Es liegt ein interkantonaler Kompetenzkonflikt nach Art. 444 des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs (ZGB; SR 210) vor. Nachdem die involvierten Erwachsenenschutzbehörden ihre Differenzen betreffend örtliche Zuständigkeit im Meinungsaustausch nicht klären konnten, unterbreitete die im Kanton Luzern domizilierte erstbefasste Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde die Frage ihrer Zuständigkeit der gerichtlichen Beschwerdeinstanz.
Aus den Erwägungen:
3.
3.1.
Das Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB ist gesetzlich nicht näher umschrieben; entsprechendes gilt für den vorgelagerten Meinungsaustausch zwischen den betroffenen Behörden. Auch den Gesetzesmaterialien lassen sich keine Hinweise dazu entnehmen (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28.6.2006, in: BBl 2006 7076 f.). Sinn und Zweck der Regelung von Art. 444 ZGB ist eine einfache und rasche Klärung der Frage der Zuständigkeit. Dabei ist davon auszugehen, dass die – erstbefasste – Erwachsenenschutzbehörde ihre Zuständigkeit von Amtes wegen prüft (vgl. Art. 444 Abs. 1 ZGB). Sie hat den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen (Art. 446 Abs. 1 ZGB), zieht die erforderlichen Erkundigungen ein und erhebt die notwendigen Beweise (Art. 446 Abs. 2 ZGB). Ein zweckdienlicher Meinungsaustausch der involvierten Behörden und die Beilegung allfälliger Differenzen in Bezug auf die örtliche Zuständigkeit bedingen, dass sich die Behörden hinsichtlich der für die Bestimmung des Wohnsitzes wesentlichen Tatsachen, einschliesslich deren rechtliche Würdigung, auseinandersetzen. Verbleibt ein Dissens, greift Art. 444 Abs. 4 ZGB Platz. Mit Blick auf die massgeblichen Verfahrensgrundsätze (Art. 444 Abs. 1 und Art. 446 Abs. 1 und 2 ZGB) sowie den Gegenstand und die Funktion des Meinungsaustausches ist ein Gesuch um gerichtliche Klärung des Kompetenzkonflikts substantiiert zu begründen und vollständig zu dokumentieren, so dass das angerufene Gericht ohne weitere Beweismassnahmen darüber entscheiden kann (vgl. Urteil des Kantonsgerichts Luzern 3H 14 117 vom 21.1.2015 E. 1.3).
3.2.
3.2.1.
Das Bundesgericht kam in BGE 141 III 84 zum Schluss, Art. 444 Abs. 4 ZGB ermächtige die zwecks Klärung des Kompetenzkonflikts angerufene kantonalgerichtliche Beschwerdeinstanz nicht im Sinne von Art. 120 Abs. 2 des Bundesgesetzes über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) dazu, die Zuständigkeit einer Erwachsenenschutzbehörde eines anderen Kantons mit bindender Wirkung zu bestimmen. Die Kantone haben den negativen interkantonalen Kompetenzkonflikt auf dem Klageweg gemäss Art. 120 Abs. 1 lit. b BGG auszutragen (BGE 141 III 84 E. 4.7). Damit schloss sich das Bundesgericht der von einer Minderheit in der Lehre vertretenen Auffassung an, wonach die Beschwerdeinstanz eines Kantons nur über die Nichtzuständigkeit der Behörde des eigenen Kantons verbindlich entscheiden könne (BGE 141 III 84 E. 3.4.1 mit weiteren Hinweisen).
Kann das kantonale Gericht nur die Zuständigkeit der ihm unterstellten Behörde mit bindender Wirkung bestimmen, während es ihm verwehrt ist, über die Zuständigkeit einer Erwachsenenschutzbehörde in einem anderen Kanton zu befinden, und steht fest, dass interkantonale Kompetenzkonflikte auf dem Klageweg gemäss Art. 120 Abs. 1 lit. b BGG auszutragen sind, fragt sich, ob der Klageeinreichung gleichwohl eine Beurteilung der Zuständigkeit der Gesuchstellerin durch die kantonale Beschwerdeinstanz gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB vorauszugehen hat.
