Aus den Erwägungen:
4.1
Für das Schulwesen sind die Kantone zuständig (Art. 62 Abs. 1 der Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft [BV; SR 101]). Sie sorgen für einen ausreichenden, an öffentlichen Schulen unentgeltlichen Grundschulunterricht, der obligatorisch ist und allen Kindern offen steht (Art. 19 und Art. 62 Abs. 2 BV). Die Kantone sorgen sodann für eine ausreichende Sonderschulung aller behinderten Kinder und Jugendlichen bis längstens zum vollendeten 20. Lebensjahr (Art. 62 Abs. 3 BV; BGE 140 I 153 E. 2.3.4, 138 I 162 E. 3.1). Dabei haben sie darauf zu achten, dass behinderte Kinder und Jugendliche eine Grundschulung erhalten, die ihren besonderen Bedürfnissen angepasst ist (Art. 20 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen; Behindertengleichstellungsgesetz, BehiG). Sie fördern, soweit dies möglich ist und dem Wohl des behinderten Kindes oder Jugendlichen entspricht, mit entsprechenden Schulungsformen die Integration behinderter Kinder und Jugendlicher in die Regelschule (Art. 20 Abs. 2 BehiG).
Im Rahmen dieser Grundsätze verfügen die Kantone über einen erheblichen Gestaltungsspielraum (BGE 138 I 162 E. 3.2, 133 I 156 E. 3.1, 130 I 352 E. 3.2). Das gilt auch für die Sonderschulung. Die Ausbildung muss für den Einzelnen angemessen und geeignet sein und genügen, um die Schüler auf ein selbstverantwortliches Leben im Alltag vorzubereiten. Der verfassungsrechtliche Anspruch umfasst, wie erwähnt, nur ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen. Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann mit Rücksicht auf das staatliche Leistungsvermögen nicht gefordert werden (BGE 130 I 352 E. 3.3, 129 I 12 E. 6.4). Der verfassungsmässige Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht ist somit nicht gleichbedeutend mit dem Anspruch auf die optimale bzw. geeignetste Schulung eines (behinderten) Kindes (BGE 141 I 9 E. 3.3, 138 I 162 E. 3.2).
4.2
Gestützt auf die verfassungsrechtlichen Grundsätze hinsichtlich des ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterrichts besteht auf kantonaler Ebene ein Anspruch auf Unentgeltlichkeit des Schulbesuchs nur, wenn die öffentliche Volksschule bzw. die im Einzelfall zugewiesene Schule benützt wird (vgl. § 60 VBG). Dieser Grundsatz gilt auch im Fall der Zuweisung zur Sonderschulung. Die Bestimmung von § 21 Sonderschulverordnung setzt denn auch nicht das Einverständnis der Eltern voraus (vgl. Plotke, Schweizerisches Schulrecht, 2. Aufl. 2003, S. 398).
Gemäss § 7 VBG erfolgt die Sonderschulung integrativ in den Regelklassen oder separativ in den Sonderschulen (Abs. 1). Als Sonderschulen gelten nebst den Sonderkindergärten die kantonalen Sonderschulen und Sonderschulheime sowie die privaten Sonderschulen und Sonderschulheime (§ 7 VBG Abs. 2 i.V.m. § 2 Sonderschulverordnung). Die Sonderschulung gewährleistet die individuelle Bildung, Förderung, Erziehung und Pflege von Kindern und Jugendlichen mit Behinderung (Abs. 3). Das VBG enthält demnach zu der Möglichkeit sowie den Voraussetzungen für eine Sonderschulung in privaten Regelschulen keine Bestimmungen. Die Einzelheiten der Sonderschulung sind sodann in der Sonderschulverordnung geregelt (§ 7 Abs. 4 VBG).
4.3
Nach § 1 Sonderschulverordnung gelten als Sonderschulung heilpädagogische Früherziehung (lit. a), Unterricht und pädagogisch-therapeutische Massnahmen in Sonderschulen (lit. b), integrative Sonderschulung und pädagogisch-therapeutische Massnahmen in Regelklassen (lit. c) sowie sonderpädagogischer Einzelunterricht und psychotherapeutische Massnahmen (lit. d).
Die Sonderschulung bei geistiger (kognitiver) Behinderung ist für Lernende bestimmt, die in ihrer geistig-emotionalen Gesamtentwicklung und in ihrer Lernfähigkeit so beeinträchtigt sind, dass sie den Anforderungen der Regelklassen nicht gewachsen sind (§ 8 Sonderschulverordnung). Als Sonderschulen für Lernende mit geistiger Behinderung bestehen die heilpädagogischen Tagesschulen Luzern, Sursee und Willisau sowie die heilpädagogischen Zentren Hohenrain (HPZ Hohenrain) und Schüpfheim (§ 16 Abs. 1 Sonderschulverordnung).
