Aus den Erwägungen:
7.1. Prozesskostenvorschuss
7.1.1.
Die Gesuchsgegnerin beantragt, der Gesuchsteller sei zu verpflichten, ihr einen Prozesskostenvorschuss von einstweilen Fr. 6'000.-- zu bezahlen. Bereits im erstinstanzlichen Verfahren habe sie diesen Antrag gestellt und unter Auflage entsprechender Belege dargelegt, dass sie nicht in der Lage sei, für die Gerichts- und Anwaltskosten aufzukommen. Die Vorinstanz sei auf diesen Antrag fälschlicherweise nicht eingetreten. Zudem sei festgestellt worden, dass die Gesuchsgegnerin unter Anrechnung eines hypothetischen Einkommens und Einbezug des zugesprochenen Unterhaltsbeitrages nicht bedürftig sei. Korrekterweise sei von den tatsächlichen Verhältnissen auszugehen. Das Vorgehen der Vorinstanz sei zudem nicht korrekt, als dass diese zunächst über den Prozesskostenvorschuss und erst subsidiär über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zu entscheiden habe.
7.1.2.
Die Pflicht des Staates, der mittellosen Partei für einen nicht aussichtslosen Prozess die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, geht der ehelichen Beistands- und Unterhaltspflicht nach (Art. 159 Abs. 2 und 163 Abs. 1 ZGB). Das auf Art. 159 Abs. 3 und Art. 163 Abs. 1 und 3 ZGB basierende Prinzip der ehelichen Beistands- und Unterhaltspflicht gebietet es beiden Ehegatten, den anderen nach Kräften zu unterstützen, und verpflichtet sie namentlich, dem Partner zur Abwehr oder Durchsetzung von Rechtsansprüchen einen Prozesskostenvorschuss zu leisten. Dabei geht die familienrechtliche Unterstützungspflicht der staatlichen Pflicht zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor (BGE 142 III 36 E. 2.3, 127 I 202 E. 3b; BGer-Urteil 5A_174/2016 vom 26.5.2016 E. 2.2; Hausheer/Aebi-Müller/Geiser, Das Familienrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, 5. Aufl. 2014, § 6 N 19 und 21; Wuffli, Die unentgeltliche Rechtspflege in der Schweizerischen Zivilprozessordnung, Diss. Bern 2015, N 199). Prozesskostenvorschüsse stellen jedoch keine Unterhaltsbeiträge dar: Sie sollen dem Vorschussempfänger, der selbst nicht über die nötigen Mittel verfügt, allein die Wahrnehmung seiner Interessen vor Gericht ermöglichen; wie bei der unentgeltlichen Rechtspflege geht es mithin um die Herstellung der prozessualen Waffengleichheit zwischen den Parteien. Die definitive Kostentragung richtet sich hingegen nach den einschlägigen Bestimmungen der Zivilprozessordnung, die eigene Verteilungsregeln kennt, die in keinem Zusammenhang mit der Bevorschussung durch den Ehegatten stehen. Werden im betreffenden Entscheid die Kosten ganz oder teilweise dem Vorschussempfänger auferlegt, wird dieser gegenüber dem seinerzeitigen Erbringer des Vorschusses rückerstattungspflichtig (BGer-Urteil 5A_170/2011 vom 9.6.2011 E. 4.3). Anders als im Scheidungsprozess, in dem über das Begehren eines Ehegatten, der andere habe ihm einen Prozesskostenvorschuss zu leisten, vorab in einem Verfahren um vorsorgliche Massnahmen zu befinden ist, wird ein solcher Antrag in einem Eheschutzverfahren, das seinerseits die provisorische Regelung der Verhältnisse zum Gegenstand hat, nicht vorweg behandelt; ebenso wenig wird vorausgesetzt, dass ein UR-Gesuchsteller vorgängig ein Massnahmenverfahren gegen den unterstützungspflichtigen Ehegatten zur Leistung der Prozesskostenvorschüsse einleitet. Vielmehr