Aus den Erwägungen:
3.2.
3.2.1.
Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde ist gemäss Art. 446 Abs. 2 Satz 3 des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs (ZGB; SR 210) verpflichtet, das Gutachten einer sachverständigen Person anzuordnen, sofern dies notwendig ist, um den Sachverhalt festzustellen. Die Begutachtung ist nach Möglichkeit ambulant durchzuführen. Bei der Abklärung des Sachverhalts ist die betroffene Person zur Mitwirkung verpflichtet. Nötigenfalls kann die Behörde die zwangsweise Durchsetzung der Mitwirkungspflicht anordnen (Art. 448 Abs. 1 ZGB). Ist eine psychiatrische Begutachtung unerlässlich und kann diese nicht ambulant durchgeführt werden, räumt Art. 449 Abs. 1 ZGB der Behörde darüber hinaus die Kompetenz ein, die Person gegen ihren Willen zur Begutachtung in eine geeignete Einrichtung einzuweisen. Der Gesetzesartikel bezieht sich systematisch lediglich auf den Erwachsenenschutz. Dessen ungeachtet kommt die Bestimmung aber auch im Kindesschutz zur Anwendung, wenn eine erwachsene Person begutachtet werden soll (BGer-Urteil 5A_211/2014 vom 14.7.2014 E. 3.5; Maranta/Auer/Marti, Basler Komm., 6. Aufl. 2018, Art. 449 ZGB N 1 f.). Art. 449 Abs. 2 ZGB gewährt die gleichen Rechtsschutzgarantien wie bei der fürsorgerischen Unterbringung (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28.6.2006, in: Bundesblatt [BBl] 2006 7001 [nachfolgend: Botschaft Erwachsenenschutz] S. 7081).
Eine Unterbringung zur stationären Begutachtung gegen den Willen der betroffenen Person setzt gemäss Art. 449 ZGB voraus, dass eine psychiatrische Begutachtung unerlässlich ist. Dies ist der Fall, wenn eine Massnahme des Kindes- und Erwachsenenschutzes (in der Regel eine fürsorgerische Unterbringung, allenfalls aber auch eine andere Schutzmassnahme, wie der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts) ernsthaft in Betracht gezogen wird, aber wichtige Grundlagen für einen definitiven Entscheid noch fehlen (BGer-Urteile 5A_162/2020 vom 28.2.2020 E. 2.3 und 5A_211/2014 vom 14.7.2014 E. 3.2.3; Maranta/Auer/Marti, a.a.O., Art. 449 ZGB N 6). Die zu diesem Zweck angeordnete stationäre Unterbringung ist deshalb nur zulässig, wenn der Grundsatz der Verhältnismässigkeit gewahrt ist. Das setzt voraus, dass alle in Frage kommenden Möglichkeiten, die weniger in die persönliche Freiheit der betroffenen Person eingreifen, entweder vorher ausgeschöpft wurden oder aufgrund der Umstände von vornherein erfolglos bleiben müssen (Steck, in: FamKomm. Erwachsenenschutz [Hrsg. Büchler/Häfeli/Leuba/Stettler], Bern 2013, Art. 449 ZGB N 9).
3.2.2.
Die stationäre Begutachtung gemäss Art. 449 ZGB ist von der fürsorgerischen Unterbringung abzugrenzen. Laut Art. 426 Abs. 1 ZGB darf eine Person, die an einer psychischen Störung oder an geistiger Behinderung leidet oder schwer verwahrlost ist, in einer geeigneten Einrichtung untergebracht werden, wenn die nötige Behandlung oder Betreuung nicht anders erfolgen kann. Denselben Schutzzweck verfolgt Art. 429 ZGB, der die ärztliche Unterbringung regelt. Während die fürsorgerische Unterbringung im Sinn von Art. 426 Abs. 1 bzw. Art. 429 Abs. 1 ZGB zur Behandlung und/oder Betreuung erfolgt, handelt es sich bei der Einweisung zur Begutachtung (Art. 449 Abs. 1 ZGB) um eine Massnahme zur Abklärung der Verhältnisse. Damit unterscheiden sich die Voraussetzungen für die Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung von jenen für eine Einweisung zur Begutachtung (BGer-Urteil 5A_162/2020 vom 28.2.2020 E. 2.3 mit Hinweisen). Eine Behandlung der (ausschliesslich) zur Begutachtung eingewiesenen Person ist unzulässig. Der zur Begutachtung verfügte Aufenthalt in einer Einrichtung ist auf die absolut notwendige Zeit zu beschränken (BGer-Urteile 5A_900/2013 vom 11.12.2013 E. 2.1, 5A_162/2020 vom 28.2.2020 E. 3.1).
