Die Klassenlehrperson und die Eltern von Y konnten sich im Rahmen des Verfahrens über den Übertritt von Y in die Sekundarstufe I nicht einigen. Während die Klassenlehrperson einen Übertritt von Y in das Niveau A der Sekundarschule empfahl, befürworteten die Eltern eine Zuweisung in ein Langzeitgymnasium. In der Folge beantragte die von ihren Eltern vertretene Y die Aufnahme in die 1. Klasse des Langzeitgymnasiums der Kantonsschule Z, welche die Schulleitung der Kantonsschule jedoch ablehnte. Die von ihren Eltern vertretene Y erhob daraufhin Beschwerde beim Bildungs- und Kulturdepartement und beantragte, dass der ablehnende Entscheid aufzuheben und die Aufnahme in das Langzeitgymnasium zu bewilligen sei. Im Wesentlichen machte sie dabei geltend, dass die Kantonsschule ihr das rechtliche Gehör verweigert und die Beurteilung ihrer Fähigkeiten einzig gestützt auf die Meinung der Klassenlehrperson vorgenommen worden sei. Die Klassenlehrperson sei ihr gegenüber von Anfang an negativ eingestellt gewesen und habe bei der Beurteilung das schwierige Umfeld, in dem sie sich sowohl in der Klasse als auch — bedingt durch einen Unfall ihres Vaters — zu Hause befinde, nicht angemessen berücksichtigt. Das Bildungs- und Kulturdepartement wies die Beschwerde ab.
Aus den Erwägungen:
2.1. Gemäss Artikel 29 Absatz 2 der Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 18. April 1999 (BV) haben Verfahrensparteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieser Anspruch dient einerseits der Sachaufklärung und ist andererseits ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht. Gestützt darauf besitzen die Verfahrensparteien das Recht, sich vor Erlass eines in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis äussern zu können, sofern dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (vgl. BGE 127 I 54 E. 2b S. 56). Zur Frage, wann der massgebende Sachverhalt ausreichend festgestellt ist, macht Artikel 29 BV keine Vorgabe. Ist dieser ohne weitere Abklärungen offenbar (sogenannt liquid), entscheidet die zuständige Behörde unverzüglich. Nimmt sie demgegenüber Abklärungen vor, muss den Parteien Gelegenheit gegeben werden, sich zu diesen Abklärungen zu äussern.
2.2. Weiter geht § 9 Absatz 3 der Verordnung über die Übertrittsverfahren in der Volksschule vom 15. Mai 2007 (im Folgenden: Übertrittsverordnung). Gemäss dieser Bestimmung entscheidet die Schulleitung bei Uneinigkeit über die Zuweisung erst nach Anhörung der Klassenlehrperson und der Erziehungsberechtigten. Hört die Schulleitung weder die Klassenlehrperson noch die Erziehungsberechtigten an, verletzt sie die kantonale Vorgabe, wie sie den Sachverhalt festzustellen hat. Hört sie nur die Klassenlehrperson an, verletzt sie zudem den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör, weil sie ihr keine Gelegenheit gab, zu den (allenfalls neuen oder präzisierenden) Vorbringen der Klassenlehrperson Stellung zu beziehen. Anders als von der Beschwerdeführerin vorgebracht, stellt § 9 der Übertrittsverordnung allerdings keine Vorschrift darüber auf, wie die Anhörung zu erfolgen hat. Ein Anrecht auf ein persönliches Gespräch lässt sich aus dieser Bestimmung auf jeden Fall nicht ableiten. «Anhörung» ist im Kontext der Sachverhaltsklärung nicht wörtlich zu verstehen, weshalb das Einholen einer schriftlichen Stellungnahme dem Zweck der Bestimmung durchaus gerecht wird. Um sich einen persönlichen Eindruck von den Lernenden verschaffen zu können, würde es denn auch nur beschränkt Sinn machen, die Erziehungsberechtigten wie von der Verordnung verlangt — und nicht die Lernenden — «anzuhören». Eine Anhörung der Klassenlehrperson ist unbestrittenermassen erfolgt. So hatte diese mit Schreiben vom 5. April 2012 ihre Sicht präzisierend darlegen können. Demgegenüber ist eine Anhörung der Beschwerdeführerin oder ihrer Eltern ebenso unbestrittenermassen nicht erfolgt, weshalb der Anspruch auf rechtliches Gehör unzweifelhaft verletzt worden ist.
2.3. Wiegt die Verletzung des Gehörsanspruchs nicht besonders schwer, ist eine Heilung im Rechtsmittelverfahren praxisgemäss möglich, wenn die betroffene Partei nachträglich ihren Mitwirkungsanspruch wahrnehmen kann und die Rechtsmittelinstanz mit gleicher Kognition prüft. Selbst bei einer schwer wiegenden Verletzung des rechtlichen Gehörs kann aber von einer Rückweisung an die Vorinstanz abgesehen werden, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (vgl. BGE 132 V 387 E. 5 S. 390).