wird in solchen Fällen von der Erhebung eines Gerichtskostenvorschusses abgesehen und über die Kostentragung direkt mit der Hauptsache entschieden. Dasselbe gilt praxisgemäss in Verfahren um vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsprozesses, in denen nicht gleichsam ein Unterverfahren zwecks Erstreitung eines Prozesskostenvorschusses für das Massnahmenverfahren initiiert werden soll. Im Kanton Luzern wurde bisher in Summarverfahren von daher davon abgesehen, einen Antrag auf Prozesskostenvorschuss vorab zu behandeln. Vielmehr wurde die Leistungsfähigkeit der Parteien geprüft und bei der Kostenverlegung entsprechend berücksichtigt (LGVE 2002 I Nr. 37). Gemäss der neusten bundesgerichtlichen Rechtsprechung muss über ein Prozesskostenvorschussgesuch jedoch auch ohne vorsorgliche Zusprechung im Endentscheid über den Antrag entschieden werden, wenn die antragstellende Partei Prozesskosten tragen muss (BGer 5A_590/2019 vom 13. Februar 2020, kommentiert in ius.focus 4/2020 Nr. 84; BGer 5D_66/2020 vom 14. August 2020; Aebi-Müller, Die privatrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts im Jahr 2020, ZBJV 157/2021 S. 440 f.).
7.1.3.
Wie ausgeführt, entspricht es der kantonalen Praxis, dass über Anträge betreffend Prozesskostenvorschüsse im Eheschutzverfahren nicht vorab entschieden wird. Daran ist auch weiterhin festzuhalten. Wenn jedoch, wie vorliegend, die Vorinstanz in ihrem Endentscheid der gesuchstellenden Partei einen Anteil der Kosten, auch in Berücksichtigung von Art. 107 Abs. 1 lit. c ZPO, auferlegt, so hat sie im Lichte der zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung über den Antrag im Endentscheid materiell zu befinden. Die Vorinstanz hat eine hälftige Kostenteilung ausgefällt. Aufgrund dieser Kostenauferlegung zu Lasten der Gesuchsgegnerin hätte sie anschliessend auf den Antrag der Gesuchsgegnerin betreffend Prozesskostenvorschuss eintreten und diesen materiell prüfen müssen, selbst wenn sie anschliessend zum Schluss kommt, dass der Antrag wegen fehlender Bedürftigkeit abzuweisen wäre. (…)
Der Mangel wird mit dem vorliegenden Entscheid geheilt. Das Kantonsgericht verfügt im vorliegenden Verfahren über volle Kognition und eine Rückweisung an die Vorinstanz käme einem formalistischen Leerlauf gleich (BGE 143 IV 380 E. 1.4.1, 137 I 195 E. 2.2 und 2.3.2). Nachdem das Verfahren mit dem vorliegenden Entscheid abgeschlossen ist, ist nicht von einem Prozesskostenvorschuss, sondern vielmehr von einem Prozesskostenbeitrag zu sprechen. Dabei handelt es sich nicht um eine vorsorglich angeordnete Massnahme, sondern vielmehr um die definitive Verpflichtung zur Bezahlung eines Beitrags des leistungsfähigen Ehegatten an den leistungsarmen, damit dieser die Prozesskosten bezahlen kann. Die Verrechnung der gegenseitigen Ansprüche im Rahmen der güterrechtlichen Auseinandersetzung im Scheidungsverfahren bleibt vorbehalten (vgl. Weingart, Provisio ad litem – Der Prozesskostenvorschuss für eherechtliche Verfahren, in: Festschrift für Jolanta Kren Kostkiewicz, 2018, S. 677 ff., 681). Demnach ist nachfolgend der Anspruch der Gesuchsgegnerin auf Zusprechung eines Prozesskostenbeitrags sowohl im Zeitpunkt des erstinstanzlichen Entscheides (Urteilsdatum 5. Juli 2023) als auch zum Zeitpunkt des zweitinstanzlichen Entscheides (Urteilsdatum 14. März 2024) zu prüfen.