3.3.
3.3.1.
Eine Begutachtung kann somit grundsätzlich sowohl im Rahmen des Erwachsenenschutzes als auch im Rahmen des Kindesschutzes in einer Einrichtung angeordnet werden, sofern die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (vgl. oben E. 3.2.1; BGer-Urteil 5A_211/2014 vom 14.7.2014 E. 3.4 und 3.5). Der jeweilige Anknüpfungsschwerpunkt (Kindes- oder Erwachsenenschutz) kann sich auf die Frage der örtlichen Zuständigkeit auswirken.
(…)
3.4.
3.4.1.
Vorliegend hat der Präsident der KESB Z am 21. April 2021 gestützt auf die Einschätzung der Gutachterin vom 14. April 2021 als superprovisorische Massnahme die Einweisung der Beschwerdeführerin in die Psychiatrische Klinik Y zwecks Begutachtung angeordnet. Zu prüfen ist, ob dieses Vorgehen (superprovisorische Anordnung einer stationären Begutachtung in Einzelzuständigkeit) zulässig ist.
3.4.2.
Gemäss § 48 Abs. 1 des Einführungsgesetzes zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch (EGZGB; SRL Nr. 200) entscheidet die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde in der Regel in Dreierbesetzung. In § 49 EGZGB werden die Geschäfte des Kindes- und Erwachsenenschutzes aufgeführt, die in die Zuständigkeit eines einzelnen Mitglieds der Behörde fallen. Es handelt sich dabei um Geschäfte mit eher geringen Ermessensspielräumen, für welche aus Gründen der Flexibilität und Speditivität vom Erfordernis der interdisziplinären Zusammensetzung abgesehen werden kann (Botschaft B 13 des Regierungsrates vom 23.8.2011 zum Entwurf einer Änderung des EGZGB [Einführung neues Kindes- und Erwachsenenschutzrecht], Kapitel II.3 [Verfahren vor der Fachbehörde] S. 9). Die Aufzählung ist abschliessend. Alle weiteren Geschäfte, welche nicht kraft Gesetz der Einzelzuständigkeit zugewiesen sind, fallen in die Zuständigkeit der Fachbehörde als Kollegium. Die Kompetenz der Fachbehörde ist vor allem im Kernbereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes gefragt, mithin bei der Anordnung von Massnahmen. Hier ist die Entscheidzuständigkeit des Kollegiums insbesondere deshalb unentbehrlich, weil oft eine Beschränkung der Handlungsfähigkeit der Betroffenen auf dem Spiel steht oder auf andere Weise schwerwiegend in die Persönlichkeitsrechte der betroffenen Person eingegriffen wird (vgl. Botschaft B 13, Kapitel V.1 [Ausführungen zu § 49 EGZGB] S. 23). § 50 EGZGB sieht sodann vor, dass vorsorgliche Massnahmen in dringenden Fällen vom Präsidenten oder von der Präsidentin oder von einem anderen Mitglied der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde angeordnet werden können.
3.4.3.
Nachdem die Anordnung einer stationären Begutachtung nach Art. 449 Abs. 1 ZGB im Katalog der Einzelzuständigkeiten von § 49 EGZGB nicht erwähnt ist, kommt als mögliche Rechtsgrundlage für die getroffene Anordnung nur noch eine allfällige Einzelzuständigkeit gestützt auf § 50 EGZGB in Betracht. Damit stellt sich die Frage, ob die Unterbringung zur Begutachtung als vorsorgliche Massnahme − beziehungsweise bei besonderer Dringlichkeit als superprovisorische Massnahme ohne Anhörung der betroffenen Person − im Sinn von Art. 445 ZGB angeordnet werden kann. Dies ist nicht der Fall. Wie bereits dargelegt (vgl. oben E. 3.2.1), ist gestützt auf Art. 449 Abs. 1 ZGB eine stationäre Begutachtung gegen den Willen der betroffenen Person nur zulässig, wenn der Grundsatz der Verhältnismässigkeit gewahrt ist. Vorsorgliche Massnahmen setzen insbesondere zeitliche Dringlichkeit voraus (im Falle der Anordnung einer superprovisorischen Massnahme gemäss Art. 445 Abs. 2 ZGB sogar besondere Dringlichkeit). Dringlichkeit liegt vor, wenn der Endentscheid nicht abgewartet werden kann, um das Wohl der betroffenen Person zu schützen (vgl. Maranta/Auer/Marti, a.a.O., Art. 445 ZGB N 6 ff.). Bei einer Einweisung zur Begutachtung liegt kein Notfall vor (Botschaft Erwachsenenschutz, in: BBl 2006 7065). Da die Einweisung zur Begutachtung nicht der Krisenintervention dient, kann sie mangels Dringlichkeit nicht vorsorglich (und schon gar nicht superprovisorisch) angeordnet werden (vgl. Maranta/Auer/Marti, a.a.O., Art. 445 ZGB N 12 und Art. 449 ZGB N 15; Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau WBE.2013.82 vom 6.3.2013). Macht der psychische Zustand der betroffenen Person eine umgehend wirkende Massnahme erforderlich, kommt nur eine fürsorgerische Unterbringung im Sinn von Art. 426 Abs. 1 beziehungsweise Art. 429 Abs. 1 ZGB in Betracht.
