Aus den Erwägungen:
4.
4.1.
(…)
4.2.
Aus den vorstehenden Ausführungen ergibt sich, dass die hinreichende Erschliessung des Grundstücks Nr. z bereits vor den geplanten Verbesserungen in Form des Strassenprojekts rechtskräftig feststand. Einerseits wurde diese bereits mit dem verwaltungsgerichtlichen Urteil über den Gestaltungsplan bejaht, andererseits wurde schliesslich auch die Baubewilligung ohne weitere Bedingungen oder Auflagen zur Erschliessung erteilt. Im Rahmen der Verfügung, welche die Bewilligung des Strassenprojektes betrifft, hielt denn auch der Stadtrat Luzern fest, dass die Erschliessung der drei Mehrfamilienhäuser, welche gebaut werden sollen, über die bestehende Strasse Z erfolgt. Diese Strasse stelle gemäss gerichtlicher Beurteilung (Urteil betreffend den Gestaltungsplan) und gestützt auf die rechtskräftige Baubewilligung eine rechtlich und tatsächlich hinreichende Erschliessung dar. Mit dem Strassenprojekt werde die bestehende und hinreichende Erschliessung verbessert. Augenscheinlich sicherte die Bauherrschaft im Rahmen der Einspracheverhandlung im Rahmen des Baubewilligungsverfahrens zu, die Strasse baulich und sicherheitstechnisch zu verbessern.
Die Erweiterung der Strasse und die in diesem Zug nötige Rodung von Waldflächen wurde insofern "freiwillig" umgesetzt. Denn sie diente nicht dazu, die baurechtliche Voraussetzung einer genügenden Erschliessung zu erfüllen, sondern die Kapazität der bestehenden Strasse zu verbessern.
Die Vorinstanz rechtfertigt die Berechnung des Mehrwerts mittels Quadratmeterpreis des Grundstücks Nr. z von Fr. 1'300.-- denn auch mit einer neuen Bodennutzung "im weiteren Sinn". Sie lässt es genügen, dass der Ausbau der Erschliessungsstrasse ursächlich zur neuen Bodennutzung auf dem Grundstück Nr. z sei. Deshalb sei der aktuelle Bodenwert der mit den Mehrfamilienhäusern zu überbauenden Parzelle massgebend, was im Wesentlichen dem Handelswert des Baulandes gleichkommt. Aus dem Gesetzestext lässt sich allerdings ein solcher "weiterer" neuer Bodennutzungsbegriff nicht entnehmen (vgl. § 5 Abs. 1 des Kantonalen Waldgesetzes [kWaG; SRL Nr. 945]). Soweit die Vorinstanz ausführt, die Verbreiterung der erwähnten Strasse "ermögliche" die geplante Bodennutzung (d.h. konkret die Überbauung), ist ihr entgegen zu halten, dass auch ohne die Realisierung des Strassenprojektes und damit ohne Rodung der genannten Waldflächen die Mehrfamilienhäuser gebaut werden können. Etwas anderes würde nur gelten, wenn die Verbreiterung der bestehenden Strasse zwingend, etwa wegen der Verkehrssicherheit, geboten wäre. Würde es sich so verhalten, hätte allerdings die Baubewilligungsbehörde die Baubewilligung mangels ausreichender Erschliessung gar nicht erteilen dürfen.
Auch aus dem Wortlaut der Richtlinie kann keine solche Bodennutzung im weiteren Sinn abgeleitet werden. Zwar wird der Bodenpreis für diejenige Bauzone als massgeblich erachtet, welche für das die Rodung verursachende Gesamtwerk notwendig ist. Auch wenn vorliegend zwischen der Überbauung des Grundstücks Nr. z und dem Strassenprojekt ein Zusammenhang besteht, können diese jedoch nicht als Gesamtwerk bezeichnet werden. Wie vorstehend ausgeführt, stand die hinreichende Erschliessung bereits vor dem Strassenprojekt fest und wurde die Baubewilligung ohne entsprechende Bedingungen oder Auflagen erteilt. Zudem wurde das Rodungsgesuch erst (…) nach der Rechtskraft der Baubewilligung gestellt. Es handelt sich damit beim Bau der Mehrfamilienhäuser auf dem Grundstück Nr. z und dem Ausbau des Z um zwei verschiedene Werke, wenn auch ein Zusammenhang nicht in Abrede gestellt werden kann.
Dass ein Zusammenhang besteht, ergibt sich aus dem Wortlaut des Rodungsgesuchs, das die Bauherrin eingereicht hatte. Unter der Rubrik "Beschrieb Rodungsvorhaben" wird erwähnt, dass Auslöser das Projekt "Überbauung von Grundstück Nr. z" sei. Der Mehrverkehr und das Kreuzen von Lastwagen würden Massnahmen an der bestehenden Zufahrtsstrasse bedingen. Weiter unten wird ausgeführt, dass die Sicherheit der Verkehrsteilnehmer als wichtiger Grund gelte, welche das Interesse an der Walderhaltung überwiege. Die (damalige) Gesuchstellerin hat es somit teilweise selber zu vertreten, wenn die zuständige Dienststelle die Erschliessung des Baulandes mit Blick auf die Erstellung der Mehrfamilienhäuser als im Vordergrund stehend betrachtete. Dies ändert aber nichts daran, dass die Rodungsbewilligung in rechtlicher Sicht die Melioration eines bestehenden Strassenzugs betraf.
