von März bis Dezember 2016 erhielt der Kläger zur Deckung seines Unterhaltsbedarfs von der Gemeinde Z Sozialhilfe von monatlich Fr. 803.-- (Fr. 523.-- Anteil Grundbedarf Kläger + Fr. 480.-- Anteil Mietzins Kläger - Fr. 200.‑‑ Kinderzulage). Demnach übersteigt die von der Gemeinde Z an den Kläger vom 1. März bis 31. Dezember 2016 zur Deckung seiner Unterhaltskosten geleistete Sozialhilfe seinen Unterhaltsanspruch von monatlich Fr. 600.--. Die Gemeinde Z ist somit im Zeitraum vom 1. März bis 31. Dezember 2016 vollumfänglich in die einzelnen Unterhaltsforderungen des Klägers subrogiert, weshalb der Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 600.-- für diesen Zeitraum vom Beklagten an die Gemeinde Z zu leisten ist. Für den Februar 2016 hat der Kläger selber Anspruch auf einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 600.‑‑.
(Es folgen Ausführungen für den Zeitraum ab dem 1. Januar 2017.)