Aus den Erwägungen:
4.1 Mit Strafverfügung vom 24. April 2008 bestrafte das Amtsstatthalteramt Luzern die Beschwerdeführerin wegen Führens eines Motorfahrzeuges in angetrunkenem Zustand, Vereitelung der Blutprobe und pflichtwidrigen Verhaltens nach einem Unfall mit Fremdschaden (Nichtgenügen der Meldepflicht) mit einer Geldstrafe von 40 Tagessätzen zu je 90 Franken, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, und einer Busse von 1500 Franken.
4.2 Die Beschwerdeführerin bringt in ihrer Verwaltungsbeschwerde vor, sie habe vor mehr als zwei Jahren in angetrunkenem Zustand einen Verkehrsunfall verursacht. Die Strafverfügung des Amtsstatthalteramtes Luzern sei jedoch erst am 24. April 2008 ergangen, was nicht ihr angelastet werden dürfe. Damit stehe fest, dass sie sich seit mehr als zwei Jahren klaglos verhalten habe. Da sie für ihr Verhalten lediglich mit einer bedingten Geldstrafe und einer Busse bestraft worden sei, liege auch kein Widerrufsgrund nach Artikel 62 AuG vor. Sie lebe seit mehr als zehn Jahren in der Schweiz und sei vollumfänglich integriert. Es sei unverhältnismässig, ihr wegen eines einmaligen Ausrutschers die Niederlassungsbewilligung zu verweigern.
4.3 Die Niederlassungsbewilligung kann in der Regel frühestens nach zehnjährigem Aufenthalt in der Schweiz erteilt werden. Gemäss Artikel 60 der Verordnung über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit vom 24. Oktober 2007 sind vor Erteilung der Niederlassungsbewilligung das bisherige Verhalten der Gesuchstellerin oder des Gesuchstellers sowie der Grad der Integration zu prüfen. Angesichts der Tragweite, welche einer Niederlassungsbewilligung zukommt, ist eine strenge Prüfung unerlässlich. Der fremdenpolizeilich bewilligte Aufenthalt muss ordnungsgemäss gewesen sein, das heisst, der Ausländer darf nicht gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung verstossen haben. Es wäre fragwürdig, Ausländern die Niederlassungsbewilligung zu erteilen, gegen welche - wenn auch nur potenziell - die Voraussetzungen für die Anordnung von Entfernungs- oder Fernhaltemassnahmen gegeben wären (analog der unter dem früheren Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer vom 26. März 1931 [ANAG] geltenden Praxis; vgl. auch Peter Kottusch, Die Niederlassungsbewilligung gemäss Artikel 6 ANAG, in: ZBl 1986 S. 518f.).
4.3.1 Gemäss konstanter Praxis wurden bis 2004 Niederlassungsbewilligungen erst erteilt, wenn seit der Löschung allfälliger Vorstrafen im Strafregister mindestens zwei Jahre verstrichen waren und die Gesuchsteller sich in dieser Zeit klaglos verhalten hatten. Mit Entscheid i.S. D. K. vom 4. Februar 2004 lockerte das Justiz- und Sicherheitsdepartement diese Praxis. Der Umstand allein, dass seit der Löschung einer Strafe im Strafregister noch nicht zwei Jahre verstrichen seien, könne - wenn alle andern Voraussetzungen erfüllt seien - für sich allein nicht genügen, die Niederlassungsbewilligung zu verweigern. Es genüge, dass allfällige Strafen im Strafregister gelöscht seien (LGVE 2004 III Nr. 4). Praxisgemäss wurde seither eine Niederlassungsbewilligung nach zehnjährigem Aufenthalt in der Schweiz erteilt, wenn sich der Ausländer in den letzten zwei Jahren klaglos verhalten hatte, finanziell unabhängig und sozial und beruflich allgemein gut integriert war sowie allfällige Strafen im Strafregister gelöscht waren.
Auf den 1. Januar 2007 ist der revidierte Allgemeine Teil des Schweizerischen Strafgesetzbuches (StGB) in Kraft getreten. Das revidierte Strafgesetzbuch enthält auch neue Bestimmungen über das Strafregister. Neu wird nicht mehr zwischen Löschung und Entfernung von Einträgen im Strafregister unterschieden, und für die Entfernung gelten neue Fristen. Damit stellt sich die Frage, wie die bisherige Bewilligungspraxis unter den neuen Bestimmungen des StGB zu handhaben ist.
