Aus den Erwägungen:
Gemäss § 53 des Gesetzes über das öffentlich-rechtliche Arbeitsverhältnis (PG; SRL Nr. 51) sind Nebenbeschäftigungen, welche die Erfüllung der Dienstpflichten beeinträchtigen können, untersagt. Die zuständige Behörde kann aus wichtigen Gründen Ausnahmen bewilligen (Abs. 1). Der Regierungsrat regelt das Nähere (Abs. 2). In der Personalverordnung bezeichnete der Regierungsrat die untersagten Nebenbeschäftigungen in nicht abschliessender Form. Dazu gehören nach § 47 Abs. 1 lit. d der Verordnung zum Personalgesetz (PVO; SRL Nr. 52) unter anderem diejenigen Tätigkeiten, die zusammen mit der Anstellung beim Gemeinwesen ein Ausmass erreichen, das ein Vollamt wesentlich überschreitet.
Die Nebenbeschäftigung ist eine Tätigkeit, die nicht in der Stellenbeschreibung enthalten ist bzw. grundsätzlich nicht zum Pflichtenheft einer Mitarbeiterin oder eines Mitarbeiters gehört. Die Nebenbeschäftigung kann besoldet oder unbesoldet, sie kann politischer, wirtschaftlicher oder ideeller Natur sein. Wenn eine Nebenbeschäftigung weder Arbeitszeit beansprucht noch anderweitig die Erfüllung der Dienstpflichten beeinträchtigt, darf die zuständige Behörde diese weder verbieten noch einer Bewilligungspflicht unterstellen. Allerdings wird eine Nebenbeschäftigung, die zusammen mit der Anstellung beim Gemeinwesen ein Pensum von mehr als 120 % eines Vollzeitpensums ergibt – von einer hier nicht relevanten Ausnahme abgesehen –, als unzulässig bezeichnet (vgl. Dienststelle Personal des Kantons Luzern, Personalhandbuch, Kapitel 9).
(Es folgen Ausführungen zur geltend gemachten Verletzung des rechtlichen Gehörs.)
Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz habe entgegen den Vorschriften von § 18 PG keine Mahnung ausgesprochen. Es fehle damit an einer formellen Voraussetzung zur Aussprache der Kündigung, was sie rechtswidrig werden lasse.
Die Vorinstanz beruft sich auf das zerstörte Vertrauensverhältnis. Der Beschwerdeführer habe sie über Jahre wissentlich hintergangen, indem er in einem Pensum für einen anderen Arbeitgeber tätig gewesen sei, das im Rahmen der Bewilligung einer Nebenbeschäftigung niemals gebilligt worden wäre. Der Vertrauensbruch sei unüberbrückbar. Dies insbesondere deshalb, weil der Beschwerdeführer als Kadermitglied mit Führungsverantwortung der Anstalt A gehandelt habe. Auch nachdem er am 10. Juli 2013 zur Rede gestellt worden sei, habe er weiter beteuert, sein Engagement für die Institution B beschränke sich auf wenige Sitzungen pro Jahr. Unter diesen Umständen habe sie auf die Mahnung verzichten dürfen.
7.1.
Stützt die Arbeitgeberin ihre Kündigung auf § 18 lit. b PG, hat sie den Arbeitnehmer nach konstanter Rechtsprechung des Gerichts vorgängig schriftlich zu mahnen (vgl. LGVE 2004 II Nr. 4 E. 3 mit weiteren Ausführungen, auch zum Folgenden). Zwar sind Durchbrechungen dieses Grundsatzes nicht ausgeschlossen, sie müssen aber auf Einzelfälle beschränkt sein. Ein – rechtmässiger – Verzicht auf eine schriftliche Mahnung kann dann gerechtfertigt sein, wenn bereits ein einmaliges Vorkommnis zur unwiederbringlichen Zerrüttung des Vertrauensverhältnisses geführt hat. Dies trifft insbesondere dort zu, wo ein wichtiger Grund im Sinn des § 19 PG vorliegt, sich also die fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses erwägen liesse. Wenn in solchen Fällen der Arbeitgeber dennoch den Weg der ordentlichen Kündigung beschreitet, soll er nicht zur vorgängigen schriftlichen Mahnung gehalten sein. Im gleichen Zug wird hier indes im Regelfall die sofortige Freistellung des Arbeitnehmers zu erfolgen haben, da bei unveränderter Weiterbeschäftigung im bisherigen Rahmen die nachträgliche Berufung auf Unzumutbarkeit (vgl. § 19 Abs. 2 PG) nicht ohne weiteres gehört werden dürfte.
