Aus den Erwägungen:
6.1.
Der Beschwerdeführer bringt vor, dass für ihn aufgrund seiner Verhaltensbehinderung zwar eine integrative Schulung in einer öffentlichen Regelschule nicht möglich sei. Angesichts seiner positiven Entwicklung könne er hingegen – als nächste mildere Massnahme – eine private Regelschule besuchen, was einer integrativen Lösung näherstünde. Nach seinem Dafürhalten stelle die private Schule Z eine allen gesetzlichen Vorgaben ausreichende Lösung dar, dies im Gegensatz zu der von der Dienststelle Volksschulbildung (DVS) verordneten Sonderschule Y.
6.2.
Der Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht ist gewährleistet (Art. 19 der Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft [BV; SR 101]). Für das Schulwesen sind die Kantone zuständig (Art. 62 Abs. 1 BV). Sie sorgen für einen ausreichenden Grundschulunterricht, der allen Kindern offen steht. An öffentlichen Schulen ist er unentgeltlich (Art. 62 Abs. 2 Satz 1 und 3 BV). Der verfassungsrechtliche Anspruch umfasst nur ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen. Der Grundschulunterricht soll genügen, um die Schüler sachgerecht auf ein selbstverantwortliches Leben im modernen Alltag vorzubereiten. Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann mit Rücksicht auf das staatliche Leistungsvermögen nicht gefordert werden. Der verfassungsmässige Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht ist nicht gleichbedeutend mit dem Anspruch auf die optimale bzw. geeignetste Schulung eines Kindes (BGE 141 I 9 E. 3.2 f., 138 I 162 E. 3.1 f. mit zahlreichen weiteren Hinweisen; Urteil des Kantonsgerichts Luzern 7H 14 83 vom 25.2.2015 E. 5.1). Behinderte haben in diesem Rahmen einen Anspruch auf geeignete Sonderschulung (BGE 130 I 352 E. 3.2 f.).
Nach dem ausdrücklichen Wortlaut bezieht sich die "Unentgeltlichkeit" ausschliesslich auf öffentliche Schulen. Der unentgeltliche Besuch einer Privatschule kommt lediglich ausnahmsweise in Frage, nämlich wenn kein ausreichendes schulisches Angebot an öffentlichen Schulen zur Verfügung steht. Unentgeltlich müssen alle staatlichen Leistungen sein, die ein Kind oder Jugendlicher benötigt, um (diesen) ausreichenden Grundschulunterricht zu erhalten. Besucht ein Kind eine private Schule, obwohl ihm der Besuch einer ausreichenden öffentlichen Schule zumutbar wäre, ist der Staat auch nicht teilweise zur Übernahme der Kosten verpflichtet. Unterhält der Staat ein geeignetes und zumutbares Angebot, ist er selbst dann nicht verpflichtet, eine private Lösung zu finanzieren, wenn dort ein noch besserer Unterricht zur Verfügung stünde (vgl. BGer-Urteile 2C_364/2016 vom 2.2.2017 E. 4.1.2, 2C_405/2016 vom 9.1.2017 E. 4.2, 2C_686/2012 vom 13.6.2013 E. 3.1.5 m.H.). Es besteht insofern kein Anspruch auf rechtsgleichen Zugang zu privaten und öffentlichen Schulen. Im Rahmen dieser Grundsätze verfügen die Kantone praxisgemäss über einen erheblichen Gestaltungsspielraum.
6.3.