3.2.2.
Das Bundesgericht bejaht dies implizit, erwähnte es doch in BGE 141 III 84 E. 4.5.1 im Zusammenhang mit der Erläuterung des Klageverfahrens, dass diesem vorangehend bereits gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB eine gerichtliche Beschwerdeinstanz den für die Zuständigkeit massgebenden Sachverhalt abgeklärt habe.
3.2.3.
Das Obergericht des Kantons Bern (in seiner Funktion als Kindes- und Erwachsenenschutzgericht) gelangte in seinem Entscheid vom 26. Oktober 2015 zu einem anderen Schluss. Dabei ging es um einen interkantonalen Kompetenzkonflikt zwischen der KESB X., welche als zuerst befasste Behörde ein Gesuch im Sinn von Art. 444 Abs. 4 ZGB an das bernische Obergericht richtete, und der ausserkantonalen KESB Y. Das bernische Obergericht war angerufen worden, nachdem die beiden Erwachsenenschutzbehörden trotz vorgängigem Meinungsaustausch nach Art. 444 Abs. 3 ZGB ihre Differenzen betreffend örtliche Zuständigkeit nicht hatten klären können. Das bernische Obergericht begründete seinen auf Nichteintreten lautenden Entscheid damit, es fehle an einem schutzwürdigen Interesse. Gemäss dem in E. 3.2.1 hievor zitierten Urteil des Bundesgerichts könne die KESB X. als Gesuchstellerin mit ihrem Feststellungsantrag – selbst im Falle einer Gutheissung durch das Kindes- und Erwachsenenschutzgericht – nicht erreichen, was sie sich erhoffe. Im Falle einer Gutheissung des Gesuchs (der KESB X.) hätte der Entscheid keine direkte verbindliche Wirkung, sondern würde einzig dazu dienen, dem Kanton Argumente zu liefern, um eine allfällige Klage gemäss Art. 120 Abs. 1 lit. b BGG zu begründen. Dies sei nicht der Sinn des Verfahrens vor der Beschwerdeinstanz und vermöge kein Rechtsschutzinteresse zu begründen; wobei einzig das Rechtsschutzinteresse der Gesuchstellerin ausschlaggebend sei. Ein solches sei zu verneinen, wenn die Gesuchstellerin aus dem Verwaltungsakt keinen praktischen Nutzen ziehen könnte. Ebenso fehle es – nach dem Grundsatz der Subsidiarität – an einem Rechtsschutzinteresse, wenn eine andere Rechtsschutzmöglichkeit bestehe, die von der Sache her näher liege und einen mindestens gleichwertigen Rechtsschutz biete (Entscheid des Kindes- und Erwachsenenschutzgerichts des Kantons Bern KES 15 669 vom 26.10.2015).
3.3.
3.3.1.
Das Bundesgericht verneinte in BGE 141 III 84 eine Verfügungskompetenz der gerichtlichen Beschwerdeinstanz gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB bezüglich der ausserkantonalen Behörde. Das Gericht tat dies in Auslegung von Art. 444 ZGB, aber auch in Auslegung von Art. 120 Abs. 2 BGG (BGE 141 III 84 E. 3 und 4).
Ob mit der fehlenden Verfügungsbefugnis hinsichtlich ausserkantonaler Erwachsenenschutzbehörden bei interkantonalen Zuständigkeitskonflikten – nach fehlgeschlagenem Meinungsaustausch (gemäss Art. 444 Abs. 3 ZGB) und vor der Klage gemäss Art. 120 Abs. 1 BGG – eine Prüfung der Zuständigkeitsfrage durch die kantonalgerichtliche Beschwerdeinstanz gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB vorauszugehen hat, ist ebenfalls im Wege der Auslegung zu ermitteln.
