Aus den Erwägungen:
Der Lernfahrausweis ist — wie der Führerausweis — eine Polizeierlaubnis (Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl., Zürich/St. Gallen 2010, Rz. 2523f.). Wird die bewilligungspflichtige Tätigkeit vorgenommen, ohne zuvor die erforderliche Erlaubnis einzuholen, haben die Verwaltungsbehörden einzuschreiten und die Durchführung eines Bewilligungsverfahrens bzw. der Einstellung der Tätigkeit zu erzwingen (Häfelin/Müller/Uhlmann, a.a.O., Rz. 2527).
b) Auf entsprechendes Gesuch hin wird der Lernfahrausweis gemäss Art. 15 Abs. 1 VZV nach bestandener Prüfung der Basistheorie erteilt. Ist keine solche Prüfung abzulegen, wird der Lernfahrausweis zuerkannt, wenn die Voraussetzungen zu dessen Erwerb erfüllt sind. Der Lernfahrausweis der Kategorie A wird nur für Motorräder mit einer Motorleistung von nicht mehr als 25 kW und einem Verhältnis von Motorleistung und Leergewicht von nicht mehr als 0,16 kW/kg erteilt (beschränkte Motorleistung; Art. 15 Abs. 2 VZV). Diese Beschränkung gilt u.a. nicht bei Personen, die das 25. Altersjahr vollendet haben (unbeschränkte Motorleistung; Art. 15 Abs. 2 lit. a VZV). Der Lernfahrausweis für die Kategorie A und die Unterkategorie A1 ist vier Monate gültig (Art. 16 Abs. 1 lit. a VZV). Diese Gültigkeitsdauer wird um zwölf Monate verlängert, wenn der Nachweis der erfolgreichen Absolvierung der praktischen Grundschulung vorliegt (vgl. Art. 16 Abs. 2 VZV). Einen zweiten Lernfahrausweis kann nur beantragen, wer aufgrund eines Tests der Zulassungsbehörde als fahrgeeignet gilt oder nach Ablauf der Gültigkeitsdauer des ersten Lernfahrausweises noch nicht alle Prüfungsmöglichkeiten ausgeschöpft hat. Dabei verfügt die Zulassungsbehörde allfällige Auflagen (Art. 16 Abs. 4 VZV).
b) (…) Da der Beschwerdeführer die Voraussetzungen für die Erteilung des Führerausweises der Kategorie A mit unbeschränkter Motorenleistung innerhalb der ihm eingeräumten Frist von 32 Monaten (Erteilung von zwei Lernfahrausweisen inkl. der Verlängerungsmöglichkeit; Art. 16 Abs. 1, 2 und 4 VZV) nicht zu erfüllen vermochte, hat er keinen Rechtsanspruch auf Erteilung einer weiteren Polizeierlaubnis, obwohl er die übrigen Voraussetzungen von Art. 16 VZV (Nichtausschöpfen sämtlicher Prüfungsmöglichkeiten, erfolgreiche Absolvierung der praktischen Grundschulung) erfüllt.
Auch wenn somit kein Anspruch auf Erteilung eines dritten Lernfahrausweises besteht, ist dem Beschwerdeführer immerhin darin zuzustimmen, dass die Ausstellung eines dritten Ausweises vom Gesetz und der Verordnung auch nicht zwingend und für jeden Fall ausgeschlossen wird. Wie es sich damit verhält, ist im Folgenden aufzuzeigen.