5.1
Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer als Lernender mit einer geistigen Behinderung ab dem Schuljahr 2016 grundsätzlich Anspruch auf Sonderschulung hatte. Die Vorinstanz hält im angefochtenen Entscheid jedoch zusammenfassend fest, ein Anspruch auf eine finanzielle Leistung der heilpädagogischen Förderung im Rahmen einer Sonderschulung bestünde nur für öffentliche Bildungsangebote. Die private Regelschule Rudolf Steiner gehöre nicht zum öffentlichen Bildungsangebot der Sonderschulung. Mit der Wahl einer privaten Regelschule verbunden sei der Verlust des Anspruchs auf das öffentliche Bildungsangebot der Sonderschulung. Der Beschwerdeführer habe deshalb keinen Anspruch auf eine Leistung der heilpädagogischen Förderung im Rahmen der Sonderschulung.
Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, ihm stehe die Beschulung an der Rudolf Steiner Schule aufgrund seines Anspruchs auf angemessenen Grundschulunterricht nach Art. 19 BV zu, weil das öffentliche Angebot an Sonderschulmassnahmen seinem Anspruch auf Grundschulunterricht nicht genüge. Somit sei der Eintritt in die private Regelschule nicht freiwillig, sondern infolge des fehlenden, angemessenen Bildungsangebots der öffentlichen Schule erfolgt. Ebenso wirft der Beschwerdeführer der DVS vor, sich durch die Verweigerung der Kostenübernahme treuwidrig verhalten zu haben.
5.2
Soweit sich der Beschwerdeführer auf den Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht stützt, ist festzuhalten, dass Art. 19 BV zwar einen Anspruch auf eine den individuellen Fähigkeiten des Kindes und seiner Persönlichkeitsentwicklung entsprechende, unentgeltliche Grundschulausbildung auch für Behinderte verschafft, dass sich das kostenlose Bildungsangebot sowohl auf Bundes- als auch auf Kantonsebene jedoch einzig auf die öffentlichen Schulen bezieht (Art. 62 Abs. 2 dritter Satz BV; Art. 60 Abs. 1 VBG; BGer-Urteil 2C_364/2016 vom 2.2.2017 E. 4.1).
Bei der Rudolf Steiner Schule handelt es sich unbestrittenermassen um eine private Regelschule, weshalb sich die beantragte Übernahme der Kosten grundsätzlich nicht auf den Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht stützen lässt. Die Rudolf Steiner Schule ist zwar als bewilligte Privatschule im Kanton Luzern anerkannt (Liste bewilligter Privatschulen/-kindergärten der obligatorischen Schulzeit im Kanton Luzern, Schuljahr 2019/20, abrufbar unter: https://volksschulbildung.lu.ch/-/media/Volksschulbildung/Dokumente/aufsicht\_evaluation /schulaufsicht/bewilligte_privatschulen_kg_kt_luzern.pdf?la=de-CH, zuletzt besucht am 2.4.2020), aber nach Angaben der DVS werden Sonderschulmassnahmen nur in privaten Regelschulen verfügt, mit denen eine entsprechende Leistungsvereinbarung besteht. Dies sei mit der Rudolf Steiner Schule nicht der Fall. Die Kosten lassen sich deshalb nicht auf den Kanton bzw. die Gemeinde überwälzen.
6.1
Die Kostenübernahme für den Besuch einer privaten Schule könnte ausnahmsweise dann in Frage kommen, wenn im spezifischen Fall an öffentlichen Schulen kein ausreichendes schulisches Angebot zur Verfügung steht. Unentgeltlich müssen alle staatlichen Leistungen sein, die ein Kind oder Jugendlicher benötigt, um (diesen) ausreichenden Grundschulunterricht zu erhalten. Besucht ein Kind eine private Schule, obwohl ihm der Besuch einer ausreichenden öffentlichen Schule zumutbar wäre, ist der Staat auch nicht teilweise zur Übernahme der Kosten verpflichtet. Unterhält der Staat jedoch ein geeignetes und zumutbares Angebot, ist er selbst dann nicht verpflichtet, eine private Lösung zu finanzieren, wenn dort ein noch besserer Unterricht zur Verfügung stünde. So gebietet doch der verfassungsmässige Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht, wie erwähnt, nicht die optimale bzw. geeignetste überhaupt denkbare Schulung von behinderten Kindern (BGer-Urteile 2C_364/2016 vom 2.2.2017 E. 4.1.2, 2C_405/2016 vom 9.1.2017 E. 4.2, 2C_686/2012 vom 13.6.2013 E. 3.1.5). Es besteht insofern kein Anspruch auf rechtsgleichen Zugang zu privaten und öffentlichen Schulen.
Melden die Eltern ihr Kind eigenmächtig in einer Privatschule an, wird der Kanton bloss dann kostenpflichtig, wenn es versäumt wurde, eine notwendige Massnahme anzuordnen, sodass die privaten Massnahmen unerlässlich waren (Urteile Verwaltungsgericht Zürich VB.2016.00631 vom 3.5.2017 E. 3.3, VB.2012.00340 vom 22.8.2012 E. 3.3.2). Nachstehend gilt es anhand der Akten zu prüfen, inwieweit dies vorliegend der Fall war.