Nach dem Gesagten kann die Einweisung zur Begutachtung nicht als vorsorgliche Massnahme angeordnet werden, da es sich nicht um eine eigentliche Krisenintervention handelt, in der sofort ein Entscheid gefällt werden muss. Demgemäss war der Präsident der KESB Z nicht zuständig, in Einzelkompetenz eine Einweisung der Beschwerdeführerin in die Klinik Y zur Begutachtung anzuordnen. Ein solcher Entscheid wäre vielmehr − nach Anhörung der Beschwerdeführerin − von der Fachbehörde als Kollegium zu fällen gewesen, unter sinngemässer Berücksichtigung der Bestimmungen über das Verfahren bei fürsorgerischer Unterbringung (vgl. Art. 449 Abs. 2 ZGB). Da die Anordnung einer stationären Begutachtung − ebenso wie eine fürsorgerische Unterbringung − einen schweren Eingriff in das Grundrecht der persönlichen Freiheit bedeutet, ist mit besonderer Sorgfalt sicherzustellen, dass die Verfahrensrechte der betroffenen Person gewahrt werden, was insbesondere die vorgängige Gewährung des rechtlichen Gehörs und die Garantie des Rechtsschutzes (Zugang zum Gericht) umfasst (vgl. auch nachfolgend E. 3.4.5). Die sinngemässe Anwendbarkeit der Bestimmungen über die fürsorgerische Unterbringung verdeutlicht sodann zusätzlich, dass die Anordnung einer stationären Begutachtung niemals in Form einer superprovisorischen Massnahme, welche einstweilen ohne Anhörung der am Verfahren beteiligten Personen getroffen wird und nicht anfechtbar ist, erfolgen kann. Mit Blick auf die Schwere des Grundrechtseingriffs ist sodann sicherzustellen, dass der Aufenthalt zur Begutachtung auf die absolut notwendige Zeit beschränkt bleibt.
3.4.4.
Es wurde bereits ausgeführt, dass die ausschliessliche Einweisung zur Begutachtung nach Art. 449 ZGB keine hinreichende gesetzliche Grundlage für eine Behandlung der betroffenen Person ohne deren Zustimmung darstellt (vgl. oben E. 3.2.2). Eine Massnahme zum Schutz der Beschwerdeführerin hätte daher ausschliesslich in Anwendung der Bestimmungen über die fürsorgerische Unterbringung erfolgen dürfen (Art. 426 Abs. 1 bzw. Art. 429 Abs. 1 ZGB). Mit Blick auf die Akten, insbesondere die Einschätzung der Gutachterin zur Selbstgefährdung der Beschwerdeführerin, wären die Voraussetzungen für eine fürsorgerische Unterbringung vorliegend mutmasslich erfüllt gewesen. Entsprechend hätte zur Krisenintervention nicht − oder zumindest nicht ausschliesslich − eine Einweisung zur Begutachtung erfolgen dürfen, sondern es wäre (zusätzlich) eine fürsorgerische Unterbringung zur Behandlung und/oder Betreuung anzuordnen gewesen.
3.4.5.
