Aus den Erwägungen:
3.2.2.
Gemäss Art. 276 Abs. 2 des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs (ZGB; SR 210) sorgen die Eltern gemeinsam, ein jeder Elternteil nach seinen Kräften, für den gebührenden Unterhalt des Kindes und tragen insbesondere die Kosten von Betreuung, Erziehung, Ausbildung und Kindesschutzmassnahmen. Der Unterhalt wird durch Pflege, Erziehung und Geldzahlung geleistet (Art. 276 Abs. 1 ZGB). Übersteigen die Unterhaltskosten die Möglichkeiten der Familie, bestimmt das öffentliche Recht, wer die (verbleibenden) Kosten zu tragen hat (vgl. Art. 293 Abs. 1 ZGB). Damit wird in erster Linie auf die einschlägigen Bestimmungen des (kantonalen) Sozialhilferechts verwiesen (vgl. § 27 Abs. 3 des kantonalen Sozialhilfegesetzes [SHG; SRL Nr. 892] sowie § 31 Abs. 1 SHG in Verbindung mit den Empfehlungen der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe [im Folgenden: SKOS-Richtlinien], Kapitel F.3.3). Kommt die Sozialbehörde mangels Leistungsfähigkeit der Unterhaltspflichtigen für die Kosten von Kindesschutzmassnahmen auf, ist sie an den (bundesrechtskonform gefällten) Entscheid der zuständigen Kindesschutzbehörde gebunden (vgl. BGE 135 V 134 E. 3 f.).
3.2.3.
Art. 276 ZGB begründet keine zum Voraus quantitativ bestimmbare Schuld, sondern die grundsätzliche Leistungspflicht der Eltern, wobei im Grundverhältnis von Gesetzes wegen Solidarität besteht. Auf der Ebene der konkreten Leistungspflicht können sich indes unterschiedliche Beitragspflichten der Eltern ergeben (vgl. Hegnauer, Berner Komm., Bern 1997, Art. 276 ZGB N 60 und N 64 f.). Dies gilt auch in Bezug auf die Kostenfolgen einer Weisung nach Art. 273 Abs. 2 ZGB, mit welcher die Ausübung von Besuchskontakten in Anwesenheit einer oder mehrerer Drittpersonen (begleitetes Besuchsrecht) angeordnet wird (vgl. zur Systematik von Kindesschutzmassnahmen Affolter/Vogel, Berner Komm., Bern 2016, Vorbem. Art. 307-327c ZGB N 177 ff.; Biderbost, in: Handkomm. zum Schweizer Privatrecht, 3. Aufl. 2016, Art. 307 ZGB N 2).
3.2.4.
Nach allgemeiner und konstanter Praxis sind die mit dem Besuchsrecht verbundenen (gewöhnlichen) Kosten vom Besuchsrechtsberechtigten zu tragen (vgl. Schwenzer/Cottier, Basler Komm., 6. Aufl. 2018, Art. 273 ZGB N 20, Büchler, in: FamKomm. Scheidung [Hrsg. Schwenzer/Fankhauser], 3. Aufl. 2017, Art. 273 ZGB N 31, Wider/Pfister-Wiederkehr, in: Rosch/Fountoulakis/Heck [Hrsg.], Handbuch Kindes- und Erwachsenenschutz, 2. Aufl. 2018, N 754, KOKES, Praxisanleitung Kindesschutzrecht, Zürich/St. Gallen 2017, N 15.34). Eine abweichende Kostenverteilung ist jedoch zulässig, wenn sie namentlich im Hinblick auf die finanzielle Lage der Eltern als billig erscheint und nicht mittelbar die Interessen des Kindes beeinträchtigt, indem die für den Unterhalt des Kindes notwendigen Mittel für die Kosten der Besuchsrechtsausübung verwendet werden (BGer-Urteile 5A_288/2019 vom 16.8.2019 E. 5.5, 5A_292/2009 vom 2.7.2009 E. 2.3.1.3 und 7B.145/2005 vom 11.10.2005 E. 3.2; Urteil des Obergerichts Luzern 22 02 111 vom 23.12.2002, in: FamPra.ch 2003 S. 957; Schwenzer/Cottier, a.a.O., Art. 273 ZGB N 20). Dem Kind können − unter Vorbehalt von Art. 276 Abs. 3 ZGB − keine Besuchskosten auferlegt werden (vgl. Häfeli, Kosten für begleitete Besuchstage von unmündigen Kindern mit ihrem nicht obhutsberechtigten Elternteil, in: ZVW 2001 S. 199).