6.2
6.2.1
Gemäss dem Bericht des schulpsychologischen Diensts Rontal (SPD) vom 31. März 2014 haben sich die Eltern des Beschwerdeführers eine Integration des Beschwerdeführers in die Regelschule gewünscht. Der SPD führt aus, der Beschwerdeführer wäre aufgrund seines Sozialverhaltens, seines ausgesprochen unkomplizierten und offenen Wesens und seines grossen Interesses an anderen Kindern für eine integrative Sonderschulung prädestiniert. Der Besuch im Kindergarten X habe jedoch gezeigt, dass eine integrative Schulung aufgrund seiner körperlichen und motorischen Entwicklung momentan nicht möglich sei. Der SPD empfahl der DVS die Sonderschulung im Chinderhus Y zu bewilligen. In der Folge erliess die DVS am 30. April 2014 einen Entscheid über die Sonderschulung im Einzelfall für den Beschwerdeführer im Chinderhus Y für die Zeit vom 1. August 2014 bis 31. Juli 2015.
Am 22. Januar 2015 beantragten der SPD und die Schulleiterin des Chinderhus Y ─ im Einverständnis der Eltern ─ die Verlängerung der Sonderschulmassnahme, worauf die DVS mit Entscheid vom 24. Februar 2015 die Sonderschulung für den Beschwerdeführer in der privaten Regelschule Chinderhus Y bis 31. Juli 2016 verlängerte.
6.2.2
Im Verlauf des Schuljahres 2015/2016 ergingen sowohl der Bericht von A (Kunsttherapeutin ED Sprache und Drama) vom 23. Mai 2016, welche den Beschwerdeführer seit August 2015 in der therapeutischen Sprachgestaltung begleitete, als auch der Schulbericht von B vom 1. Juni 2016. In beiden Berichten wird die Einschulung des Beschwerdeführers an der Rudolf Steiner Schule empfohlen.
6.2.3
Am 9. August 2016 teilten die Eltern der DVS mit, dass ihr Sohn ab August 2016 den Kindergarten an der Rudolf Steiner Schule in Z besuchen werde. Zusammenfassend geht aus dem Schreiben hervor, dass nach Abklärung von C (Fachpsychologin des SPD) beim Beschwerdeführer ein Bedarf an heilpädagogischer Förderung bestehe. Die Fachpsychologin des SPD habe ihnen empfohlen, ihren Sohn nicht in die Regelschule X zu schicken; die einzige Möglichkeit sei die Sonderschule HPZ Hohenrain. Die Eltern monieren, der Kanton Luzern habe zwar den Kindergarten im Chinderhus Y unterstützt, stelle aber in der Folge für ein Kind mit Integrationspotential kein entsprechendes schulisches Integrationsangebot auf der Grundlage der anthroposophischen Heilpädagogik zur Verfügung. Im Sinn der Konstanz hätten sie (die Eltern) ein weiterführendes Angebot gesucht und sich intensiv darum bemüht, dass ihr Sohn an der Rudolf Steiner Schule in Z im Kindergarten aufgenommen werde. Ebenfalls ein Grund für die Inklusion in dieser Schule sei, dass ihr älterer Sohn diese Schule besuche. Die Empfehlung der Fachpsychologin des SPD gehe nur in Richtung separative Schulung. Sie seien jedoch der Ansicht, dass ihr Sohn integrativ beschult werden sollte und auch könne. Da der Kanton Luzern offenbar nicht in der Lage sei, dem Beschwerdeführer eine inklusive Bildung an öffentlichen Schulen zu bieten, hätten sie sich entschlossen, ihren Sohn diesbezüglich in der Rudolf Steiner Schule einzuschulen. Die Eltern ersuchten um Kostenübernahme der heilpädagogischen Förderung.
6.2.4
Auf Bitte der Eltern erstellte die Fachpsychologin des SPD im Bericht vom 18. August 2016 eine Zusammenfassung der bisherigen Abklärungen. Aus dem Bericht geht bzgl. Anschlusslösung an die Sonderschulung im Chinderhus Y im Wesentlichen hervor, dass die Fachpsychologin des SPD den Eltern gegenüber ihre Skepsis ausgedrückt hatte, ob eine integrative Sonderschulung dem Beschwerdeführer gerecht werden könne. Der Beschwerdeführer würde bei einer integrativen Sonderschulung in die erste Klasse eintreten. Er sei bzgl. Selbst- und Sachkompetenz deutlich an einem anderen Punkt als die anderen Kinder der ersten Klasse. Eine Integration wäre zumindest auf stofflicher Ebene kaum oder nur sehr begrenzt möglich gewesen. Die Fachpsychologin des SPD weist auf die Einschränkungen der körperlichen und motorischen Entwicklungen des Beschwerdeführers hin. Ebenfalls führt sie aus, weshalb eine Integration in die erste Klasse die Entwicklung der Selbständigkeit und Selbstwirksamkeit des Beschwerdeführers beeinträchtigen könnte. Dem Bericht ist weiter zu entnehmen, dass die Fachpsychologin des SPD den Eindruck hatte, dass die Eltern es ähnlich gesehen und nicht auf eine weitere Diskussion bzgl. integrativer Sonderschulung in der Regelschule gepocht haben. Die Eltern hätten ihr von der Idee berichtet, den Beschwerdeführer nochmals in den Kindergarten an der Rudolf Steiner Schule zu schicken. Die Fachpsychologin des SPD habe die Eltern darauf aufmerksam gemacht, dass sie in diesem Fall nicht auf finanzielle Unterstützung des Kantons zählen könnten, da in der Schweiz keine freie Schulwahl bestehe und in Form des HPZ Hohenrain ein adäquates Angebot für den Beschwerdeführer zur Verfügung stehe. Die Eltern hätten sich entschieden, den Beschwerdeführer in die Rudolf Steiner Schule zu schicken.