4.3.2 Die automatische Löschung des Eintrags im Strafregister durch den Registerführer (Art. 80 Ziff. 1 aStGB) wird in Artikel 369 StGB (Entfernung des Eintrags) neu geregelt. Die Entfernung eines Eintrags ersetzt damit die frühere Löschung. Die Regelungen der Fristen in den Absätzen 1 bis 6 lehnen sich an Artikel 80 Ziffer 1 aStGB an. Nebst dieser automatischen Löschung kannte das alte Recht aber auch die vorzeitige Löschung durch den Richter (Art 80 Ziff. 2 Abs. 1 und 2 aStGB). Auf Gesuch des Verurteilten konnte der Richter dabei die Löschung verfügen, wenn das Verhalten des Verurteilten dies rechtfertigte und der Verurteilte den gerichtlich oder durch Vergleich festgestellten Schaden, soweit es ihm zuzumuten war, ersetzt hatte, die Busse bezahlt, abverdient oder erlassen und das Urteil bezüglich der Nebenstrafen vollzogen war. In diesen Fällen reduzierten sich die Fristen für die Löschung seit Vollzug des Urteils massiv und betrugen beispielsweise bei Haft, Gefängnisstrafen von nicht mehr als drei Monaten und Busse als Hauptstrafe anstatt zehn nur noch zwei Jahre. Zusätzlich sah das alte Recht eine noch frühere Löschung durch den Richter in ausserordentlichen Fällen vor (Art. 80 Ziff. 2 Abs. 3 aStGB). Eine analoge Regelung einer vorzeitigen Löschung durch den Richter kennt das geltende Recht nicht mehr. Artikel 371 StGB sieht jedoch neu vor, dass gewisse Einträge nach einer bestimmten Frist nicht mehr in einem Strafregisterauszug für Privatpersonen erscheinen. Wie ein gelöschter Eintrag nach altem Recht, erscheint nach geltendem Recht ein Eintrag nach einer bestimmten Frist nach Eintritt der Rechtskraft eines Urteils nicht mehr im Auszug (vgl. Art. 369 Abs. 6 StGB). Diese Fristen entsprechen ungefähr denjenigen von Artikel 80 Ziffer 2 aStGB. Bisher setzte die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung die Löschung eines Strafregistereintrags voraus. Diese Praxis hat sich bewährt und soll grundsätzlich beibehalten werden. Nach geltendem Recht ist deshalb darauf abzustellen, ob eine Verurteilung noch im Strafregisterauszug für Privatpersonen erscheint oder nicht. Je nachdem kann bei Vorliegen der übrigen Voraussetzungen die Niederlassungsbewilligung erteilt werden oder nicht.
4.3.3 Die Beschwerdeführerin ist vom Amtsstatthalteramt mit Verfügung vom 24. April 2008 mit einer Geldstrafe von 40 Tagessätzen zu je 90 Franken, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, und einer Busse von 1500 Franken bestraft worden. Es stellt sich die Frage, ob diese Verurteilung noch im Strafregisterauszug für Privatpersonen erscheint.
Die Fristen nach Artikel 371 StGB berechnen sich auf der Basis der Entfernungsfristen gemäss Artikel 369 StGB. Der Fristenlauf beginnt bei Urteilen, die eine Geldstrafe oder eine Busse als Hauptstrafe haben, an dem Tag, an dem das Urteil rechtlich vollstreckbar wird (Art. 369 Abs. 3 und 6 StGB). Die Frist bei Urteilen mit bedingten oder teilbedingten Strafen richtet sich nach der Dauer der Probezeit (Art. 371 Abs. 3bis StGB). Die Strafverfügung des Amtsstatthalteramtes Luzern vom 24. April 2008 ist am 19. Mai 2008 in Rechtskraft erwachsen. Die Probezeit beträgt zwei Jahre und endet damit am 18. Mai 2010. Bis zu diesem Zeitpunkt erscheint die Verurteilung der Beschwerdeführerin nach wie vor in einem Strafregisterauszug für Privatpersonen. Die Niederlassungsbewilligung kann der Beschwerdeführerin deshalb zum jetzigen Zeitpunkt nicht erteilt werden. Die Vorinstanz hat das Gesuch der Beschwerdeführerin somit zu Recht abgelehnt. Die weiteren Voraussetzungen für die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung (klagloses Verhalten seit zwei Jahren, finanzielle Unabhängigkeit, Integration) brauchen im vorliegenden Fall nicht näher geprüft zu werden. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen. Es bleibt der Beschwerdeführerin unbenommen, nach Ablauf der Probezeit ein neues Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung zu stellen. (Justiz- und Sicherheitsdepartement, 14. April 2010)