Aus den Erwägungen:
Die Beschwerdeführer machen zu Recht nicht geltend, dass sie einen Rechtsanspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung hätten. Als abgewiesene Asylbewerber, die sich bisher geweigert haben, die Schweiz zu verlassen, sind die Beschwerdeführer somit grundsätzlich nicht befugt, ein Verfahren um Erteilung einer ausländerrechtlichen Bewilligung einzuleiten.
Artikel 14 Absatz 1 AsylG gilt nicht unbeschränkt. Ein Kanton kann mit Zustimmung des Bundesamtes für Migration einer ihm nach dem Asylgesetz zugewiesenen Person, die sich seit Einreichung des Asylgesuches mindestens fünf Jahre in der Schweiz aufhält, eine Aufenthaltsbewilligung erteilen, wenn wegen fortgeschrittener Integration ein schwerwiegender persönlicher Härtefall vorliegt (Art. 14 Abs. 2 AsylG); will er von dieser Möglichkeit Gebrauch machen, so meldet er dies dem Bundesamt unverzüglich (Art. 14 Abs. 3 AsylG); die betroffene Person hat nur beim Zustimmungsverfahren des Bundesamtes Parteistellung (Art. 14 Abs. 4 AsylG).
Da das Bundesrecht (Art. 14 Abs. 4 AsylG) abgewiesenen Asylbewerbern im kantonalen Verfahren betreffend Erteilung einer humanitären Aufenthaltsbewilligung nach Artikel 14 Absatz 2 AsylG die Parteistellung abspricht, fehlt den Beschwerdeführern die Legitimation, die Ablehnung einer humanitären Aufenthaltsbewilligung durch die kantonalen Behörden überhaupt anzufechten (vgl. dazu Urteil des Bundesgerichts 2C_526/2008 vom 17. Juli 2008, E. 2).
3.1 Nach dem Gesagten ist eine Verfügung, mit welcher es die Vorinstanz ablehnt, beim Bund eine humanitäre Aufenthaltsbewilligung an einen abgewiesenen Asylbewerber zu erteilen, nur insofern anfechtbar, als der Betroffene geltend machen kann, die Vorinstanz habe zu Unrecht einen Rechtsanspruch verneint oder sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass er als abgewiesener Asylbewerber unter Artikel 14 Absatz 1 AsylG falle. Solche Rügen erheben die Beschwerdeführer zu Recht nicht. Sie machen einzig geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht die Voraussetzungen von Artikel 14 Absatz 2 AsylG verneint. Zu dieser Rüge sind sie aber, wie bereits dargelegt, nicht legitimiert.
3.2 Gemäss § 107 Absatz 2d des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 (VRG) setzt ein Sachentscheid namentlich die Befugnis zur Rechtsvorkehr voraus. Nach § 107 Absatz 3 VRG tritt die Behörde auf die Sache der betreffenden Partei nicht ein, wenn eine Voraussetzung für den Sachentscheid fehlt. Somit ist insgesamt auf die Beschwerde nicht einzutreten. (Justiz- und Sicherheitsdepartement, 5. November 2008; das Bundesgericht trat auf die gegen diesen Entscheid eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit Urteil 2D_137/2008 vom 12. Dezember 2008 nicht ein.)