a) Hat eine gegen einen Fahrzeugführer gerichtete Massnahme fünf Jahre gedauert, so hat nach Art. 23 Abs. 3 SVG die Behörde des Wohnsitzkantons auf Verlangen eine neue Verfügung zu treffen, wenn glaubhaft gemacht wird, dass die Voraussetzungen weggefallen sind. Sinn dieser Regelung ist es, dem Betroffenen einen Anspruch auf einen neuen, aber nicht notwendigerweise positiven Entscheid zu geben, wenn eine Massnahme fünf Jahre gedauert hat (Botschaft des Bundesrates an die Bundesversammlung vom 24.6.1955 zum Entwurf eines Bundesgesetzes über den Strassenverkehr, BBl 1955 II 1, S. 28 und 76). Art. 23 Abs. 3 SVG ist damit an sich auf das Massnahmerecht ausgerichtet, welches vorliegend aber nicht im Vordergrund steht. Weder der Wortlaut noch die ratio legis noch die systematische Einordnung («3. Abschnitt: Gemeinsame Bestimmungen») stehen jedoch einer analogen Anwendung entgegen. Eine analoge Anwendung erscheint überdies auch dadurch gerechtfertigt, dass sie auf der aus dem Massnahmerecht hergeleiteten Vermutung beruht, wonach ernsthafte Bedenken über die Fahreignung der betreffenden Person bestehen, wenn diese es nicht schafft, während der Gültigkeitsdauer von zwei Lernfahrausweisen für Motorräder die praktische Führerprüfung zu bestehen (vgl. zum Ganzen: LGVE 2011 II Nr. 16 E. 5a; Urteil A 07 66 vom 16.7.2007, E. 2c).
b) Das Bundesamt für Strassen (ASTRA) führt in seiner Stellungnahme aus, dass die Erteilung eines Lernfahrausweises im Sinn einer Massnahme auf unbestimmte Zeit verweigert werde, wenn jemand die Voraussetzungen für die Erteilung eines zweiten Lernfahrausweises nicht erfülle oder auch während der Gültigkeit des zweiten Lernfahrausweises die Prüfung nicht bestanden habe, denn eine solche Person erscheine als nicht fahrgeeignet. Dementsprechend müsse auf ein weiteres Gesuch nicht eingetreten werden. Art. 23 Abs. 3 SVG verkürze die Dauer dieser Verweigerung auf maximal fünf Jahre, wobei es aber im Ermessen der Kantone stehe, ob sie bereits vor Ablauf dieser Frist einen weiteren Lernfahrausweis ausstellen wollen. Dies aus folgendem Grund: Werde die praktische Führerprüfung während der Gültigkeitsdauer von zwei Lernfahrausweisen nicht bestanden, bestünden berechtigte Zweifel an der Fahreignung. Die Ursachen für das Prüfungsversagen könnten jedoch mannigfaltig sein und von Trödelei über mangelnde psychische Eignung bis hin zu motorischen Problemen reichen. Es sei deshalb wichtig, dass die Ursache jeweils im Einzelfall abgeklärt würde und die Kantone — anders als bei Massengeschäften — die Möglichkeit hätten, eine fallgerechte Lösung zu finden. So könnten die Kantone beispielsweise gar unmittelbar nach Ablauf der Gültigkeitsdauer des zweiten Lernfahrausweises auf ein Gesuch eintreten und die im Einzelfall erforderlichen Bedingungen aufstellen (Einholung eines verkehrspsychologischen Gutachtens, zweijährige Sperrfrist, obligatorische Ausbildung durch einen Fahrlehrer oder Ausstellung eines Lernfahrausweises nur bis zu einem in Kürze festzulegenden Prüfungstermin). Der Bundesrat habe den Kantonen deshalb bei der Erteilung eines dritten oder allfälligen weiteren Lernfahrausweises absichtlich einen grossen Ermessensspielraum eingeräumt.
Die Ausführungen des ASTRA zeigen, dass den kantonalen Zulassungsbehörden ein weiter Entscheidungsspielraum zusteht für die Beurteilung der Frage, ob, wann und unter welchen allfälligen Bedingungen einem Gesuchsteller, der bereits über zwei Lernfahrausweise einer bestimmten Motorfahrzeugkategorie verfügte, ein dritter Lernfahrausweis erteilt werden könne. Das ASTRA betont aber auch, dass die Behörden diese Freiheit in dem Sinn ausnützen müssen, als sie eine dem Einzelfall und den Umständen angemessene Lösung anzustreben und eine Anordnung zu treffen haben, die auf die Situation sowie auf die Person des jeweiligen Gesuchstellers (mit seinen allfälligen geistigen oder körperlichen Schwächen) sozusagen «massgeschneidert» ist. Mit zu berücksichtigen sind insbesondere die Gründe, weshalb der Gesuchsteller innert der vorgegebenen Frist die praktische Prüfung nicht absolvierte (bzw. absolvieren konnte) oder diese nicht bestand. Diese Rücksichtnahme auf die individuellen Gegebenheiten erweist sich auch deswegen als gerechtfertigt, weil es sich bei solchen Anordnungen nicht mehr um Geschäfte der Massenverwaltung handelt.
