Aus den Erwägungen:
3.1.
Das zuständige Gemeindeorgan – vorliegend die Bürgerrechtskommission Z – prüft, ob die bundes- und kantonalrechtlichen Voraussetzungen für die Einbürgerung bzw. den Erwerb des Gemeindebürgerrechts gegeben sind. Der Gemeinde kommt in diesem Bereich Autonomie zu (BGer-Urteil 1D_5/2010 vom 30.8.2010 E. 3.2.1), weshalb ihr bei der Beurteilung der Einbürgerungsvoraussetzungen ein weiter Ermessensbereich zusteht. Diesen müssen die Rechtsmittelinstanzen beachten. Sie dürfen einzig eingreifen, wenn die Gemeinde ihr Ermessen nicht pflichtgemäss, das heisst in Widerspruch zum Sinn und Zweck der Bürgerrechtsgesetzgebung, ausübt (vgl. BGE 137 I 235 E. 2.4 mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat in Bezug auf das Ermessen der Gemeinden bei Einbürgerungsentscheiden, welchen auch eine politische Komponente innewohne, wiederholt darauf hingewiesen, dass das Einbürgerungsverfahren kein rechtsfreier Vorgang sei, da darin über den rechtlichen Status von Einzelpersonen entschieden werde. Zu beachten seien daher die einschlägigen Verfahrensbestimmungen und die Gemeinde dürfe nicht willkürlich, rechtsungleich oder diskriminierend entscheiden und müsse ihr Ermessen insgesamt pflichtgemäss ausüben (BGE 140 I 99 E. 3.1 mit Hinweis, BGE 138 I 305 E. 1.4.3). Insbesondere darf das kommunale Ermessen nicht zu einem Verzicht auf die nach der Rechtsweggarantie erforderliche Rechts- und Sachverhaltsprüfung führen. Dies gilt insbesondere in Bezug auf die Anforderungen für eine ordentliche Einbürgerung gemäss Art. 14 des Bundesgesetzes über den Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (BüG; SR 141.0). Die gesetzliche Regelung enthält zwar hinsichtlich der einzelnen Voraussetzungen mehr oder weniger grosse Beurteilungsspielräume, doch räumt sie den zuständigen Behörden weder ausdrücklich noch sinngemäss ein Entschliessungsermessen ein in dem Sinne, dass es diesen freigestellt wäre, eine Person, die alle auf eidgenössischer und kantonaler Ebene statuierten gesetzlichen Einbürgerungsvoraussetzungen erfüllt und folglich integriert ist, trotzdem nicht einzubürgern. Eine solche Nichteinbürgerung wäre willkürlich und stünde zudem in Widerspruch zum Rechtsgleichheitsgebot gemäss Art. 8 Abs. 1 BV. Erlaubt ein Gesetz einem Staatsorgan, im Einzelfall nach Ermessen zu entscheiden, so bedeutet dies nicht, dass es in gleichartigen Fällen ohne sachlichen Grund einmal so und einmal anders entscheiden darf (BGE 138 I 305 E. 1.4.5 f.).
3.2.
Die freie gerichtliche Prüfung der bundesrechtlichen Einbürgerungsanforderungen obliegt den in Art. 50 BüG genannten kantonalen Gerichtsbehörden. Damit wird den Anforderungen von Art. 29a BV entsprochen. Ob die rechtlichen Voraussetzungen für eine Einbürgerung erfüllt sind, prüft das Kantonsgericht somit frei. Es beachtet bei der Prüfung der Rechtsfragen, dass die Gemeinden im Rahmen ihrer Autonomie die im Gesetz verwendeten unbestimmten Rechtsbegriffe selbständig anwenden. Indessen muss das kantonale Gericht die Rechtsanwendung und namentlich die Anwendung unbestimmter Rechtsbegriffe durch die Gemeinde auf die Vereinbarkeit mit den einschlägigen Normen des kantonalen Rechts und des Bundesrechts überprüfen. Dazu gehört neben der Bundesverfassung auch das Bürgerrechtsgesetz. Die freie Prüfung der Anwendung des BüG geht über eine Willkürprüfung hinaus, indem das kantonale Gericht eine Verletzung des BüG zu korrigieren hat und nicht nur dann einschreitet, wenn der bei ihm angefochtene Entscheid im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgrundsatz zuwiderläuft. Das zuständige kantonale Gericht darf auch nicht mit Rücksicht auf die Gemeindeautonomie eine willkürfreie Anwendung des BüG akzeptieren, wenn sich aus diesem Bundesrecht oder anderen Rechtssätzen ergibt, dass eine andere Lösung vorzuziehen wäre (vgl. BGE 137 I 235 E. 2.5.2 und 2.5.3 mit Hinweisen).