Im hier zu beurteilenden Fall steht ein begleitetes Besuchsrecht mit den damit einhergehenden ausserordentlichen Kosten zur Diskussion. Lehre und Rechtsprechung sind sich einig, dass die für ein begleitetes Besuchsrecht anfallenden Mehrkosten in der Regel von demjenigen Elternteil zu tragen sind, der die Begleitung zu vertreten hat. Sind beispielsweise auf Seiten des besuchsberechtigten Elternteils das Kindeswohl gefährdende Verhaltensweisen oder Verdachtsmomente vorhanden (z.B. sexuelle Übergriffe, Gewaltanwendungen, Entführungsgefahr) oder ist das Wohl des Kindes aufgrund einer Suchtabhängigkeit oder einer psychischen Erkrankung des besuchsberechtigten Elternteils gefährdet, hat dieser die Mehrkosten alleine zu tragen (vgl. dazu Schwenzer/Cottier, a.a.O., Art. 273 ZGB N 26 und N 28, Büchler, a.a.O, Art. 274 ZGB N 17 und N 19, Wider/Pfister-Wiederkehr, a.a.O., N 755, KOKES-Praxisanleitung, a.a.O., N 15.34).
Eine Aufteilung der Mehrkosten, die ein begleitetes Besuchsrecht verursacht, kommt dann in Frage, wenn die Begleitung wegen stark zerstrittener Eltern angeordnet werden muss. Diesfalls rechtfertigt sich eine Beteiligung des obhutsberechtigten Elternteils an den Kosten. Im Falle der Aufteilung der Kosten ist grundsätzlich von der jeweiligen wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit der Eltern auszugehen (vgl. Häfeli, a.a.O., S. 200; Schwenzer/Cottier, a.a.O., Art. 273 ZGB N 28, Büchler, a.a.O., Art. 274 ZGB N 19, Wider/Pfister-Wiederkehr, a.a.O., N 755, KOKES-Praxisanleitung, a.a.O., N 15.34). Häfeli (vgl. ZVW 2001 S. 198 ff.) hält dafür, dass die Aufteilung der Mehrkosten nach den Regeln der Unterhaltsbemessung auszuhandeln und eine Einigung anzustreben ist. Kann keine Einigung erzielt werden, ist die Vormundschaftsbehörde gemäss Häfeli nicht legitimiert, den Betrag der Eltern durch Verfügung festzulegen, sondern es ist das zuständige Gericht anzurufen (Häfeli, a.a.O., S. 200). Letzteres erscheint fraglich, da die Kosten der Ausübung des Besuchsrechts direkte Folge der verfügten Besuchsregelung sind. Grundsätzlich folgt die sachliche Zuständigkeit für den Kostenentscheid jener in der Hauptsache. Entsprechend sollte nach der hier vertretenen Auffassung mit der Regelung des begleiteten Besuchsrechts auch über die Kostentragung entschieden werden (so auch Büchler, a.a.O., Art. 274 ZGB N 19). Dabei ist zu beachten, dass bereits die Zuweisung der Mehrkosten der Begleitung an den verursachenden Elternteil einen Entscheid über die Tragung von Unterhaltskosten darstellt. Weshalb hier die sachliche Zuständigkeit gegeben sein sollte, bei der Aufteilung der Kosten zwischen den Eltern jedoch nicht, scheint nicht nachvollziehbar. Die unmittelbare Regelung der Kostenfrage ist – wie hier – insbesondere in jenen Fällen von besonderer Relevanz, in denen die Kosten der Ausübung des persönlichen Verkehrs den üblichen Umfang überschreiten, weil spezielle Anordnungen betreffend die Ausübung des Besuchsrechts getroffen wurden, wie beispielsweise die Anordnung eines begleiteten Besuchsrechts. Für die gleichzeitige Regelung von Besuchsrecht und Kostentragung spricht sodann der Zeitfaktor. Mit Blick auf das Kindeswohl und das Recht der Eltern auf Kontakte kann und darf es nicht sein, dass mit der Begründung, über Besuchskosten habe im Streitfall nicht die KESB, sondern das Zivilgericht zu entscheiden, auf eine Kostenregelung verzichtet wird und damit Besuchskontakte allenfalls über lange Zeit verunmöglicht werden (vgl. dazu im Grundsatz auch BGer-Urteil 8C_25/2018 vom 19.6.2018). Die Frage kann vorliegend jedoch offengelassen werden, weil im hier zu beurteilenden Fall keine Aufteilung der Kosten zwischen den Eltern zur Diskussion steht. Vielmehr ist – entgegen der Ausführungen der Beschwerdegegnerin – klar, dass die Mutter die Besuchsbegleitung zu vertreten und daher die Kosten zu tragen hat, zumal sich der Vater nicht in wirtschaftlich guten Verhältnissen befindet.