6.3
Gemäss den Akten herrschte unter den Verfahrensbeteiligten Einigkeit darüber, dass eine Beschulung in einer Regelklasse an der öffentlichen Schule den Bedürfnissen des Beschwerdeführers nicht gerecht würde. Dem Bericht der Fachpsychologin des SPD vom 18. August 2016 lässt sich entnehmen, dass diese den Anspruch des Beschwerdeführers auf Sonderschulung klar anerkannt hat und dass zwischen ihr und den Eltern Gespräche über die Zukunft des Beschwerdeführers in schulischer Hinsicht stattgefunden haben.
Nach dem Gesagten steht jedoch fest, dass die Eltern den Beschwerdeführer selbständig bei der Rudolf Steiner Schule angemeldet haben und keine Zuweisung durch die DVS erfolgte, wie dies § 21 Sonderschulverordnung vorsieht. Gemäss dieser Bestimmung entscheidet die DVS über die Notwendigkeit der Sonderschulung, die Form dieser Schulung und die einzelnen Massnahmen gestützt auf den Abklärungsbericht des SPD oder des eigenen Fachdiensts (Abs. 1). Die DVS teilt die Lernenden einer geeigneten Sonderschule zu. Die Erziehungsberechtigten sind vorgängig anzuhören (Abs. 2).
6.4
Vorliegend wurde kein Entscheid gemäss § 21 Sonderschulverordnung getroffen. Die DVS begründet dies damit, dass der Beschwerdeführer mit Schreiben vom 1. Oktober 2018 die Kostenübernahme für die heilpädagogische Förderung und die zusätzliche Psychomotoriktherapie beantragte, nachdem er im Sommer 2016 auf das Sonderschulangebot des Kantons Luzern bewusst verzichtet habe. Gestützt auf den hiervor dargestellten Verlauf der Ereignisse ist der DVS zuzustimmen. Im Schreiben vom 9. August 2016 teilten die Eltern der DVS ihren Entschluss mit, den Beschwerdeführer an der Rudolf Steiner Schule einzuschulen. Auch in der Beschwerde wird festgehalten, dass die Eltern selbst nach einer Möglichkeit für eine integrative Beschulung gesucht haben. Damit haben sie bewusst auf staatliche Leistungen verzichtet, die ihnen beim Besuch der öffentlichen Schule zustehen würden.
Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers in der Replik vom 30. August 2019 haben seine Eltern im Schreiben vom 1. Oktober 2018 keinen Antrag auf eine separative Sonderschulmassnahme in der privaten Regelschule Rudolf Steiner gestellt, sondern einen Antrag um Finanzierung einer separativen Sonderschulmassnahme. Folglich entschieden die Vorinstanzen lediglich über die beantragte Kostenübernahme. Ohne Anmeldung an der Rudolf Steiner Schule hätte die DVS einen Sonderschulentscheid mit Anfechtungsmöglichkeit erlassen. Zu diesem Schritt ist es jedoch nicht gekommen. Der Beschwerdeführer macht sodann auch keine Rechtsverweigerung geltend. Damit hat es sein Bewenden.
6.5
Bei den vom Beschwerdeführer beigelegten Berichten von Fachpersonen, welche ihn in der bisherigen Beschulung begleitet haben, handelt sich um Berichte von B, D, A, E, Dr. med. F, Dr. med. G und H.
Der Beschwerdeführer führt zusammenfassend aus, sämtliche involvierten Fachpersonen seien der Ansicht, dass er in der Rudolf Steiner Schule mit der erforderlichen heilpädagogischen Förderung die für ihn angemessene Beschulung erhalte und eine separative Sonderschulung seinem Anspruch nicht gerecht werde.
Das Gericht verkennt nicht, dass sich der Beschwerdeführer an der privaten Regelschule Rudolf Steiner positiv entwickelt hat. Aus diesen durchaus erfreulichen Entwicklungen können die Eltern jedoch keinen Anspruch auf die Übernahme der beantragten Kosten ableiten. Auch stand es ihnen gestützt auf § 19 VBG offen ─ wonach die Erziehungsberechtigten darüber entscheiden, ob die von ihnen Vertretenen die öffentliche Volksschule, eine private Volksschule oder Privatunterricht besuchen ─ ihren Sohn an der Rudolf Steiner Schule anzumelden. An diesen Schritt knüpft jedoch an, dass sie für die Kosten selbst aufkommen müssen. Diese Konsequenz war ihnen spätestens aufgrund der Gespräche mit der Fachpsychologin des SPD bewusst (E. 6.2.4 hiervor).
