Aus den Erwägungen:
5.1.
Vorab stellt sich die Frage, welcher Gebührenrahmen für dieses Eheschutzverfahren zur Anwendung gelangt. Gemäss § 31 Abs. 1 der Verordnung über die Kosten in Zivil-, Straf- und verwaltungsgerichtlichen Verfahren (JusKV; SRL Nr. 265) beträgt die ordentliche Gebühr für die berufsmässige Vertretung 75 bis 150 % der Gebühr nach den §§ 4-8 und 12-13 der nämlichen Verordnung. In summarischen Verfahren bewegen sich die ordentlichen Gerichtsgebühren für nicht vermögensrechtliche Streitigkeiten zwischen Fr. 300.-- und Fr. 4'000.-- (§ 7 Abs. 1 JusKV), die Anwaltsgebühren mithin zwischen Fr. 225.-- und Fr. 6'000.--. Für vermögensrechtliche Streitigkeiten bis zu einem Streitwert von Fr. 100'000.-- sieht die Kostenverordnung Gerichtskosten von Fr. 300.-- bis Fr. 5'000.-- und damit Anwaltsentschädigungen von Fr. 225.-- bis Fr. 7'500.-- vor; bei einem Streitwert über Fr. 100'000.-- können Gerichtsgebühren zwischen Fr. 2'000.-- und Fr. 10'000.-- und dementsprechend Anwaltshonorare von Fr. 1'500.-- bis Fr. 15'000.-- gesprochen werden (§ 7 Abs. 2 und § 31 Abs. 1 JusKV).
Die Unterscheidung von vermögens- und nicht vermögensrechtlichen Streitigkeiten in Summarverfahren kannten bereits die früheren Kostenverordnungen des Obergerichts unter der Herrschaft der Luzerner Zivilprozessordnung, aber auch der geltenden Schweizerischen Zivilprozessordnung. So ist dem Entscheid des Obergerichts Luzern 22 10 20 vom 30. April 2010, E. 7.2, Folgendes zu entnehmen:
"Nach § 56 KoV beträgt die Anwaltsgebühr im summarischen Verfahren Fr. 400.-- bis Fr. 4'000.--, bei einem sehr hohen Streit- oder Interessenwert bis Fr. 10'000.--. Unter letzterem sind vor allem materielle Interessen zu verstehen, die langfristige Konsequenzen wirtschaftlicher Natur nach sich ziehen können (namentlich Prozesse betreffend Immaterialgüterrecht, UWG und Persönlichkeitsschutz). Dagegen stehen in familienrechtlichen Verfahren bezüglich der Kinderbelange nicht materielle, sondern ideelle Interessen im Vordergrund. Materielle Interessen sind vor allem bei der güterrechtlichen Auseinandersetzung zu beurteilen, also nicht in einem Summarverfahren, sondern in einem ordentlichen Zivilprozess, in welchem dem Streitwert gemäss § 55 Abs. 2 KoV Rechnung getragen werden kann. Beizufügen ist, dass in Prozessen bezüglich der Kinderbelange die uneingeschränkte Offizial- und Untersuchungsmaxime gilt, was zu einer Entlastung der Anwälte führt. In der Kostenverordnung wird durchaus berücksichtigt, dass auch ein Summarverfahren überdurchschnittliche Aufwendungen verursachen kann. Diesem Umstand wurde mit der Schaffung von § 65 KoV Rechnung getragen."
In seinem Urteil 3B 11 75 vom 8. Februar 2012 hielt das Obergericht unter der Herrschaft des neuen Zivilprozessrechts in Erwägung 2.3 explizit fest, nach § 31 Abs. 1 i.V.m. § 7 Abs. 2 lit. a der Kostenverordnung (in der bis am 30.9.2012 gültigen Fassung; aKoV) betrage der Gebührenrahmen für die anwaltliche Vertretung in Eheschutzverfahren Fr. 225.-- bis Fr. 7'500.--. Der höhere Gebührenrahmen gemäss lit. b der letztgenannten Norm (für einen Streitwert über Fr. 100'000.--) sei nach der Praxis des Obergerichts bei Unterhaltsbeiträgen nicht anwendbar.
An dieser Rechtsprechung ist festzuhalten, zumal die Höhe der festzusetzenden Unterhaltsbeiträge grundsätzlich wenig über Art und Umfang der Prozessführung aussagt. Der vorliegende Fall zeigt zudem, dass das Schwergewicht der prozessualen Bemühungen auf Seiten des Gerichts wie der Anwaltschaft ohnehin auf die Beurteilung der Kinderbelange gerichtet war. Die höhere Streitwertgrenze von über Fr. 100'000.-- soll weiterhin vermögensrechtlichen Summarverfahren im engeren Sinne, namentlich solchen im Immaterialgüterrecht, vorbehalten bleiben. Im hier zu beurteilenden Eheschutzverfahren gelangt somit der tiefere Gebührenrahmen mit Anwaltsentschädigungen zwischen Fr. 225.-- und Fr. 7'500.-- zur Anwendung. Besonderen Aufwendungen kann immer noch gestützt auf § 2 Abs. 2 JusKV Rechnung getragen werden.