2.4. Im Rahmen des vorliegenden Verfahrens haben die Beschwerdeführerin bzw. ihre Eltern im Nachhinein Gelegenheit bekommen, zur schriftlichen Erklärung der Klassenlehrperson vom 5. April 2012 Stellung zu nehmen. Zudem ist die Überprüfungskognition der Beschwerdeinstanz uneingeschränkt (vgl. § 148 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 [VRG]), und das neue Schuljahr beginnt bereits am 1. August 2012. Zwar startet der eigentliche Schulunterricht «erst» am 20. August 2012, und ein Neuentscheid durch die Vorinstanz vor dem effektiven Schulstart wäre möglich. Im Licht sämtlicher Umstände, insbesondere des Interesses der Beschwerdeführerin und aller Beteiligten an einer möglichst umgehenden Verfahrenserledigung, rechtfertigt sich eine Rückweisung an die Vorinstanz nicht.
3.1. Vorliegend wurden die drei übertrittsrelevanten Semesterzeugnisse nicht angefochten, weshalb die massgebenden Noten rechtskräftig sind. Die Beschwerdeführerin macht denn auch nicht geltend, dass sie den geforderten Richtwert für einen Übertritt in das Langzeitgymnasium von 5,2 erfüllen würde. Ebenso wenig behauptet sie, dass sie gestützt auf die im Beurteilungsbogen bewerteten fächerübergreifenden Kompetenzen die Voraussetzungen für einen Übertritt in das Langzeitgymnasium erfülle. Sie stört sich vielmehr daran, dass die Beurteilung vorwiegend auf der Meinung der Klassenlehrperson basiere. Ihre Sichtweise und die Sichtweise ihrer Eltern seien praktisch nicht berücksichtigt worden. Insbesondere seien das belastete Verhältnis der Beschwerdeführerin zur Klassenlehrperson ab der 5. Primarklasse, das schwierige Umfeld der Beschwerdeführerin in der Klasse seit Schuleintritt und die psychische Belastung der Beschwerdeführerin aufgrund des schweren Unfalls ihres Vaters in der 2. Primarklasse nicht angemessen gewürdigt worden. Auch ein HAWIK-IV-Test vom Februar 2010, welcher aufgrund der klasseninternen Spannungen im Rahmen einer schulpsychologischen Abklärung durch den zuständigen schulpsychologischen Dienst durchgeführt worden sei und das Potenzial der Beschwerdeführerin belege, sei nicht berücksichtigt worden.
3.2. Implizit macht die Beschwerdeführerin geltend, dass die für den Übertritt massgebenden Noten ihr Potenzial nicht richtig widerspiegeln würden. Darüber, inwiefern die Fähigkeiten und Kompetenzen in den Noten nicht richtig wiedergegeben würden, macht die Beschwerdeführerin allerdings keine konkrete, sondern nur allgemein gehaltene Angaben. Auch die Bewertung der im Beurteilungsbogen aufgeführten fächerübergreifenden Kompetenzen rügt die Beschwerdeführerin nur in allgemeiner Weise als «einseitig und nicht der tatsächlichen Situation entsprechend», ohne eine detaillierte Kritik anzubringen.
3.3. Gestützt auf die Auswertung eines HAWIK-IV-Tests (Hamburg-Wechsler-Intelligenz-Test für Kinder zwischen dem 6. und 16. Altersjahr, Version IV) wurde der Beschwerdeführerin in der von ihr erwähnten Beurteilung ihres intellektuellen Potenzials ein Gesamtwert von 110 bescheinigt. Für die Sprachverarbeitung (SV) wurde ein Wert von 113, für das wahrnehmungsgebundene logische Denken (WLD) ein Wert von 110, für das Arbeitsgedächtnis ein Wert von 108 und für die Verarbeitungsgeschwindigkeit (VG) schliesslich ein Wert von 97 eingesetzt. Mit dem HAWIK-IV-Test wird der Stand der kognitiven Fähigkeiten eines Kindes in kulturnaher Form diagnostiziert (vgl. Quaiser-Pohl/Rindermann, Entwicklungsdiagnostik, München 2010, S. 119). Basierend auf der Normalverteilung nach Carl Friedrich Gauss gilt gemäss Praxis der Schulpsychologischen Dienste des Kantons Luzern folgende Einstufung der IQ-Werte:
>/= 131 weit überdurchschnittliche Leistung
116—130 überdurchschnittliche Leistung
110—115 gut durchschnittliche Leistung
91—109 durchschnittliche Leistung
85—90 knapp durchschnittliche Leistung
70—84 unterdurchschnittliche Leistung
</= 69 weit unterdurchschnittliche Leistung
Gestützt auf diese Einstufung liegen die Leistungen der Beschwerdeführerin bei der Sprachverarbeitung und beim wahrnehmungsgebundenen logischen Denken im gut durchschnittlichen Bereich und die Leistungen des Arbeitsgedächtnisses und die Verarbeitungsgeschwindigkeit im durchschnittlichen Bereich. Praxisgemäss wird der Besuch eines Langzeitgymnasiums erst ab einem gesamten kognitiven Potenzial von über 115 (überdurchschnittlich gemäss Skala der Luzerner Schulpsychologischen Dienste) empfohlen.
