Aus den Erwägungen:
3.1 Gemäss Rechtsprechung des Bundesverwaltungsgerichts wird mit Art. 84 Abs. 5 AuG kein eigenständiger ausländerrechtlicher Zulassungsgrund für vorläufig aufgenommene Personen geschaffen. Vielmehr werden die Migrationsbehörden aufgefordert, der besonderen Situation dieser Personenkategorie im Rahmen des Entscheides über das Vorliegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls nach Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG Rechnung zu tragen. Weder ist die in Art. 84 Abs. 5 AuG enthaltene Auflistung von Wertungsgesichtspunkten (Integration, familiäre Verhältnisse, Zumutbarkeit einer Rückkehr in den Herkunftsstaat) abschliessend, noch kommt den dort genannten Kriterien von vornherein entscheidendes Gewicht zu. Auch im Falle von vorläufig aufgenommenen Ausländern sind sodann alle Kriterien von Art. 31 Abs. 1 der Verordnung über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit vom 24. Oktober 2007 (VZAE; 142.201) sowie die diesbezügliche Rechtsprechung zu berücksichtigen. Das Bundesverwaltungsgericht ist deshalb zum Schluss gekommen, dass sich die Voraussetzungen für die Anerkennung eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls betreffend in der Schweiz vorläufig aufgenommenen Ausländern – abgesehen von der Pflicht zur vertieften Prüfung nach einem Aufenthalt von fünf Jahren – grundsätzlich nicht von den Kriterien unterscheiden, nach denen einem Ausländer unter Abweichung der Zulassungsvoraussetzungen gemäss Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG in Verbindung mit Art. 31 Abs. 1 VZAE eine Aufenthaltsbewilligung erteilt werden kann (Urteile des Bundesverwaltungsgerichts C-1136/2013 vom 24.9.2013 E. 4.3; C-2240/2010 vom 14.12.2012 E. 5.2; C-930/2009 vom 5.12.2012 E. 4.1 und 4.2; C-5769/2009 vom 31.1.2011 E. 4).
3.2 Daraus folgt, dass bei der Prüfung der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an vorläufig aufgenommene Ausländer grundsätzlich so zu verfahren ist, wie wenn ein Härtefallgesuch nach Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG gestellt worden wäre, die mit der vorläufigen Aufnahme verbundene Rechtsstellung allerdings angemessen berücksichtigt werden muss. Ausgehend davon ist festzuhalten, dass gemäss Rechtsprechung zu Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG dieser Bestimmung Ausnahmecharakter zukommt und ein schwerwiegender persönlicher Härtefall somit nicht leichthin angenommen werden darf. Die betroffene Person muss sich in einer persönlichen Notlage befinden. Das bedeutet, dass ihre Lebens- und Existenzbedingungen, gemessen am durchschnittlichen Schicksal von ausländischen Personen, in gesteigertem Mass in Frage gestellt sind beziehungsweise die Verweigerung einer Aufenthaltsbewilligung für sie mit schweren Nachteilen verbunden wäre. Darüber ist aufgrund der gesamten Umstände des Einzelfalles beziehungsweise der in Art. 31 Abs. 1 VZAE definierten Beurteilungskriterien zu befinden. Diese Kriterien stellen dabei weder einen abschliessenden Katalog dar, noch müssen sie kumulativ erfüllt sein (Urteile des Bundesverwaltungsgerichts C-1136/2013 vom 24.9.2013 E. 5.2; C-2240/2010 vom 14.12.2012 E. 5.3; C-930/2009 vom 5.12.2012 E. 4.2 und 4.3).
3.3 Demgegenüber sieht Art. 84 Abs. 5 AuG wie erwähnt vor, dass Gesuche von vorläufig aufgenommenen Ausländern, die sich seit mehr als fünf Jahren in der Schweiz aufhalten, "vertieft geprüft" werden. Diese spezielle Anweisung hat nicht zum Zweck, dass das Ermessen der Migrationsbehörden bei der Prüfung eingeschränkt wird, sondern fordert von diesen eine einzelfallgerechte Prüfung sowie ein erweitertes Verständnis des Härtefallbegriffs (Urteil des Bundesverwaltungsgerichts C-5769/2009 vom 31.1.2011 E. 4.3.2). Art. 84 Abs. 5 AuG beruht denn auch auf der Überlegung, dass sich die vorläufige Aufnahme grundsätzlich nicht als Dauerzustand eignet und sich eine andere Regelung des Aufenthalts nach einem gewissen Zeitablauf aufdrängt, wenn die Voraussetzungen zur Aufhebung der vorläufigen Aufnahme dann noch nicht gegeben sind und die betroffenen Personen die Undurchführbarkeit des Wegweisungsvollzugs nicht selbst verschuldet haben (Botschaft zum AuG vom 8.3.2002, in: BBl 2002 3735). Ausserdem ist nach einem fünfjährigen Aufenthalt in der Schweiz bereits von einer gewissen Verwurzelung mit den hiesigen Verhältnissen beziehungsweise von einer gewissen Entfremdung von der Heimat auszugehen (Ruedi Illes, in: Caroni/Gächter/Thurnherr, Stämpflis Handkommentar zum AuG, Bern 2010, N 26 zu Art. 84). Diesem Umstand gilt es besonders Rechnung zu tragen.
