Aus den Erwägungen:
4.
Die Entbindung von der ärztlichen Schweigepflicht nach Art. 448 Abs. 2 des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs (ZGB; SR 210) stellt einen gravierenden Eingriff in das verfassungsrechtlich geschützte Recht auf Privatsphäre dar. Gerade hinsichtlich ärztlicher Aufzeichnungen (insbesondere Krankengeschichten mit Anamnese-, Diagnose- und Therapieverlaufsberichten) fällt ins Gewicht, dass sie regelmässig sehr sensible höchstpersönliche Informationen aus der Intim- und Privatsphäre von Patientinnen und Patienten enthalten, die von Art. 13 der Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft (BV; SR 101) in besonderem Masse geschützt sind. Entsprechend bedarf es im Zusammenhang mit der Prüfung der Eingriffsvoraussetzungen auch einer umfassenden Interessenabwägung, im Rahmen welcher überwiegende öffentliche oder private Interessen für eine Entbindung der betroffenen Ärzte vom Arztgeheimnis den gegenteiligen privaten Interessen des betroffenen Patienten gegenüber zu stellen sind (dies im Licht von Art. 13 BV i.V.m. Art. 36 BV sowie Art. 8 der Konvention zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten [EMRK; SR 0.101]; vgl. im strafrechtlichen Kontext: BGer-Urteil 1B_330/2014 vom 21.11.2014 E. 5.2; vgl. auch Schwander, Geheimhaltungspflichten und Datenaustausch in der sozialen Arbeit, in: ZKE 2015 S. 95 ff., S. 96 f.). Vor diesem Hintergrund ist zu prüfen, welche Anforderungen an die Begründung der Entbindungsanträge der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) zu stellen sind.
4.1
Die KESB führt in ihren beiden Gesuchen aus, es hätten sich betreffend den Beschwerdeführer "verschiedene Stellen (Bezirksgericht, Wohngemeinde, Anwälte, Ex-Ehefrau)" bei ihr gemeldet.
4.2
Angesichts der schwerwiegenden Verletzung seiner Persönlichkeitsrechte, die eine Entbindung der behandelnden Ärzte von der Schweigepflicht für den Beschwerdeführer mit sich bringt, bedarf es mit Blick auf die Interessenabwägung, die die Rechtsmittelinstanzen vorzunehmen haben, eine hinreichend dichte Begründung der Anträge um Entbindung vom Arztgeheimnis. Je tiefer sich der Eingriff in die Persönlichkeitsrechte gestaltet, desto höhere Anforderungen sind zu stellen an die Begründung des Gesuchs. Die Behörden sind damit gehalten, der Dienststelle Gesundheit und Sport (DIGE) – und damit auch den Rechtsmittelinstanzen – sämtliche Akten wie Gefährdungsmeldungen, Aktennotizen, bereits getätigte behördliche Abklärungen etc. offen zu legen, die aus ihrer Sicht eine Prüfung von Massnahmen aus dem Erwachsenenschutz erforderlich machen. Ausserdem haben sie zu skizzieren, welche konkreten erwachsenenschutzrechtlichen Massnahmen gestützt auf die aktuelle Aktenlage als angezeigt erscheinen könnten. Die DIGE ihrerseits ist verpflichtet, bei ungenügender Aktenlage Informationen bei der ersuchenden KESB einzuholen und weitere Unterlagen zu edieren, sodass sie sich ein vollständiges Bild über die aktuelle (Lebens-)Situation des Betroffenen und die von der KESB gegebenenfalls in Betracht kommenden Massnahmen machen kann. Lässt es die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde bei allgemeinen und pauschalen Aussagen bewenden und unterlässt es auch die DIGE, den Sachverhalt des Gesuchs zu vervollständigen, ist es weder der Aufsichtsbehörde noch den Rechtsmittelinstanzen möglich, eine dem drohenden Grundrechtseingriff angepasste, umfassende und sorgfältige Interessenabwägung vorzunehmen.