7.2.
Der Beschwerdeführer hat im Jahr 2000 weitreichende Aufgaben innerhalb der Institution B übernommen und diese seither weitergeführt und ausgebaut. Erst auf konkrete Nachfrage des damaligen Anstaltsdirektors C im Januar 2011 informierte er seine Arbeitgeberin über sein ausserbetriebliches Engagement. Er umriss seinen jährlichen Aufwand mit insgesamt 40 bis 50 Stunden. Auch anlässlich des mit dem ehemaligen Direktor geführten Gesprächs präzisierte der Beschwerdeführer seinen Aufwand nicht. In der Folge befürwortete C die Gutheissung des Gesuchs um Erlaubnis der Nebenbeschäftigung gegenüber der Dienststellenleiterin, handle es sich beim Einsatz des Beschwerdeführers "wohl eher um eine ehrenamtliche Tätigkeit". Die Rückfrage beim Präsidenten des Instituts B ergab jedoch, dass der Arbeitseinsatz des Beschwerdeführers in den Jahren 2008 bis 2013 zwischen 40 und 50 % schwankte und Lohnrelevanz aufwies. (…). Erst nachdem der Präsident Auskunft über den Arbeitsumfang des Beschwerdeführers gegeben hatte, rückte Letzterer von seiner bis anhin vertretenen Meinung ab, es handle sich um eine untergeordnete Beschäftigung. Er anerbot, sein Engagement in der Institution B zurück zu nehmen oder sein Pensum bei der Vorinstanz zu reduzieren. Dazu zeigte sich die Vorinstanz nicht bereit und stellte dem Beschwerdeführer die Kündigung in Aussicht, ohne ihn vorab zu mahnen.
7.3.
Wie aufgezeigt, darf nur in Ausnahmefällen vom Erfordernis der schriftlichen Mahnung abgesehen werden. Der Beschwerdeführer bestreitet denn auch, dass hier ein solcher Ausnahmefall vorliegen soll.
Das Gesetz regelt die Nebenbeschäftigung in § 53 PG und verweist in Bezug auf die detaillierten Ausführungen auf die Verordnung. Letztere hält in § 47 lit. d PVO fest, dass insbesondere Nebenbeschäftigungen untersagt sind, die zusammen mit der Anstellung beim Gemeinwesen ein Ausmass erreichen, das ein Vollamt wesentlich überschreitet. Der Beschwerdeführer war in einem 100 %-Pensum bei der Vorinstanz tätig und übte zugleich eine weitere Tätigkeit aus, deren Aufwand mit 40 - 50 Stellenprozent umschrieben wird. Insgesamt ergibt sich damit ein Arbeitspensum von über 120 %, was die Dienststelle Personal als nicht mehr zulässig erachtet (vgl. vorstehende E. 5). Gemäss deren Ansicht wäre eine Tätigkeit in einem solchen Ausmass nur dann erlaubt, wenn es sich dabei um ein "Amt" handelt (vgl. Dienststelle Personal, Personalhandbuch, Kapitel 9.3 i.V.m. 9.8). Der Beschwerdeführer macht in seiner Replik geltend, er sei in seine Funktion "gewählt" worden, also übe er ein "Amt" aus, womit seine Nebenbeschäftigung zulässig sei. Ob die Auffassung des Beschwerdeführers zutrifft, kann hier mit Verweis auf die nachfolgenden Ausführungen offen bleiben, da die prozentuale Höhe der Nebenbeschäftigung im vorliegenden Fall nicht das entscheidende Kriterium ist.