Auf kantonaler Ebene sind die Grundzüge der Sonderschulung im Gesetz über die Volksschulbildung (VBG; SRL Nr. 400a) geregelt. Nach § 11 Abs. 1 lit. b VBG haben Kinder und Jugendlichen im Rahmen der Rechtsordnung das Recht und die Pflicht, die Primarstufe und die Sekundarstufe I entweder in der öffentlichen oder in einer privaten Schule zu besuchen oder mit Privatunterricht zu absolvieren. Dabei entscheiden die Erziehungsberechtigten darüber, ob die von ihnen Vertretenen die öffentliche Volksschule, eine private Volksschule oder Privatunterricht besuchen (§ 19 VBG). Ein Anspruch auf Unentgeltlichkeit des Schulbesuchs besteht im Licht der dargelegten Rechtsprechung jedoch nur, wenn die öffentliche Volksschule bzw. die im Einzelfall zugewiesene Schule benützt wird (vgl. § 60 VBG). Dieser Grundsatz gilt auch im Fall der Zuweisung zur Sonderschulung. Die Bestimmung von § 21 Sonderschulverordnung setzt denn auch nicht das Einverständnis der Eltern voraus (vgl. BGE 125 I 347 E. 6; vgl. AR GVP 5/1993 Nr. 1245 S. 11; vgl. Plotke, Schweizerisches Schulrecht, 2. Aufl. 2003, S. 176, 189 und 398).
Gemäss § 7 VBG gewährleistet die Sonderschulung die individuelle Bildung, Förderung, Erziehung und Pflege von Kindern und Jugendlichen mit Behinderung (Abs. 3). Sie erfolgt integrativ in den Regelklassen oder separativ in den Sonderschulen (Abs. 1). Als Sonderschulen gelten nebst Sonderkindergärten, die Sonderschulen und Sonderschulheime des Kantons sowie private Sonderschulen und Sonderschulheime (Abs. 2). Zu der Möglichkeit sowie den Voraussetzungen für eine Sonderschulung in privaten Regelschulen enthält das VBG demnach keine Bestimmungen.
Die Einzelheiten der Sonderschulung sind sodann in der Verordnung über die Sonderschulung (Sonderschulverordnung; SRL Nr. 409) geregelt (§ 7 Abs. 4 VBG). Die allgemeinen Bestimmungen der Sonderschulverordnung umschreiben die Sonderschulung (§ 1 Sonderschulverordnung) und die Sonderschulen (§ 2 Sonderschulverordnung), wobei die Sonderschulung in einer privaten Regelschule keine Erwähnung findet. Gemäss § 12 Sonderschulverordnung ist die Sonderschulung bei Verhaltensbehinderung für Lernende bestimmt, die in der Lern- und Sozialentwicklung und im Verhalten vorübergehend oder dauernd so beeinträchtigt sind, dass sie den Unterricht in der Regelklasse nicht besuchen können. Für sie bestehen im Kanton Luzern gemäss § 17 Abs. 1 Sonderschulverordnung Sonderschulen in der Stiftung Schule und Wohnen Mariazell in Sursee, in der Stiftung Schul- und Wohnzentrum in Malters und in der Stiftung Villa Erica in Nebikon. Weitere Sonderschulen für psychisch- und verhaltensbehinderte Lernende können bei Bedarf anerkannt werden (Abs. 2). § 17 Abs. 3 Sonderschulverordnung sieht schliesslich vor, dass verhaltensbehinderte Lernende im Einzelfall auch in Regelklassen von privaten Schulen geschult werden können.
6.4.
Der Beschwerdeführer weist zutreffend darauf hin, dass der integrierten Sonderschulung grundsätzlich der Vorrang gegenüber der separierten einzuräumen ist. Dazu verweist er auf die Ausführungen im kantonsgerichtlichen Urteil 7H 14 83 vom 25. Februar 2015 (LGVE 2015 IV Nr. 5), wonach – sofern eine integrative Beschulung wie vorliegend nicht bzw. noch nicht möglich ist – in Berücksichtigung dieses Grundsatzes diejenige Schulform gewählt werden soll, welche dem Unterricht in der Regelklasse am nächsten kommt. Wie das Kantonsgericht im besagten Urteil indes ebenfalls festhielt, ist die nach dem integrativen Unterricht nächst intensivere Form der Sonderbeschulung die externe separative Sonderschulung, wohingegen es sich beim sonderpädagogischen Einzelunterricht um die einschneidendste Form der separativen Sonderschulung in Ausnahmesituationen handelt. Aus dem Verweis auf dieses Urteil kann mithin nicht ohne Weiteres etwas zu Gunsten des Beschwerdeführers abgeleitet werden. Gleichwohl ist dem Beschwerdeführer beizupflichten, dass die Beschulung in einer privaten Regelschule aufgrund ihres Angebots und ihrer Ausgestaltung einer integrativen Sonderschulung näher steht als einer separativen Sonderschulung (vgl. Urteil des Kantonsgerichts Luzern 7H 14 157 vom 5.9.2014 E. 2.1). Auch ist nicht zu verkennen, dass dadurch der Kontakt zu nichtbehinderten Gleichaltrigen erleichtert wird, was einer gesellschaftlichen Eingliederung zuträglich ist.