4.3.
Ebenfalls zu beachten ist, dass mit dem Ausbau der Strasse nicht nur das neu zu überbauende Grundstück der Beschwerdeführerin profitiert, sondern damit auch die Situation für die anderen über den Z erschlossenen Grundstücke verbessert wird. (…)
4.4.
Zusammengefasst ist die Vorinstanz folglich zu Unrecht von einem Gesamtprojekt, bestehend aus der Überbauung des Grundstücks Nr. z, und dem Ausbau des Z ausgegangen. Damit erweist sich der berücksichtigte Quadratmeterpreis der neuen Bodennutzung von Fr. 1'300.-- entsprechend dem Wert des zu überbauenden Grundstücks als rechtswidrig. Vielmehr gilt es vorab, den Wert einer Strassenfläche (Bauzone: übriges Gebiet) in dieser Umgebung zu ermitteln. Bei der Festsetzung des Ausgleichbetrags wird die Dienststelle den konkreten Gegebenheiten Rechnung tragen müssen. Dabei kann sich durchaus auch eine Mischrechnung aufdrängen, im Hinblick darauf, dass die Verbreiterung bzw. Verbesserung des Strassenzugs verschiedenen Eigentümern und Benutzern zu gute kommt, darunter auch der Beschwerdeführerin als Bauherrin der drei Mehrfamilienhäuser bzw. deren späteren Bewohnern.
Die Beschwerdeführerin schlägt gestützt auf Erfahrungswerte einen Quadratmeterpreis von Fr. 325.-- vor. Sie führt allerdings weder aus, um welche Erfahrungswerte es sich dabei handelt, noch macht sie anderweitige Erläuterungen, inwiefern dieser Wert angemessen sein soll. Es kann damit nicht unbesehen darauf abgestellt werden. Ergänzend ist zu bemerken, dass sich die Vorinstanz gemäss Richtlinie auf Angaben durch das kantonale Schatzungsamt (d.h. die Dienststelle Steuern, Immobilienbewertung) stützte. Indes liegt einzig eine kurze Mitteilung des Teamleiters Bewertungen Landwirtschaft (der Dienststelle Steuern Immobilienbewertung) vor, wonach der Landwert in der umliegenden Bauzone bei rund Fr. 1'300.-- je m2 Ausnutzung betrage. Weitere Feststellungen, Berechnungen oder die Auflistung von Vergleichswerten sind nicht vorhanden.
Aufgrund dessen ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese den massgeblichen Wert unter Berücksichtigung der vorstehenden Ausführungen ermittelt und letztlich den Ausgleichsbeitrag neu festsetzt.
4.5.
Weiter macht die Beschwerdeführerin geltend, bei der Bewilligungsgebühr für die Rodung handle es sich um Rodungsersatzkosten, welche vom Ausgleichsbeitrag abzuziehen seien.
§ 5 Abs. 1 kWaG bestimmt, dass vom Ausgleichsbeitrag – nebst den Ersatzabgaben gemäss dem inzwischen aufgehobenen Art. 8 des Bundesgesetzes über den Wald (WaG; SR 921.0) – die Rodungsersatzkosten abzuziehen sind. Der Rodungsersatz wird in Art. 7 WaG geregelt.
Wie es der Begriff schon bestimmt, handelt es sich bei den Rodungsersatzkosten um die anfallenden Kosten, welche zur Leistung eines Realersatzes entstehen. Die Art der darunter zu subsumierenden Kosten wird damit genau umschrieben und es können darunter nicht sämtliche im Zusammenhang mit der Rodungsbewilligung entstehenden Aufwendungen subsumiert werden. Ein Abzug der Rodungsbewilligungskosten würde im Ergebnis bedeuten, dass das Rodungsbewilligungsverfahren kostenlos ausgestaltet wird. Eine solche Intention lässt sich aber weder den Gesetzestexten (WaG und kWaG) noch den entsprechenden Botschaften entnehmen (vgl. Botschaft zu einem Bundesgesetz über Walderhaltung und Schutz vor Naturereignissen [Waldgesetz] vom 29.6.1988, in: BBl 1988 III S. 173 ff.; Botschaft des Regierungsrats an den Grossen Rat vom 19.8.1997 zum kantonalen Waldgesetz [B 99], in: Verhandlungen des Grossen Rates 3/1997 S. 1020 ff.).
Die Kosten für die Rodungsbewilligung können damit nicht als Rodungsersatzkosten vom Ausgleichsbeitrag in Abzug gebracht werden. Der entsprechende Antrag der Beschwerdeführerin ist abzuweisen.