Das Gericht forderte beim Beschwerdeführer Bescheinigungen über den Grad (Std./Monat) und die Art der Beschäftigung seiner Nebentätigkeit in den Jahren 2008 bis August 2013 sowie über die erhaltenen Entschädigungen in den Jahren 2008 bis August 2013 mittels Lohnausweisen ein. Dabei bestätigte der Präsident der Institution B, dass zwischen der Institution und dem Beschwerdeführer in den Jahren 2008 bis 2013 ein Arbeitsverhältnis bestand und dass dieses je nach Arbeitsanfall zwischen 40 und 50 % betrug. Aus den eingereichten Lohnausweisen geht hervor, dass der Beschwerdeführer in diesen Jahren Bruttolöhne in der Höhe von Fr. 65'455.-- (2008), Fr. 72'020.-- (2009), Fr. 86'485.-- (2010), Fr. 79'200.-- (2011) und Fr. 80'990.-- (2012) bezogen hatte. Für die Monate Januar bis August 2013 wies er einen monatlichen Bruttolohn von Fr. 6'360.-- auf.
Der Beschwerdeführer hatte seine Arbeitgeberin nicht aus eigenem Antrieb über seine Nebentätigkeit bzw. deren beträchtlichen Umfang in Kenntnis gesetzt. Selbst auf entsprechende Anfrage des Anstaltsdirektors im Januar 2011 behauptete er, es handle sich um eine wenig zeitintensive und mehrheitlich ehrenamtliche Tätigkeit. Das Gleiche brachte er am Gespräch vom 10. Juli 2013 und in seinem Schreiben vom 7. August 2013 an die Vorsteherin der Dienststelle vor. Dies trifft keineswegs zu. Der Beschwerdeführer bewältigte in den letzten fünf Jahren zusätzlich zu seiner 100 %-Anstellung bei der Vorinstanz ein Pensum von mindestens 40 % und erzielte dabei jeweils einen zusätzlichen Jahreslohn von mindestens Fr. 65'000.-- (brutto). Dieses Verhalten des Beschwerdeführers ist mit Blick auf die ihm in dieser Hinsicht obliegenden Offenlegungs- und Treuepflicht gegenüber seiner Arbeitgeberin nicht tolerierbar. Wenn die Vorinstanz unter diesen Umständen von einem nicht mehr heilbaren Vertrauensbruch ausgeht, ist dies nicht zu beanstanden. Das Verhalten des Beschwerdeführers wiegt insbesondere auch mit Blick auf seine Führungsfunktion in einem sensiblen Anstaltsbetrieb schwer, so dass in diesem Fall das Vorliegen eines erheblichen Vertrauensverlusts bejaht werden kann und damit ausnahmsweise auf das Aussprechen einer Mahnung verzichtet werden durfte (LGVE 2004 II Nr. 4 E. 2c und 3c). Dass der Vertrauensverlust seiner Vorgesetzten tatsächlich die entsprechende Schwere erreichte, zeigt sich auch daran, dass der Beschwerdeführer bis zum Ende seiner Anstellung von seiner Arbeit frei gestellt wurde.
Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, ein sachlicher Grund für die Auflösung des Arbeitsverhältnisses liege nicht vor. Ein Vertrauensbruch könne nicht ausgemacht werden, da die Vorinstanz von seinem ausserbetrieblichen Engagement gewusst habe. Ein Interessenkonflikt zwischen seiner Anstellung bei der Vorinstanz und dem Engagement bei der Institution B bestehe nicht. Sodann genüge der Entscheid auch dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz nicht. Er habe der Vorinstanz wiederholt angeboten, eine einvernehmliche Lösung zu finden (Reduktion der neben- oder der hauptberuflichen Tätigkeit). Damit hätte die von der Vorinstanz "behauptete unbewilligte Nebenbeschäftigungsfrage" gelöst werden können. Auch hinsichtlich des sehr lang dauernden Arbeitsverhältnisses zwischen den Beteiligten sowie seines Alters müsse die Kündigung als unverhältnismässig eingestuft werden.