c/aa) Gesteht das Gesetz der verfügenden Instanz einen weiten Ermessensspielraum zu, auferlegt sich das Gericht bei der Überprüfung der Ermessensausübung eine Zurückhaltung in dem Sinn, dass es nicht ohne Not in das Ermessen der Verwaltungsbehörde eingreift, selbst wenn ihm — wie hier — die volle Kognition zukommt, es mithin auch ermächtigt ist, die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung zu überprüfen. Dass eine Verwaltungsbehörde über einen grossen Ermessensspielraum verfügt, bedeutet allerdings nicht, dass sie in ihrem Entscheid völlig frei ist. Vielmehr hat sie ihr Ermessen einerseits überhaupt auszuüben: Betrachtet sich die entscheidende Behörde als gebunden, obwohl sie vom Gesetz ermächtigt wäre, nach Ermessen zu handeln, oder verzichtet sie von vornherein ganz oder teilweise auf eine Ermessensausübung, so begeht sie eine Ermessensunterschreitung (vgl. BGE 137 V 73 E. 5.1). Die Ermessensbetätigung muss überdies pflichtgemäss, d.h. unter Berücksichtigung der verfassungsmässigen Grundprinzipien erfolgen (BGE 122 I 267 E. 3b). Pflichtgemässe Ausübung bedeutet überdies nicht nur, dass der Entscheid rechtmässig, sondern auch dass er angemessen (zweckmässig) sein muss (Häfelin/Müller/Uhlmann, a.a.O., Rz. 441; vgl. auch Kölz/Bosshart/Röhl, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Aufl., Zürich 1999, § 50 N 70 und 78ff.).
bb) Vor diesem Hintergrund ist die angefochtene Verfügung allzu schematisch, beruft sich die Vorinstanz darin doch lediglich auf ihre Praxis, die Sperrfrist von Art. 23 Abs. 3 SVG von fünf auf zwei Jahre zu verkürzen, ohne auf die tatsächliche Konstellation Bezug zu nehmen. Weder aus der Verfügung noch aus der in der Vernehmlassung enthaltenen Begründung geht hervor, dass die Vorinstanz die konkreten Umstände vor dem Entscheid abgeklärt und andere möglichen Bedingungen oder Auflagen (z.B. Ansetzen einer kurzen Nachfrist, innert der der dritte Prüfungsversuch zu absolvieren wäre) geprüft, diese aber verworfen hätte. Das Fehlen dieser Würdigung fällt hier umso stärker auf, als gerichtsnotorisch ist, dass die Vorinstanz in anderen Fällen den dritten Lernfahrausweis durchaus unmittelbar anschliessend an den Ablauf der Gültigkeitsdauer des zweiten Lernfahrausweises der nämlichen Kategorie erteilt hat, die erforderlichen Abklärungen und Abwägungen dort also jeweils vorgenommen hat. Mithin muss sich die Vorinstanz eine Ermessensunterschreitung vorwerfen lassen, indem sie sich nicht darum bemühte, eine der Situation und der Person des Beschwerdeführers angemessene Lösung zu finden. Dies wird auch nicht dadurch wettgemacht, dass die Vorinstanz im Beschwerdeverfahren eine Begründung nachliefert, weshalb die zweijährige Sperrfrist angebracht sei. Denn ihre gemachten Ausführungen zeigen, dass sie sich erst auf die Beschwerde hin (d.h. nach Erlass der angefochtenen Verfügung) mit den konkreten Umständen auseinandergesetzt hat.
d) Hat die Vorinstanz das ihr von Gesetzes wegen eingeräumte Ermessen für die Beurteilung der Frage, ob, wann und unter welchen Bedingungen einem Gesuchsteller, der bereits über zwei Lernfahrausweise verfügte, ein dritter Lernfahrausweis erteilt werden könne, nicht ausgeübt, erweist sich die angefochtene Verfügung als rechtsfehlerhaft und ist dem Beschwerdeantrag entsprechend aufzuheben.