Massgebend für jede Auslegung ist in erster Linie der Wortlaut der fraglichen Bestimmung. Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Interpretationen möglich, so muss nach der wahren Tragweite der Bestimmung gesucht werden, wobei alle Auslegungselemente zu berücksichtigen sind (Methodenpluralismus). Dabei kommt es namentlich auf die Entstehungsgeschichte, auf den Zweck der Norm, auf die ihr zugrunde liegenden Wertungen und auf den Sinnzusammenhang an, in dem die Norm steht. Die Gesetzesmaterialien sind zwar nicht unmittelbar entscheidend, dienen aber als Hilfsmittel, den Sinn der Norm zu erkennen. Nach der Rechtsprechung darf die Auslegung vom klaren Wortlaut eines Rechtssatzes nur dann abweichen, wenn triftige Gründe dafür bestehen, dass er nicht den wahren Sinn der Bestimmung wiedergibt. Solche triftigen Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte, aus dem Sinn und Zweck der Vorschrift und aus dem Zusammenhang mit anderen Gesetzesbestimmungen ergeben. Entscheidend ist danach nicht der vordergründig klare Wortlaut einer Norm, sondern der wahre Rechtssinn, welcher durch die anerkannten Regeln der Auslegung zu ermitteln ist (BGE 140 III 289 E. 2.1).
3.3.2.
Gemäss Art. 444 ZGB prüft die Erwachsenenschutzbehörde "ihre Zuständigkeit" (Abs. 1: "sa compétence"; "la propria competenza"); sie unterbreitet "die Frage ihrer Zuständigkeit" (Abs. 4: "la question de sa compétence"; "la questione della propria competenza") der gerichtlichen Beschwerdeinstanz. Der Prüfungsgegenstand ändert im Verlaufe des Verfahrens nicht. Der Wortlaut enthält keinerlei Hinweise darauf, dass die gerichtliche Beschwerdeinstanz gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB einzig nach fehlgeschlagenem Meinungsaustausch bei innerkantonalen Zuständigkeitskonflikten anzurufen ist.
3.3.3.
Entstehungsgeschichtlich ist – unter Verweis auf BGE 141 III 84 E. 3.2 und 3.3 – festzuhalten, dass nicht restlos klar war, was die Erwachsenenschutzbehörde der gerichtlichen Beschwerdeinstanz unterbreitet: Laut Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches (Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht) bindet der Zuständigkeitsentscheid der angerufenen Beschwerdeinstanz grundsätzlich auch die Behörde des anderen Kantons, der unterliegende Kanton ist jedoch berechtigt, gegen diesen Entscheid beim Bundesgericht zivilrechtliche Beschwerde zu führen (BBl 2006 7076 f.). Der Entwurf sah in Art. 444 Abs. 4 vor, dass die zuerst befasste Behörde "die Angelegenheit" ("l'affaire"; "la controversia") der gerichtlichen Beschwerdeinstanz unterbreitet, wenn im Meinungsaustausch keine Einigung erzielt werden kann (BBl 2006 7163). Auf Antrag seiner Kommission beschloss der Ständerat den Wortlaut von Art. 444 Abs. 4 des Entwurfs dahin gehend zu ändern, dass die zuerst befasste Behörde "die Frage ihrer Zuständigkeit" ("la question de sa compétence") der gerichtlichen Beschwerdeinstanz unterbreitet. Für die Kommission erläuterte Ständerat Bonhôte die Präzisierung mit den Worten: "l'instance judiciaire de recours doit bien trancher la question de la compétence et non le fond en l'occurence" (AB 2007 S 840). Der Nationalrat stimmte dem Beschluss des Ständerates diskussionslos zu (AB 2008 N 1539). Beweggrund für die Präzisierung des Ständerats war indessen nicht so sehr die Sorge, dass die gerichtliche Beschwerdeinstanz über die Zuständigkeitsfrage hinaus gleich in der Sache entscheidet. Vielmehr ist es offenbar darum gegangen, dass die Beschwerdeinstanz des einen Kantons nur über die Nichtzuständigkeit der Behörde ihres eigenen Kantons verbindlich entscheiden, hingegen nicht einem anderen Kanton die Zuständigkeit vorschreiben kann (BGE 141 III 84 E. 3.2.2 und 3.2.3 mit Hinweisen). Die Entstehungsgeschichte lässt keine eindeutigen Schlüsse darüber zu, ob bei interkantonalen Kompetenzkonflikten eine Zuständigkeitsprüfung durch die gerichtliche Beschwerdeinstanz gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB ausser Betracht fällt.