8.1.
Der Beschwerdeführer hat über Jahre hinweg nebst seinem 100 %-Pensum bei der Vorinstanz eine ausserberufliche Tätigkeit ausgeübt, die aufgrund ihres Umfangs von mindestens 40 % untersagt gewesen und daher auch zum aktuellen Zeitpunkt entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht bewilligungsfähig wäre (vgl. dazu vorstehende E. 5). Er hat die Vorinstanz im Glauben gelassen, es handle sich um eine untergeordnete Tätigkeit, die darüber hinaus hauptsächlich ehrenamtlichen Charakter aufweise. Weder das eine noch das andere hat sich in der Folge als zutreffend erwiesen. Dass die Sitzungen mehrheitlich am Abend und den Wochenenden stattgefunden hätten, wie der Beschwerdeführer vorbringt, ergibt sich allein schon daraus, dass er zu 100 % bei der Vorinstanz angestellt war und unter der Woche keine Besprechungen für die Institution B abhalten konnte. Insbesondere ändert dieses Vorbringen nichts daran, dass er seine Arbeitgeberin nicht wahrheitsgetreu über die Intensität seiner Nebenbeschäftigung und den dabei erzielten Verdienst orientierte, sondern seine Vorgesetzten über Jahre hinweg absichtlich täuschte. Selbst als ihm vorgehalten wurde, seine Nebenbeschäftigung sei um einiges höher als angegeben, hielt er an seiner Version fest. Der Beschwerdeführer hat sich mit der Ausübung einer offensichtlich nicht bewilligungsfähigen Nebenbeschäftigung bzw. insbesondere mit seinem wahrheitswidrigen Verhalten eine Verletzung seiner Dienstpflichten vorwerfen zu lassen, die einen sachlichen Kündigungsgrund im Sinn von § 18 lit. b PG darstellt. Inwiefern dieser Kündigungsgrund allein auf der "subjektiven Wahrnehmung" des gegenwärtigen Anstaltsdirektors beruhen soll, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht hinreichend geltend gemacht. Ebenfalls nicht von Belang ist die Tatsache, dass sein Vorgesetzter das Angebot des Beschwerdeführers, sich vor Ort einen Eindruck über dessen Tätigkeit bei der Institution B ein Bild zu machen, nicht nutzte. Denn der Beschwerdeführer wäre auch so verpflichtet gewesen, seine Arbeitgeberin über seine weitere Tätigkeit aufzuklären. Aufgrund der geschilderten Umstände ist nachvollziehbar, aus welchen Gründen die Vorinstanz einen Vertrauensbruch als gegeben ansieht. Diese erreichen eine Schwere, die sogar das Annehmen eines wichtigen Grunds und damit einer fristlosen Kündigung gerechtfertigt erscheinen liessen, was mit der von der Vorinstanz verfügten gleichzeitigen Freistellung des Beschwerdeführers untermauert wurde. Nicht entscheidend ist im vorliegenden Zusammenhang die Arbeitsleistung des Beschwerdeführers. Die Vorinstanz begründete die Kündigung ausschliesslich mit der Verletzung von gesetzlichen Pflichten und gerade nicht mit Mängeln in der Arbeitsleistung. Auf die diesbezüglichen Vorbringen – stets zuverlässige Verrichtung seiner Arbeit, Leisten von Pikettdienst – ist entsprechend nicht einzugehen.
8.2.
Unter diesen Umständen entfällt die Prüfung der Verhältnismässigkeit der Kündigung. (…).
Zusammenfassend ergibt sich, dass die von der Vorinstanz gegenüber dem Beschwerdeführer ausgesprochene Kündigung rechtmässig ergangen ist. Entsprechend ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.