Wie erwähnt ergibt sich indessen aus dem verfassungsmässigen Recht auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht kein Anspruch auf die optimale bzw. geeignetste Schulung eines Kindes, sondern nur auf ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen. Dabei ist zum einen mit Blick auf die systematische Einbettung von § 17 Abs. 3 Sonderschulverordnung im kantonalen Volksschulrecht davon auszugehen, dass die Schulung in Regelklassen privater Schulen keine eigenständige sonderschulische Form bzw. Massnahme darstellt. Zum anderen ist der klare Wortlaut von § 17 Abs. 3 Sonderschulverordnung zu berücksichtigen, wonach eine Sonderschulung für verhaltensbehinderte Lernende in einer privaten Regelschule im Einzelfall in Erwägung gezogen werden kann. Aus dieser Formulierung ist zu schliessen, dass der Regierungsrat mit der offenen Normierung der entscheidenden Behörde bewusst einen gewissen Entscheidungsspielraum belassen wollte, um den konkreten Umständen des Einzelfalls Rechnung zu tragen. Mit anderen Worten steht es grundsätzlich im Ermessen der DVS, einen Lernenden mit Verhaltensbehinderung einer privaten Regelschule zuzuteilen oder nicht. In diesem Zusammenhang ist auf das von der DVS erlassene Merkblatt "Sonderschulung in privaten Regelschulen für Lernende mit Verhaltensbehinderungen" zu verweisen (abrufbar unter: https://volksschulbildung.lu.ch/media/Volksschulbildung/Dokumente/unterricht\_organisation/sonderschulung/rahmen\_umsetzung/soschulung\_priv\_regelschulen.pdf?la=de-CH, zuletzt besucht am 26.2.2019), in welchem die Voraussetzungen für eine Beschulung in einer privaten Regelschule im Rahmen einer Sonderschulmassnahme umschrieben sind. Dabei handelt es sich nicht um eine verbindliche Rechtsgrundlage, weshalb deren Anwendung im Einzelfall dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit standhalten muss. Nachdem die DVS aber insbesondere für die Erbringung des kantonalen Sonderschulangebots zuständig ist und folglich auch eine einheitliche Anwendung der Sonderschulvorschriften anzustreben hat (§ 39 Abs. 2 lit. e VBG), kann es zumindest als Auslegungshilfe beigezogen werden. In diesem Merkblatt wird unter anderem darauf hingewiesen, dass Unzufriedenheit mit dem Schulangebot der Volksschule vor Ort oder der verfügten Sonderschule sowie Meinungsverschiedenheiten unter den Beteiligten keinen Anspruch auf Sonderschulung in einer privaten Regelschule begründen würden. Auch aus den weiteren Ausführungen in diesem Merkblatt lässt sich nicht erschliessen, dass der Beschwerdeführer – im Sinne einer nächst milderen Massnahme zu einer integrativen Sonderschulung – Anspruch auf Finanzierung einer Beschulung in einer privaten Regelschule hat, sofern ihm eine ausreichende Beschulung an einer Sonderschule angeboten wird. Mithin besteht diesfalls keine Plicht, dem auf eine Sonderschulung angewiesenen Beschwerdeführer den Besuch einer Privatschule zu finanzieren.
Entscheidend und nachfolgend zu prüfen ist, ob die von der DVS zugewiesene Sonderschule Y geeignet ist, um dem Beschwerdeführer eine ausreichende Schulung zu gewähren (…).