Aus den Erwägungen:
Ferner sieht Artikel 84 Absatz 5 AuG vor, dass Gesuche um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung von vorläufig aufgenommenen Ausländerinnen und Ausländern, die sich seit mehr als fünf Jahren in der Schweiz aufhalten, unter Berücksichtigung der Integration, der familiären Verhältnisse und der Zumutbarkeit einer Rückkehr in den Herkunftsstaat vertieft geprüft werden. Die in Artikel 31 VZAE festgehaltenen Kriterien sind auch hierfür heranzuziehen. Diese im Gesetz speziell für vorläufig aufgenommene Personen vorgesehene vertiefte Prüfung beruht auf der Überlegung, dass sich die vorläufige Aufnahme grundsätzlich nicht als Dauerzustand eignet und sich eine andere Regelung des Aufenthaltes nach einem gewissen Zeitablauf aufdrängt, sollten die Voraussetzungen zur Aufhebung der vorläufigen Aufnahme dann noch nicht gegeben sein. Die Prüfung basiert damit letztlich auf rein praktischen Gründen sowie auf Opportunitätsüberlegungen, welche den betroffenen Ausländerinnen und Ausländern keinen Anspruch auf Erteilung einer ordentlichen Aufenthaltsbewilligung verschaffen. Nach der vom Justiz- und Sicherheitsdepartement per 1. Juni 2006 eingeführten Praxis ist vorläufig aufgenommenen Auslände-rinnen und Ausländern gestützt auf Artikel 84 Absatz 5 AuG eine humanitäre Aufenthaltsbewilligung jedoch in der Regel zu erteilen, wenn sie sich während mindestens fünf Jahren ununterbrochen (legal) in der Schweiz aufgehalten haben und die übrigen Voraussetzungen (gute Integration, finanzielle Unabhängigkeit, klagloses Verhalten) erfüllt sind. Die gesuchstellenden Personen dürfen somit nicht gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung verstossen haben, und sie müssen in geordneten finanziellen Verhältnissen leben. Sie dürfen kein Fürsorgerisiko darstellen. Schliesslich unterliegt die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung an vorläufig aufgenommene Ausländerinnen und Ausländer der Zustimmung des Bundesamts für Migration (BFM; Art. 99 AuG i.V.m. Art. 85 Abs. 1a VZAE). Alle vom Kanton in den Antrag einbezogenen Personen müssen sämtliche in Artikel 84 Absatz 5 AuG erwähnten Kriterien individuell erfüllen (vgl. Weisungen und Erläuterungen des BFM zum Ausländerbereich, in der Fassung vom 1. Juli 2009, Ziff. 5.6.2.4).
In seinem Entscheid vom 9. Juni 2010 gestand das BFM den Beschwerdeführern zwar die Flüchtlingseigenschaft zu, verweigerte ihnen aber wegen subjektiver Nachfluchtgründen (vgl. dazu: Art. 54 des Asylgesetzes vom 26. Juni 1998 [AsylG]) das Asyl. Gestützt auf Artikel 83 Absatz 8 AuG wurden die Beschwerdeführer aber damals dennoch in der Schweiz (vorläufig) aufgenommen. Als vorläufig aufgenommene Flüchtlinge stehen die Beschwerdeführer unter dem Schutz des internationalen Abkommens über die Rechtsstellung der Flüchtlinge vom 28. Juli 1951 (SR 0.142.30). Dieses Abkommen sieht in Bezug auf den Aufenthalt allerdings keine Privilegierung der Flüchtlinge vor, sodass vorläufig aufgenommene Flüchtlinge diesbezüglich den übrigen vorläufig aufgenommenen ausländischen Personen gleichgestellt sind (vgl. Weisungen und Erläuterungen des BFM zum Asylbereich, in der Fassung vom 12. Dezember 2008, Ziff. 6.3.6). Der Beschwerdeführer 1 reiste, wie bereits erwähnt, am 4. November 2002 in die Schweiz ein. Den jeweils nach rechtskräftiger Abweisung seines Asyl- und Wiedererwägungsgesuchs angesetzten Ausreisefristen widersetzte er sich, bis er am 9. Februar 2007 schliesslich wegen Unzumutbarkeit des Vollzugs der Wegweisung vorläufig aufgenommen wurde. Es kann somit im Fall des Beschwerdeführers 1 nicht von einem legalen Aufenthalt in der Schweiz von fünf Jahren gesprochen werden. Das zeitliche Erfordernis von Artikel 84 Absatz 5 AuG ist - entgegen der Feststellung der Vorinstanz - nicht erfüllt, weshalb das Gesuch der Gesamtfamilie nicht unter diesem Titel vertieft zu prüfen ist (vgl. ebenfalls Peter Bolzli, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, Kommentar Migrationsrecht, 2. Aufl., Zürich 2009, N 10f. zu Art. 84 AuG).
Den Beschwerdeführern steht es hingegen jederzeit offen, unter den Voraussetzungen von Artikel 30 Absatz 1b AuG in Verbindung mit Artikel 31 VZAE eine Aufenthaltsbewilligung zu beantragen. (¿). (Justiz- und Sicherheitsdepartement, 24. Mai 2011)