Inwieweit ein einzelnes Behördenmitglied ausnahmsweise gestützt auf § 50 EGZGB legitimiert sein könnte, eine fürsorgerische Freiheitsentziehung anzuordnen, braucht vorliegend nicht abschliessend beurteilt zu werden, da eine solche Anordnung (zumindest in Anwendung der einschlägigen Bestimmungen) gerade nicht erfolgt ist. Angemerkt sei, dass die Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung als freiheitsbeschränkende Massnahme grundsätzlich in die Zuständigkeit der Fachbehörde als Kollegium fällt (vgl. Art. 428 Abs. 1 und Art. 440 Abs. 2 ZGB, § 48 Abs. 1 und § 49 EGZGB sowie oben E. 3.4.2). Wie das Bundesrecht unter einschränkenden Voraussetzungen vorsieht, dürfen auch Ärztinnen und Ärzte fürsorgerische Unterbringungen anordnen (Art. 429 ff. ZGB). Die Umsetzung der bundesrechtlichen Vorgaben beruht dabei im Kanton Luzern − wie bereits unter Geltung des früheren Vormundschaftsrechts − auf dem Grundkonzept, dass eine fürsorgerische Unterbringung, welche wegen zeitlicher Dringlichkeit nicht im Rahmen eines ordentlichen Verfahrens angeordnet werden kann, grundsätzlich durch einen Arzt oder eine Ärztin erfolgt (§ 41 Abs. 1 lit. a und b EGZGB, § 47 Abs. 3 EGZGB; vgl. Botschaft B 50 des Regierungsrates vom 28.6.2016 zum Entwurf einer Änderung des EGZGB [Anpassungen im Kindes- und Erwachsenenschutzrecht], Kapitel 6.5 S. 10; Botschaft B 13, Kapitel V.1 [Ausführungen zu § 41 EGZGB] S. 19). Hervorzuheben ist, dass bei der Unterbringung in einer stationären Einrichtung zur Behandlung und/oder Betreuung (fürsorgerische Unterbringung) − wie auch bei der Einweisung zur psychiatrischen Begutachtung − die Verfahrensrechte der betroffenen Person gewahrt werden müssen (vgl. auch Art. 430 und Art. 443 ff. ZGB), liegt doch ein schwerer Eingriff in das Grundrecht der persönlichen Freiheit vor. Dies beinhaltet insbesondere die vorgängige Gewährung des rechtlichen Gehörs (vgl. Art. 430 ZGB und Art. 447 Abs. 2 ZGB) und die Gewährleistung des Zugangs zum Gericht (vgl. Art. 450 ZGB und Art. 450e ZGB), was ordnungsgemäss auch einen entsprechenden Hinweis auf die Möglichkeit der Anfechtung des Entscheids (Rechtsmittelbelehrung) umfasst. Obschon nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sei bezüglich des Instituts der fürsorgerischen Unterbringung ausdrücklich klargestellt, dass die genannten Anforderungen nicht erfüllt wären, wenn eine solche Massnahme im Rahmen einer (nicht anfechtbaren) superprovisorischen Verfügung angeordnet würde. Dieses Vorgehen würde auch dem Beschleunigungsgebot widersprechen, welches bezüglich der fürsorgerischen Unterbringung im Zivilgesetzbuch eigens spezifiziert wird (vgl. Art. 439 Abs. 2 sowie Art. 450e Abs. 5 ZGB). Ob die KESB eine fürsorgerische Unterbringung im Sinne einer vorsorglichen Massnahme anordnen kann, ist in der Lehre umstritten (vgl. dazu Maranta/ Auer/Marti, a.a.O., Art. 445 ZGB N 15 f. mit Hinweisen). Dazu muss vorliegend − wie eingangs erwähnt − nicht abschliessend Stellung genommen werden. Immerhin ist darauf hinzuweisen, dass Art. 426 Abs. 1 ZGB die Voraussetzungen umschreibt, unter denen eine fürsorgerische Unterbringung (als Grundrechtseingriff) angeordnet werden kann. Diese gesetzlichen Voraussetzungen für einen Grundrechtseingriff müssten auch im Anwendungsfall einer vorsorglichen Massnahme erfüllt sein.
3.5.
3.5.1.
Fehlerhafte Entscheide sind nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung nichtig, wenn der ihnen anhaftende Mangel besonders schwer ist, wenn er sich als offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar erweist und die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird. Inhaltliche Mängel einer Entscheidung führen nur in seltenen Ausnahmefällen zur Nichtigkeit. Als Nichtigkeitsgründe fallen vorab funktionelle und sachliche Unzuständigkeit der entscheidenden Behörde sowie schwerwiegende Verfahrensfehler in Betracht (BGE 145 III 436 E. 4, 139 II 243 E. 11.2, 132 II 21 E. 3.1 mit Hinweisen).
3.5.2.
Vorliegend hat der Präsident der KESB Z in Einzelkompetenz eine stationäre Begutachtung angeordnet, ohne dafür zuständig zu sein (vgl. oben E. 3.4.3). Die getroffene Anordnung stellt sodann im Ergebnis eine fürsorgerische Unterbringung nach Art. 426 ZGB dar, ohne dass die einschlägigen Verfahrensbestimmungen Anwendung gefunden hätten und der Rechtsschutz gewährleistet worden wäre. Da mit dieser faktischen Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung ein schwerer Eingriff in die Rechtsstellung der betroffenen Person einhergeht, stellt dieses Vorgehen einen schwerwiegenden Verfahrensfehler dar. Dies führt dazu, dass die Dispositiv-Ziffer 1 der Entscheidung als nichtig zu betrachten ist.