Auch die Ausführungen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, wonach die Eltern gestützt auf die Empfehlungen der Fachpersonen der Ansicht gewesen seien, dass die Beschulung ihres Sohnes im HPZ Hohenrain nicht angemessen sei und dessen besonderen Bedürfnissen nicht entspräche, greifen bereits deshalb nicht, weil die behördlich vorgesehene Massnahme infolge der eigenmächtigen Anmeldung bei der Rudolf Steiner Schule durch den Beschwerdeführer weder präzisiert noch umgesetzt wurde. Es liegt weder ein Abklärungsbericht des SPD noch des eigenen Fachdiensts der DVS nach § 21 Sonderschulverordnung vor. Beim Bericht des SPD vom 18. August 2016 handelt es sich um eine Zusammenstellung der bisherigen Abklärungen, ohne dass ein konkreter Antrag oder eine Empfehlung an die DVS gestellt wurde. Damit konnte eine Beurteilung der Wirksamkeit und Angemessenheit nicht erfolgen.
Gestützt auf die gemachten Ausführungen kann nicht geschlossen werden, dass die Anmeldung an der Rudolf Steiner Schule unerlässlich gewesen war. Es oblag dem Beschwerdeführer, einen Sonderschulentscheid der DVS mit Anfechtungsmöglichkeit zu erwirken.
6.6
Festzuhalten ist, dass es den Eltern bzw. dem Beschwerdeführer freisteht, an die öffentliche Schule zurückzukehren. Mit Schreiben vom 9. September 2016 machte die DVS den Beschwerdeführer auf die Möglichkeit der Wiederanmeldung an der öffentlichen Volksschule aufmerksam. Unbestritten ist auch, dass es dem Beschwerdeführer überlassen ist, seine Schulpflicht auf eigene Kosten in der Rudolf Steiner Schule weiter zu erfüllen.
Der Beschwerdeführer weist darauf hin, dass mit seiner Beschulung in der Regeklasse einer Privatschule diejenige Schulform gewählt worden sei, die dem Unterricht in der Regelklasse der öffentlichen Schule am nächsten komme. Dazu verweist er auf das Urteil des Kantonsgerichts LGVE 2015 IV Nr. 5.
Im besagten Urteil hielt das Kantonsgericht fest, dass der integrierten Sonderschulung grundsätzlich der Vorrang gegenüber der separierten einzuräumen ist. Ist eine integrative Beschulung ─ wie vorliegend nicht bzw. noch nicht möglich ─ soll in Berücksichtigung dieses Grundsatzes diejenige Schulform gewählt werden, welche dem Unterricht in der Regelklasse am nächsten kommt. Wie das Kantonsgericht indes ebenfalls festhielt, ist die nach dem integrativen Unterricht in der Regelklasse nächst intensivere Form der Sonderbeschulung die externe separative Sonderschulung, wohingegen es sich beim sonderpädagogischen Einzelunterricht um die einschneidendste Form der separativen Sonderschulung in Ausnahmesituationen handelt. Aus dem Verweis auf dieses Urteil kann mithin nicht ohne Weiteres etwas zu Gunsten des Beschwerdeführers abgeleitet werden. Gleichwohl ist dem Beschwerdeführer beizupflichten, dass die Beschulung in einer privaten Regelschule aufgrund ihres Angebots und ihrer Ausgestaltung einer integrativen Sonderschulung näher steht als einer separativen Sonderschulung (Urteil des Kantonsgerichts Luzern 7H 14 157 vom 5.9.2014 E. 2.1). Auch ist nicht zu verkennen, dass dadurch der Kontakt zu nichtbehinderten Gleichaltrigen erleichtert wird, was einer gesellschaftlichen Eingliederung zuträglich ist.
Wie erwähnt, ergibt sich indessen aus dem verfassungsmässigen Recht auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht kein Anspruch auf die optimale bzw. geeignetste Schulung eines Kindes, sondern nur auf ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen. Dass ein solches nicht vorgelegen hätte, ist nicht erstellt (vgl. E. 6 hiervor).
8.1
§ 17 Abs. 3 Sonderschulverordnung sieht vor, dass verhaltensbehinderte Lernende auch in Regelklassen von privaten Schulen geschult werden können, aber nur im Einzelfall.
Die Vorinstanzen legen dar, weshalb die Regelklassen von privaten Schulen nur für bestimmte Lernende mit Verhaltensbehinderungen als Massnahme der Sonderschulung vorgesehen sind. Sie begründen dies damit, dass § 17 Abs. 3 Sonderschulverordnung u.a. voraussetze, dass der Lernende eine schwere Verhaltensbehinderung, i.d.R. mit internalisierendem Störungsbild aufweise. Mit einem solchen Störungsbild würden die Lernenden den Unterricht der angestammten Klasse nicht stören, dem Unterricht aber aufgrund schwerer psychischer Probleme nicht mehr folgen. Diese Störungen würden nicht zwingend eine heilpädagogische Unterstützung in einer spezialisierten Sonderschule, sondern andere Massnahmen erfordern. Lernende mit einem Down Syndrom seien dagegen auf heilpädagogische Unterstützungsmassnahmen im Schulalltag angewiesen. Deshalb könne von einer Lücke in der Rechtsordnung nur in dem Sinn gesprochen werden, als diese tatsächlich gewollt sei. Eine Schulung in Regelklassen von privaten Schulen für geistig behinderte Lernende sei somit bewusst nicht vorgesehen.