3.2.5.
Die zuständige Behörde hat bei der Regelung der Frage, wer für die Kosten des Besuchsrechts aufzukommen hat, nicht gleichzeitig über die subsidiäre Kostentragung im Fall der Bedürftigkeit des pflichtigen Elternteils zu entscheiden. Ein solcher Entscheid würde bei finanzkräftigen Eltern, welche die Kosten problemlos selber übernehmen können, gar keinen Sinn machen. Sodann liegt die Zuständigkeit für die Klärung einer allfälligen sozialhilferechtlichen Bedürftigkeit des pflichtigen Elternteils nicht bei den zivilrechtlichen Behörden. Für die Prüfung des Anspruchs auf Sozialhilfe sind – nach Massgabe des kantonalen Sozialhilferechts – vielmehr die Sozialbehörden zuständig (vgl. E. 3.2.2). Nach der hier vertretenen Auffassung hat die KESB aber über die Kostentragung (jeweiliger Anteil der Eltern) zu entscheiden, da andernfalls das unterstützungspflichtige Gemeinwesen nicht bestimmt werden kann (vgl. oben E. 3.2.4 sowie nachfolgend E. 3.2.6).
3.2.6.
Für die Bemessung der wirtschaftlichen Hilfe sind nach § 31 Absatz 1 SHG die SKOS-Richtlinien wegleitend. In den aktuellen SKOS-Richtlinien werden im Kapitel C.1.3 als situationsbedingte Leistungen unter anderem Besuchsrechtskosten aufgeführt. Diese fallen den Eltern an, sind also von der für die Eltern zuständigen Sozialbehörde und nicht von jener am Unterstützungswohnsitz des Kindes zu übernehmen. Da diese Kosten bei den Eltern anfallen, sind sie in deren Unterstützungsbudget aufzunehmen und von der für die Eltern zuständigen Sozialbehörde zu übernehmen. Nicht zuständig ist hingegen die Sozialbehörde, welche im Bedarfsfall das Kind finanziell unterstützt (so auch Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen OH 2017/1 vom 21.11.2018 E. 2.2). Grundsätzlich wird (auch) im Sozialhilferecht zwischen den üblichen Besuchsrechtskosten (insbesondere Reise- und Verpflegungskosten) und den Mehrkosten bei besonderen Anordnungen (z.B. begleitetes Besuchsrecht) unterschieden. Zwar wird in den SKOS-Richtlinien nicht explizit erwähnt, dass zu den Mehrkosten im Zusammenhang mit der Ausübung des Besuchsrechts auch die Kosten einer Begleitung zählen, doch macht eine Unterscheidung der Finanzierung der 'üblichen Besuchskosten' und der 'Mehrkosten bei besonderen Anordnungen' schon aus praktischen Gründen keinen Sinn, sind doch auch Fälle von besonderen Mehrkosten mit geringem Ausmass (z.B. Spesenersatz für Begleitung durch Bekannte) denkbar. Das Luzerner Handbuch für Sozialhilfe (Ausgabe 9 vom Januar 2020) hält denn auch sowohl für die 'Kosten im Normalfall' als auch in Bezug auf die 'Kostentragung bei besonderen Anordnungen (begleitetes Besuchsrecht)' fest, dass solche Mehrkosten (den betroffenen Eltern) in Form von situationsbedingten Leistungen ausgerichtet werden (vgl. Luzerner Handbuch für Sozialhilfe, C.1.3 Familie, Kosten für das Besuchsrecht). Klar ist, dass eine Sozialbehörde im Streitfall nicht über eine (bereits festgelegte oder von der zuständigen Behörde festzulegende) Kostenverteilung entscheiden kann.