3.3.4.
Sinn und Zweck von Art. 444 Abs. 4 ZGB liegt darin, den trotz Meinungsaustausch fortbestehenden negativen Kompetenzkonflikt beizulegen. Wird der Konflikt der gerichtlichen Beschwerdeinstanz vorgelegt, ist dessen Entscheid ein taugliches Mittel, auf die Beendigung des Kompetenzkonflikts hinzuwirken. Das gilt bei inner- wie interkantonalen negativen Kompetenzkonflikten gleichermassen: Sind innerkantonale Behörden betroffen, fällt dem Gericht die Aufgabe und Befugnis zu, verfügungsweise die örtlich zuständige Behörde zu bestimmen. Wie bereits erwogen, verneinte das Bundesgericht in BGE 141 III 84 eine Verfügungskompetenz der gerichtlichen Beschwerdeinstanz gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB bezüglich der ausserkantonalen Behörde. Dass entsprechende Streitigkeiten, so sie fortdauern, vom Bundesgericht auf Klage hin zu entscheiden sind, ändert nichts daran, dass ein vorgängiger Entscheid der gerichtlichen Beschwerdeinstanz über die Zuständigkeit/Nichtzuständigkeit der Behörde aus seinem Kanton durchaus der Streiterledigung zweckdienlich ist. Die Beurteilung der gerichtlichen Beschwerdeinstanz gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB kann die involvierten Behörden in ihrer Sicht bestärken oder aber zu neuen Schlüssen führen und dadurch im interkantonalen Verhältnis eine Klage entbehrlich machen. Sei es, dass der Kanton, dessen Behörde die Beschwerdeinstanz angerufen hat, den Entscheid der Beschwerdeinstanz als richtig qualifiziert, wonach die zuerst befasste Behörde örtlich zuständig ist, oder aber ein gegenteiliges Ergebnis (Feststellung, wonach die zuerst befasste Behörde nicht zuständig sei, sondern die ausserkantonale Behörde) von der ausserkantonalen Behörde als zutreffend beurteilt wird. Die fehlende Verfügungsbefugnis hinsichtlich ausserkantonaler Erwachsenenschutzbehörden bei interkantonalen Zuständigkeitskonflikten – nach fehlgeschlagenem Meinungsaustausch gemäss Art. 444 Abs. 3 ZGB und vor allfälliger Klage nach Art. 120 Abs. 1 BGG – führt nicht dazu, dass Art. 444 Abs. 4 ZGB bei interkantonalen Zuständigkeitskonflikten nicht einschlägig wäre.
3.3.5.
Wortlaut wie Materialien lassen für sich allein nach dem Gesagten nicht darauf schliessen, dass Art. 444 Abs. 4 ZGB bloss bei inner-, nicht aber bei interkantonalen Zuständigkeitskonflikten einschlägig ist. Nichts Anderes ergibt sich unter Berücksichtigung des teleologischen Auslegungselements. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass Art. 444 Abs. 4 ZGB auch bei interkantonalen Zuständigkeitskonflikten einschlägig ist. Der abweichenden Rechtsauffassung des Obergerichts des Kantons Bern kann nicht gefolgt werden. Sie verträgt sich mit dem Normzweck des Art. 444 Abs. 4 ZGB nicht; mit Blick auf die obige Auslegung überzeugt es nicht, dass eine Beurteilung der Zuständigkeit durch die gerichtliche Beschwerdeinstanz nur dann Platz greifen soll, wenn das prüfende Gericht auch allseitig, d.h. betreffend Gesuchstellerin wie Gesuchsgegnerin, verfügend tätig werden kann.
3.4.
Auf das – nicht an eine Frist gebundene – Gesuch der KESB Z ist nach dem Gesagten einzutreten.