8.2
Nach Ansicht des Beschwerdeführers betrifft die beantragte Übernahme der Kosten für die Leistungen der heilpädagogischen Förderung ein kantonales Sonderschulangebot im Sinn von § 1 lit. b Sonderschulverordnung. Zusammenfassend hält er fest, dass in analoger Anwendung von § 17 Abs. 3 Sonderschulverordnung im Einzelfall für die Beschulung von geistig behinderten Lernenden in Regelklassen von privaten Schulen eine gesetzliche Grundlage bestehe. Die Behauptung der DVS, wonach keine entsprechende gesetzliche Grundlage vorhanden sei, verstosse gestützt auf ihr Verhalten gegen den Grundsatz von Treu und Glauben. Sollte eine analoge Auslegung dieser Bestimmung für Lernende mit einer geistigen Behinderung verneint werden, sei von einer echten Gesetzeslücke auszugehen, die vom Gericht zu füllen sei. Der Beschwerdeführer stützt sich im Wesentlichen auf das kantonale Konzept der DVS für Sonderschulung 2008 vom Januar 2008, um das Vorliegen einer echten Gesetzeslücke zu begründen.
Überdies macht der Beschwerdeführer eine Ungleichbehandlung von Lernenden mit einer Verhaltensbehinderung und Lernenden mit einer geistigen Behinderung geltend, worin er eine Verletzung des Gleichbehandlungsgebots nach Art. 8 Abs. 1 BV und des Diskriminierungsverbots nach Art. 8 Abs. 2 BV sieht. Im Wesentlichen führt er aus, die bisherige Beschulung an der Rudolf Steiner Schule zeige, dass er insbesondere mit der heilpädagogischen Förderung in die Regelklasse der Privatschule integrierbar sei (ohne Beeinträchtigung der anderen Lernenden). Aufgrund dieser Integrierbarkeit sei seine Situation mit den verhaltensbehinderten Lernenden in der Regeklasse einer Privatschule vergleichbar. Die heilpädagogische Unterstützung sei demnach nicht zwingend in einer spezialisierten Sonderschule erforderlich. Zusammenfassend liege kein sachlicher Grund für die Ungleichbehandlung des Beschwerdeführers im Vergleich zu Lernenden mit einer Verhaltensbehinderung vor. Für den Beschwerdeführer ist nicht nachvollziehbar, weshalb heilpädagogische Unterstützungsmassnahmen im Gegensatz zu "anderen Massnahmen" als Ausschlusskriterium für die Beschulung eines Lernenden in der privaten Regelschule herangezogen werden.
8.3
8.3.1
Es ist richtig, dass die DVS am 30. April 2014 und 24. Februar 2015 die Sonderschulung für den Beschwerdeführer in der privaten Regelschule Chinderhus Y verfügte (E. 6.2.1 hiervor). Die DVS begründet dieses Vorgehen damit, dass sie ausnahmsweise das Chinderhus Y als separative Sonderschulmassnahme verfügt habe, weil unklar gewesen sei, ob der Beschwerdeführer künftig in der Regelklasse integriert geschult werden könne. Um die Option Integration vor Separation in der weiteren Schullaufbahn des Beschwerdeführers offen zu halten, habe man letztlich ausnahmsweise den Besuch im privaten Kindergarten Chinderhus Y verfügt, im Wissen um die heilpädagogische Begleitung. Die beiden Sonderschulverfügungen seien keine Versprechen an den Beschwerdeführer gewesen, dass er auch künftig die Sonderschulung über eine private Regelschule finanziert erhalte. Die Frage, ob es sich dabei um eine integrative Sonderschulmassnahme gemäss § 17 Abs. 3 Sonderschulverordnung gehandelt hat, wie dies vom Beschwerdeführer geltend gemacht wird, kann mit Blick auf die folgenden Ausführungen offen gelassen werden.
8.3.2
Der Grundsatz von Treu und Glauben gebietet ein loyales und vertrauenswürdiges Verhalten im Rechtsverkehr. Dieser Grundsatz wirkt sich in zweifacher Hinsicht aus: Einerseits in der Form des Vertrauensschutzes und andererseits als Verbot widersprüchlichen Verhaltens sowie als Verbot des Rechtsmissbrauchs (Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, N 620 ff.). Aus dem Gesagten hat sich die DVS weder widersprüchlich noch rechtsmissbräuchlich verhalten. Auch ist nicht erkennbar, dass eine falsche Auskunft einer Behörde vorliegt, die unter bestimmten kumulativen Voraussetzungen eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung des Rechtssuchenden gebietet. Damit hat es sein Bewenden.
8.4
8.4.1
Gemäss Art. 8 Abs. 1 BV sind alle Menschen vor dem Gesetz gleich. Der Grundsatz der Rechtsgleichheit verlangt, dass Gleiches nach Massgabe seiner Gleichheit gleich, und Ungleiches nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Es geht mithin um eine relative Gleichbehandlung (BGE 138 I 225 E. 3.6.1).