3.4. Das Testergebnis korreliert mit den für den Übertritt massgebenden Notenwerten in den Fächern Deutsch, Mathematik sowie Mensch und Umwelt. Hervorzuheben ist in diesem Zusammenhang auch die Differenzierung der Klassenlehrperson in ihrer Stellungnahme vom 5. April 2012, nach welcher die Beschwerdeführerin über eine hohe Lesekompetenz und einen umfangreichen Wortschatz verfüge. Diese Einschätzung deckt sich mit dem Testergebnis im Bereich der Sprachverarbeitung. Das Fehlen einer Diskrepanz lässt darauf schliessen, dass die Bewertungen der Klassenlehrperson die tatsächliche Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin trotz der von dieser geltend gemachten Schwierigkeiten mit der Klassenlehrperson korrekt wiedergeben. Sowohl die Bewertung der Lehrperson als auch das Testergebnis weisen ein kognitives Potenzial der Beschwerdeführerin für den Besuch eines oberen Niveaus der Sekundarschule aus. Gestützt auf diese Sachlage drängt es sich nicht auf, eine weitere Potenzialabklärung durchzuführen, insbesondere nicht angesichts der Belastung, welche eine Abklärung für die Testperson regelmässig darstellt, und der Tatsache, dass mehrere Potenzialabklärungen innerhalb einer relativ kurzen Frist gemäss den Erfahrungen der Luzerner Schulpsychologischen Dienste kaum zu veränderten Ergebnissen führen. Zwar kann der psychische Zustand einer Testperson Einfluss auf das Ergebnis haben. Vorliegend spricht aber wenig dafür, dass eine negative Beeinflussung tatsächlich stattfand, geht doch die Beschwerdeführerin selber davon aus, dass die von ihr angeführte Abklärung ihr effektives Potenzial widerspiegle.
4.1. Gemäss § 5 Absatz 1 der Übertrittsverordnung entscheiden die Klassenlehrperson und die Erziehungsberechtigten gestützt auf die Beurteilungsergebnisse gemeinsam über die Zuweisung. Der gemeinsame Entscheid ist von der zugewiesenen Schule zu bestätigen (§ 5 Abs. 2 der Verordnung). Sind sich die Klassenlehrperson und die Erziehungsberechtigten nicht einig, können die Erziehungsberechtigten bei der Schule ihrer Wahl ein Aufnahmegesuch stellen (vgl. § 5 Abs. 3 der Verordnung). Stellen die Erziehungsberechtigten kein Aufnahmegesuch, gilt die Einstufung der Klassenlehrperson für die Zuweisung (§ 9 Abs. 2 der Verordnung e contrario). Gleiches gilt für den Fall, dass die gewünschte Schule ein Aufnahmegesuch abweist.
4.2. Aus diesem Mechanismus ergibt sich, dass der Klassenlehrperson bei Uneinigkeit über die Zuweisung ein entscheidendes Gewicht zukommt. Anders als von der Beschwerdeführerin dargestellt, wollte der Gesetzgeber nicht um jeden Preis eine Einigkeit bzw. Mitwirkung der Erziehungsberechtigten. Vielmehr gilt die Meinung der Klassenlehrperson immer als «Auffangtatbestand», wenn keine Einigung erzielt werden kann. Allein aus dem Umstand, dass die Erziehungsberechtigten mit der Beurteilung durch die Klassenlehrperson nicht einverstanden sind, kann nichts zu ihren Gunsten hergeleitet werden. Das Mitwirkungsrecht der Erziehungsberechtigten ist nicht dahingehend zu verstehen, dass es ihre Zustimmung zur Zuweisung in jedem Falle braucht.
Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass alle Umstände dafür sprechen, dass die Beschwerdeführerin die Voraussetzungen für eine Aufnahme in ein Langzeitgymnasium im heutigen Zeitpunkt nicht erfüllt. In diesem Sinne ist der Entscheid der Vorinstanz nicht zu beanstanden. An dieser Stelle ist aber auch zu erwähnen, dass eine gymnasiale Matura immer noch Ziel der Beschwerdeführerin sein kann. Das heutige, durchlässige Bildungssystem wird es der Beschwerdeführerin an verschiedenen Stellen der schulischen Laufbahn — sei es beispielsweise via Kurzzeitgymnasium oder Passerellenlehrgang — erlauben, die gewünschte Richtung wieder einzuschlagen. (Bildungs- und Kulturdepartement, 19. Juni 2012)