4.3
Vor diesem Hintergrund vermögen die beiden Entbindungsanträge den dargestellten Anforderungen nicht zu genügen: Welche Informationen an die KESB herangetragen worden sind und welche Umstände sie genau veranlasst haben, erwachsenenschutzrechtliche Massnahmen zu prüfen, legt sie nicht dar. Auch finden sich keinerlei Aktennotizen, Gefährdungsmeldungen (auch nicht in anonymisierter Form) oder sonstige Belege bei den Akten der KESB, die für eine Interessenabwägung beigezogen werden könnten. In Bezug auf die persönliche Situation des Beschwerdeführers und dessen Umfeld und Lebensumstände ist von Seiten der KESB nichts vorgetragen worden, ausser dass sie davon ausgehe, der Beschwerdeführer leide an einer Persönlichkeitsstörung. Damit fehlt diesen Gesuchen – mit Blick auf den beantragten schweren Eingriff in die Persönlichkeitsrechte des Beschwerdeführers – die hierfür erforderliche Sachdarstellung unter Beilage der notwendigen Akten, welche die angerufene Instanz in die Lage versetzen, eine umfassende Interessenabwägung vorzunehmen. Dabei wird nicht verkannt, dass die KESB vorliegend das Ergreifen allfälliger Massnahmen gerade von den ärztlichen Diagnosen und Zeugnissen abhängig machen will und deshalb um Aufhebung der ärztlichen Schweigepflicht bezüglich der betroffenen Mediziner ersucht. Es ist denn auch nicht ausgeschlossen, dass sich die Aufhebung der ärztlichen Schweigepflicht aufgrund der gesamten, der Dienststelle bzw. den Rechtsmittelinstanzen bekannten Umstände trotz mangelhaft begründeter Entbindungsgesuche seitens der KESB rechtfertigt. Dies ist nachstehend zu prüfen.
4.4
4.4.1
Aus den vom Beschwerdeführer eingereichten Akten ergibt sich, dass dieser vom (…) bis (…) stationär in der Psychiatrie behandelt wurde. Aus dem aufgelegten Schlussbericht der polizeilichen Ermittlungen geht hervor, dass er wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden in die Klinik eingewiesen wurde. Während seines Aufenthalts habe er sich gegenüber einer Pflegerin wie folgt geäussert: "Wenn Sie mir alles nehmen, weiss ich dann schon, wie mich wehren. Dann chlöpft es dann halt mal". Gemäss Aussage des behandelnden Arztes habe es sich um eine "diffuse" Drohung gehandelt, er habe auch nicht erwähnt, gegen wen sich die Drohung richten soll. Zum Zeitpunkt der Entlassung hat laut behandelndem Arzt beim Beschwerdeführer keine Selbst- oder Fremdgefährdung bestanden, andernfalls er gar nicht entlassen worden wäre. Das Sozialamt X wurde telefonisch über diese Drohungen informiert. Am 25. Juli 2014 meldete sich der Gemeindeschreiber von X beim Polizeiposten Y und teilte mit, das Steueramt müsse dem Beschwerdeführer nun einen Einspracheentscheid zustellen, welcher für diesen nicht nur Positives enthalte. Er, der Gemeindeschreiber, habe ein "ungutes Gefühl" und sei über die ganze Situation besorgt. Am (…) teilte die Gemeinde X der zuständigen Polizistin mit, dass der Gemeinderat entschieden habe, dem Beschwerdeführer den Einspracheentscheid trotz der Drohungen zustellen zu wollen. Die polizeilichen Abklärungen beim Steueramt X hätten ergeben, dass der Beschwerdeführer gegenüber Mitarbeitenden des Steueramts nie Drohungen ausgesprochen habe. Allerdings hat der befragte Mitarbeitende V ebenfalls zu Protokoll gegeben, auch er hätte ein "ungutes Gefühl". Der Gemeinderat X teilte am (…) mit, dass er gegen den Beschwerdeführer keine Anzeige wegen "Gewalt und Drohungen gegen Behörden" machen werde, da sich niemand durch die Drohungen des Beschwerdeführers in Angst und Schrecken versetzt fühle. Die Staatsanwaltschaft trat gestützt auf die polizeilichen Ermittlungen auf die Strafsache nicht ein.