Gemäss Art. 8 Abs. 2 BV darf niemand diskriminiert werden, u. a. namentlich nicht wegen einer körperlichen, geistigen oder psychischen Behinderung. Entscheidend für die Erfassung durch das Diskriminierungsverbot ist die Gefahr der Stigmatisierung und des gesellschaftlichen Ausschlusses wegen körperlicher oder geistiger Anormalität. Diskriminierungsträchtige Ungleichbehandlungen sind "qualifiziert zu rechtfertigen"; sie dürfen nicht einfach an das Unterscheidungsmerkmal, mithin die Eigenschaft, anknüpfen, welche die diskriminierte Gruppe definiert. Mit Art. 8 Abs. 4 BV, wonach das Gesetz Massnahmen zur Beseitigung von Benachteiligungen der Behinderten vorsieht, ist die Benachteiligung behinderter Kinder grundsätzlich unvereinbar, nicht aber ihre unterschiedliche Behandlung ─ etwa im schulischen Bereich ─ schlechthin, soll doch jedes behinderte Kind seinen intellektuellen Fähigkeiten entsprechende Schulen besuchen können. Das Wohl des (behinderten) Kindes ist massgebend für den Entscheid, welche Schule in Frage kommt. Weder qualifiziert sich die Sonderschulung als ein Eingriff in das Recht des Kindes auf freie Entfaltung der Persönlichkeit, noch besteht ein Anspruch, ohne Rücksicht auf die Fähigkeiten andere Schulen am Wohnort zu besuchen, wenn dort keine Sonderschulung möglich ist, die der konkreten Behinderung entspricht (BGE 130 I 352 E. 6.1.1 f.). Soweit möglich soll die inklusive Schulung in der Regelschule den Normalfall bilden. Jedoch besteht kein Anspruch darauf, eine Regelschule zu besuchen (BGer-Urteil 2C_154/2017 vom 23.5.2017 E. 5.1).
8.4.2
Die Vorinstanz verneint eine Verletzung des Gleichheitsgebots damit, dass sich die Ausgangslage des Beschwerdeführers gegenüber jener eines Lernenden mit einer Verhaltensbehinderung durch die Art der Behinderung unterscheide. Im Übrigen gehe jedem Entscheid über einen allfälligen Sonderschulbedarf eine individuelle Betrachtung des Einzelfalls voraus bzw. der Entscheid basiere immer auf einem Einzelgutachten. Im Bereich der Sonderschulung würden deshalb praktisch immer unterschiedliche Ausgangslagen vorliegen.
Der Beschwerdeführer anerkennt, dass im Sonderschulbereich aufgrund der verschiedenen Behinderungsarten unterschiedliche Ausgangslagen vorliegen würden. Er macht jedoch geltend, um den Anspruch auf Sonderschulmassnahmen zu klären, könne es nicht auf die Art der Behinderung ankommen. Die unterschiedlichen Erscheinungsformen der verschiedenen Behinderungen würden dazu führen, dass Lernende trotz gleichgelagerter Behinderung unterschiedliche Beeinträchtigungen hätten. Demzufolge könne auch der Bedarf im Hinblick auf die Sonderschulung trotz gleichartiger Behinderung unterschiedlich sein. Anknüpfungskriterium für eine Gleichbehandlung bzw. für eine sachlich begründete Unterscheidung sei die aus der Behinderung resultierende Beeinträchtigung. Seine geistige Behinderung stelle kein zulässiges Kriterium dar.
8.4.3
In Erinnerung zu rufen ist, dass Sonderschulmassnahmen, unabhängig für verhaltens- oder geistig behinderte Lernende, durch die DVS angeordnet werden. Auch bei Lernenden mit einer Verhaltensbehinderung, welche nur im Einzelfall im Rahmen der Sonderschulung privat geschult werden, gilt diese Massnahme lediglich bei einer Zuweisung durch die DVS als Sonderschulung im Sinn der Sonderschulverordnung und wird entsprechend finanziert. Der Umstand der freiwilligen Anmeldung an der Rudolf Steiner Schule hatte den Abbruch des Sonderschulverfahrens zur Folge und fällt vorliegend massgeblich ins Gewicht. Denn in der Folge konnte und musste die DVS nicht über Sonderschulmassnahmen in einer Privatschule verfügen. Der Entscheid der DVS beschränkt sich auf die Beurteilung der Übernahme der Finanzierung der freiwillig in Anspruch genommenen heilpädagogischen Förderung. Mangels Vorliegen einer Verfügung über eine eigentliche Sonderschulmassnahme läuft die Argumentation des Beschwerdeführers zur rechtsungleichen und diskriminierenden Behandlung von verhaltensbehinderten und geistig behinderten Lernenden folglich ins Leere. Der Beschwerdeführer legt in keiner Weise dar, in welchen Fällen die DVS einen gleich gearteten Fall, also die Finanzierung einer nach Sonderschulverordnung vorgesehenen Förderungsmassnahme bei freiwilligem Besuch einer Privatschule, anders behandelt hätte. Es mag zutreffen dass er mit der notwendigen Unterstützung