Aus den Erwägungen:
3.1 Die Vorinstanz lehnte das Gesuch der Beschwerdeführer um einen Kantonswechsel mit der Begründung ab, dass die Einnahmen der Familie nicht ausreichen würden, um ihren Grundbedarf zu decken. Nach den Berechnungen der Vorinstanz, die sich praxisgemäss an den Richtlinien der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe (Skos-Richtlinien) orientieren, betragen die monatlichen Auslagen der Beschwerdeführer Fr. 5164.- und das monatliche Einkommen Fr. 4096.35, weshalb ein Fehlbetrag von Fr. 1067.65 (bzw. nach Abzug einer Toleranzmarge von zehn Prozent des Mietzinses von Fr. 947.65) pro Monat resultiert.
3.2 Die Beschwerdeführer machen geltend, dass die Vorinstanz auf der Ausgabenseite eine monatliche Rückzahlungsrate von 542 Franken für einen Kredit, der am 11. Juni 2008 bei einem Kreditinstitut aufgenommen worden sei, fälschlicherweise in die Berechnung einbezogen habe. Sie reichen hierzu eine Zahlungsbestätigung in Form eines Empfangsscheins mit Stempel vom 24. September 2010 ein, der die Einzahlung von Fr. 15937.85 an die Rechtsnachfolgerin des Kreditinstituts belegt. Die Geschäftsnummer auf dem Empfangsschein stimmt mit derjenigen auf dem Kreditvertrag überein. Es darf somit davon ausgegangen werden, dass keine weiteren Rückzahlungsraten mehr zu bezahlen sind. In ihrer Vernehmlassung wendet die Vorinstanz allerdings ein, dass die Beschwerdeführer nicht angeben würden, woher das Geld für die Rückzahlung des Kredits stamme. Angesichts deren finanziellen Lage bestehe die Vermutung, dass sie den Betrag von Dritten erhalten hätten. Beiträge Dritter, selbst wenn es sich dabei um ein Geschenk handle, seien indessen nicht zu berücksichtigen.
3.2.1 Die Vorinstanz beruft sich auf die im Kanton Luzern etablierte Praxis, wonach um Aufenthaltsbewilligung ersuchende Personen grundsätzlich selber über die erforderlichen finanziellen Mittel (Einkommen oder Vermögen) verfügen müssen. Beiträge von Drittpersonen können deshalb nicht berücksichtigt werden, es sei denn, diese Mittel würden mit grosser Sicherheit bis ans Lebensende zufliessen, sodass das Risiko einer Fürsorgeabhängigkeit als vernachlässigbar klein einzuschätzen ist. Versprechen und selbst schriftliche Garantieerklärungen von in der Schweiz lebenden Verwandten von Gesuchstellenden, für deren Lebensunterhalt aufzukommen, können diese Sicherheit wegen ihrer fraglichen Durchsetzbarkeit nicht vermitteln (vgl. LGVE 2004 III Nr. 5). Für den hier zu beurteilenden Fall gilt es allerdings Folgendes zu beachten: Auch wenn es sich beim Geldbetrag, welcher für die Rückzahlung des Kleinkredits verwendet wurde, um Zuwendungen Dritter handelt, geht es hier um einen völlig anderen Sachverhalt als in den Fällen, die zur wiedergegebenen Praxis führten. Während letztere darauf abzielt, Grundbedarfsberechnungen unter Einbezug allfälliger Unterstützungszusagen Dritter zu vermeiden, deren spätere rechtliche Durchsetzung regelmässig schwierig, wenn nicht sogar unmöglich ist, ist ein solches Risiko in der vorliegenden Konstellation gar nicht erst gegeben. Der Geldbetrag für die Rückzahlung des Kleinkredits, sollte er tatsächlich von Drittpersonen stammen, wurde von diesen bereits überwiesen. Das Risiko, dass das versprochene Geld am Ende nicht ausbezahlt wird und die Beschwerdeführer deswegen fürsorgeabhängig werden, besteht nicht. Die Berücksichtigung des Wegfalls der monatlichen Kreditrate kann somit nicht, wie von der Vorinstanz angeführt, zum Vornherein verweigert werden.
3.2.2 Dem Einwand der Vorinstanz, durch die Kreditrückzahlung mit Hilfe von Drittpersonen habe lediglich eine Schuldenverlagerung stattgefunden, könnte nur dann gefolgt werden, wenn der Geldzufluss effektiv unter Vereinbarung einer späteren Rückzahlung erfolgt wäre. Würde es sich jedoch um eine Schenkung handeln, könnte nicht von einer Schuldenverlagerung gesprochen werden und der Wegfall der Kreditrate müsste in der Grundbedarfsberechnung berücksichtigt werden. Dies setzte aber voraus, dass die Beschwerdeführer den Geschenkcharakter des erhaltenen Geldes belegen könnten, namentlich durch eine schriftliche Vereinbarung, in welcher festgehalten wäre, dass das Geld nicht zurückzuzahlen sei. Ob die Beschwerdeführer den Kleinkredit aus eigener (finanzieller) Kraft oder aufgrund von Zuwendungen Dritter - als Geschenk oder Darlehen - zurückbezahlt haben, kann hier allerdings offenbleiben, reichen doch ihre Einnahmen, wie noch darzulegen sein wird, auch bei Wegfall der monatlichen Kreditrate nicht zur Deckung ihrer Ausgaben aus. (Justiz- und Sicherheitsdepartement, 1. Februar 2011)