4.4.2
Damit bestehen durchaus Hinweise darauf, dass erwachsenenschutzrechtliche Massnahmen beim Beschwerdeführer prüfenswert erscheinen, wie dies die KESB in ihren beiden Gesuchen beantragt. Der geschilderte Vorfall zeigt auch, dass der Beschwerdeführer im korrekten Umgang mit Behördenvertretern Mühe bekundet; allerdings wiegt dieser Umstand die mangelnde Aktenlage in diesem konkreten Fall nicht auf. In dieser Hinsicht verdient auch der Umstand Beachtung, dass der Beschwerdeführer die vorerwähnte Drohung im Rahmen seines stationären Aufenthalts in der Psychiatrie geäussert hat, er sich mit anderen Worten in einer Ausnahmesituation befunden hat. Die vom Beschwerdeführer geäusserte Drohung während seines stationären Aufenthalts, wo aus dessen Sicht die Behörden bzw. der "Staat" überhand haben, ist daher in den Gesamtzusammenhang zu stellen, ohne dass das Gericht seinen Äusserungen die alarmierende Wortwahl abspricht. Ebenso fällt unter Hinweis auf das ärztliche Zeugnis von Dr. med. U ins Gewicht, dass die "aktuell intakte Impulskontrolle" gegen das Vorliegen eines fremdgefährlichen Potentials spricht, und die Entbindung vom Arztgeheimnis die Beziehung zwischen Arzt und Patient erheblich belasten würde. So äussert sich Dr. U denn auch zurückhaltend zur beabsichtigten Aufhebung seiner Schweigepflicht betreffend den Beschwerdeführer. Abgesehen von den wenig konkreten Drohungen sind Situationen, die die KESB dazu veranlasst haben, die Schutzbedürftigkeit des Beschwerdeführers bzw. entsprechende Massnahmen zu prüfen, dem Gericht nicht bekannt bzw. liegen solche Unterlagen seitens der KESB dem Gericht nicht vor.
4.4.3
Angesichts des schwerwiegenden Eingriffs in die Persönlichkeitsrechte, die dem Beschwerdeführer mit der Entbindung seiner Ärzte von deren Schweigepflicht droht und mangels hinreichend dicht begründeter und mit entsprechenden Akten untermauerten Anträge der KESB, überwiegt das Interesse des Beschwerdeführers an der Aufrechterhaltung der ärztlichen Schweigepflicht das öffentliche Interesse wie es von der KESB mit den von ihr angeführten Gründen geltend gemacht wird. Die anderen, dem Gericht zur Verfügung stehenden Unterlagen, vermögen die Interessenabwägung nicht zu Ungunsten des Beschwerdeführers zu beeinflussen. Insbesondere vermag allein ein Verdacht auf eine wahnhafte Störung in der Regel kein erhebliches öffentliches Interesse an der Entbindung vom Arztgeheimnis zu begründen.
4.5
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass die Begründungsdichte eines Antrags grundsätzlich proportional zur Intensität des Eingriffs in die (Persönlichkeits-)Rechte des Betroffenen zu sein hat. Die von der KESB gestellten Anträge erfüllen dieses Erfordernis vorliegend nicht und dieser Mangel kann auch nicht durch andere Umstände oder Vorkommnisse aufgewogen werden. (…) Der KESB bleibt es unbenommen, unter Auflage der ihr zur Verfügung stehenden Akten, allenfalls ergänzt durch weitere Hinweise und Unterlagen, erneut um Entbindung der Ärzte von der Schweigepflicht bei der zuständigen Dienststelle zu ersuchen.
5.
Nach dem Gesagten ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde gutzuheissen und der Entscheid des Gesundheits- und Sozialdepartements aufzuheben.