in die Regelklasse der Privatschule integrierbar ist. Dieser Umstand alleine ist jedoch nicht ausreichend. Denn erforderlich sind zwei tatsächlich gleiche Situationen, die ohne sachlichen Grund rechtlich unterschiedlich behandelt werden (BGE 136 I 345 E. 5). Ebenfalls mag zutreffen, dass geistig behinderte Lernende im Rahmen der integrativen Sonderschulung an öffentlichen Schulen Anspruch auf drei bis sechs Lektionen schulischer Heilpädagogik sowie weiterer Unterstützungsmassnahmen haben, die dem Beschwerdeführer aufgrund des Besuchs einer Privatschule "untersagt" werden. Dieser Umstand gründet auf dem Grundsatz, dass der Grundschulunterricht nur an öffentlichen Schulen unentgeltlich ist, wobei es im Geltungsspielraum des Staates liegt, ob und inwieweit er behinderungsbedingte Leistungen auf Privatschulen ausdehnen will (BGer-Urteil 2C_405/2016 vom 9.1.2017 E. 4.6). Durch den freiwilligen Besuch einer Privatschule wird auf staatliche Leistungen verzichtet, die den Eltern beim Besuch der öffentlichen Schule zuteil würden. Die Frage, ob Sonderschulmassnahmen für Lernende mit einer geistigen Behinderung in einer Privatschule möglich sind, mithin ob eine echte Lücke vorliegt, die vom Richter gefüllt werden darf, stellt sich mangels entsprechender Anordnung durch die DVS vorliegend nicht. Aus demselben Grund greift auch der Einwand des Beschwerdeführers, wonach er ohne Prüfung des Einzelfalls von der Beschulung in der Regelklasse einer Privatschule ausgeschlossen bzw. ihm die für ihn notwendige heilpädagogische Förderung untersagt werde, nicht.
8.5
Was die Überlegungen des Beschwerdeführers betrifft, wonach die Finanzierung der heilpädagogischen Förderung an der Rudolf Steiner Schule auch mit Blick auf das Kindswohl angezeigt sei, ist Folgendes zu bemerken:
Dem Beschwerdeführer steht die Rückkehr an die öffentliche Schule offen (E. 6.6 hiervor). Es wäre dann Sache der DVS, dem Beschwerdeführer aufgrund seiner geistigen Behinderung eine bestmögliche Entwicklung zu gewähren. Der Einwand des Beschwerdeführers, auf dem besten Weg zu sein, künftig ein möglichst selbstständiges Leben zu führen und sich in der Gesellschaft zu integrieren, ist berechtigt. Diese erfreuliche Entwicklung führt aber nicht dazu, dass eine mögliche separative Sonderschulung dem Wohl des Beschwerdeführers zuwiderlaufen würde. Wie die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid festhält, ist es nicht Sache des Staates, Sonderschulmassnahmen zu finanzieren, wenn die Eltern sich für eine private Beschulung bzw. gegen ein öffentliches Bildungsangebot entschieden haben.
8.6
Schliesslich moniert der Beschwerdeführer, dass die Ablehnung der Kostenübernahme im Widerspruch zum Verhältnismässigkeitsgrundsatz stehe. Zusammenfassend führt er aus, dass die Kosten für die heilpädagogische Förderung an der Rudolf Steiner Schule deutlich geringer seien als die Kosten für seine Beschulung im HPZ Hohenrain, welche sich jährlich auf ca. Fr. 100'000.-- belaufen würden. Es könne daher nicht angeführt werden, die vorliegende Sonderschulmassnahme belaste den Staat zusätzlich.
Es liegt auf der Hand, dass die Kosten der heilpädagogischen Förderung im Ausmass von sechs Lektionen pro Schulwoche tiefer sind als die Kosten am HPZ Hohenrain, die dem Staat anfallen würden. Doch selbst wenn dem Staat aus dem Verzicht auf Inanspruchnahme von behinderungsbedingten Angeboten der öffentlichen Schule unmittelbar eine Ersparnis erwächst, müssen die entsprechenden Kosten nicht erstattet werden. Denn die Leistungen der öffentlichen Schule sind als Ganzes unentgeltlich; es können nicht einzelne Leistungen abgespalten und die Kosten dafür eingefordert werden (BGer-Urteil 2C_405/2016 vom 9.1.2017 E. 4.6).
Zu bemerken ist, dass die beantragte Kostenübernahme abgelehnt wurde, weil die private Regelschule Rudolf Steiner nicht zum öffentlichen Bildungsangebot der Sonderschule zählt und nicht, weil die Sonderschulmassnahme den Staat zusätzlich finanziell belastet. Im Übrigen erwähnt der Beschwerdeführer mit keinem Wort, dass ihm die weitere Übernahme der Kosten für die heilpädagogische Förderung finanziell nicht zumutbar sei und deswegen abgebrochen werden müsse.
Nach dem Gesagten erweist sich der Entscheid der Vorinstanz als richtig und ist zu bestätigen. Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen.
(Kosten- und Entschädigungsfolgen)