3.4 Der vom Gesetzgeber beabsichtigten Privilegierung von vorläufig aufgenommenen Ausländern im Vergleich zu den Personen, welche sich ausschliesslich auf Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG berufen können, wird insbesondere dadurch Genüge getan, dass die Anforderungen an die Anerkennung eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls beziehungsweise der persönlichen Notlage in Fällen von Art. 84 Abs. 5 AuG herabgesetzt sind. Zwar gilt es hierbei zu beachten, dass gemäss Rechtsprechung zu Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG eine langdauernde Anwesenheit und die fortgeschrittene Integration sowie ein klagloses Verhalten für sich allein betrachtet noch nicht genügen, um einen schwerwiegenden persönlichen Härtefall zu begründen. Dennoch werden bei einer sehr langen Aufenthaltsdauer weniger hohe Anforderungen an das Vorliegen besonderer Umstände, wie etwa eine überdurchschnittliche Integration oder andere Faktoren, gestellt, welche die Rückkehr ins Heimatland als ausgesprochen schwierig erscheinen lassen (Urteil des Bundesverwaltungsgerichts C-930/2009 vom 5.12.2012 E. 5.1).
3.5 Die Aufenthaltsbewilligung in Anwendung von Art. 84 Abs. 5 AuG ist ausserdem eine sogenannte Ermessensbewilligung. Dies bedeutet, dass die betroffenen Personen keinen Rechtsanspruch auf die Erteilung einer solchen Bewilligung haben und den Migrationsbehörden ein erheblicher Ermessensspielraum zukommt. Ferner unterliegt die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 84 Abs. 5 AuG der Zustimmung des Bundesamtes für Migration (BFM; Art. 99 AuG i.V.m. Art. 85 Abs. 1 lit. a VZAE).
4.1 Die Vorinstanz hat das Gesuch des Beschwerdeführers gestützt auf diese Praxis abgewiesen. Als Begründung führte sie an, der Beschwerdeführer habe in den letzten zwei Jahren zweimal strafrechtlich zur Rechenschaft gezogen werden müssen: einerseits mit Strafbefehl vom 8. Februar 2013 wegen Überfahrens der Sicherheitslinie innerorts und Nichtbeachtens des Vorschriftssignals "Abbiegen nach links verboten" (Busse von Fr. 200.–) und andererseits mit Strafbefehl vom 21. August 2012 wegen Führens eines Motorfahrzeuges in angetrunkenem Zustand (0,68 ‰) und Nichterneuerns der obligatorischen Abgaswartung (Busse von Fr. 940.–). Ausserdem sei er mit Strafverfügung vom 23. Januar 2009 wegen Übertretung eines allgemeinen Verbots mit einer Busse von Fr. 60.– bestraft worden. Der Beschwerdeführer habe somit wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung verstossen beziehungsweise potenziell einen Widerrufsgrund gemäss Art. 62 lit. c AuG gesetzt, weshalb sich die Beurteilung der weiteren Prüfungskriterien erübrige.
4.2 Im Folgenden ist somit zu prüfen, ob die Vorinstanz das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an den vorläufig aufgenommenen Beschwerdeführer zu Recht einzig mit dem Argument abgelehnt hat, dass er die Bedingung des klaglosen Verhaltens nicht erfülle. Wie erwähnt wird gemäss kantonaler Praxis für ein Gesuch nach Art. 84 Abs. 5 AuG hauptsächlich auf die Kriterien der Dauer der (legalen) Anwesenheit in der Schweiz (Art. 31 Abs. 1 lit. e VZAE), der Integration (Art. 31 Abs. 1 lit. a VZAE), der finanziellen Verhältnisse und des Willens zur Teilhabe am Wirtschaftsleben (Art. 31 Abs. 1 lit. d VZAE) sowie der Respektierung der Rechtsordnung (Art. 31 Abs. 1 lit. b VZAE) abgestellt. Dabei wird gefordert, dass diese Kriterien grundsätzlich kumulativ erfüllt sind. Ist dies nicht der Fall, kann – sofern entsprechende Gründe dafür ersichtlich sind – subsidiär der klassische Härtefall gemäss der Ausnahmebestimmung von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG geprüft werden, wobei die Anforderungen an das Vorliegen einer persönlichen Notlage hoch anzusetzen sind (LGVE 2012 III Nr. 6).
4.3 Diese Praxis ist sowohl mit dem Bundesrecht wie auch mit der dargelegten Rechtsprechung zu Art. 84 Abs. 5 AuG und Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG grundsätzlich vereinbar. Dennoch ist es geboten, sie anzupassen, um der neueren Entwicklung dieser Rechtsprechung genügend Rechnung zu tragen. Insbesondere gilt es dem Anspruch auf eine vertiefte und somit einzelfallbezogene Prüfung gerecht zu werden (Urteil des Bundesverwaltungsgericht C-5769/2009 vom 31.1.2011 E. 4.3.2; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern V 12 81 vom 5.10.2012 E. 3d). Eine Praxisänderung drängt sich aber auch aufgrund der Weisungen des BFM auf. Gemäss diesen kommt dem bisherigen Verhalten des Gesuchstellers bei Art. 31 Abs. 1 lit. b VZAE zwar entscheidende Bedeutung zu und setzt deshalb ein klagloses Verhalten und einen guten Leumund voraus. Das BFM versteht darunter aber hauptsächlich das Nichtvorliegen erheblicher oder wiederholter strafrechtlicher Verurteilungen oder Verstösse gegen gesetzliche Vorschriften und behördliche Verfügungen sowie das Nichterfüllen öffentlich-rechtlicher oder privatrechtlicher Verpflichtungen (Weisungen und Erläuterungen des BFM zum Ausländerbereich, in der Fassung vom 25.10.2013, Ziff. 5.6.4.2; vgl. auch Urteil des Bundesverwaltungsgerichts C-930/2009 vom 5.12.2012 E. 5.2).
4.4 Neu ist in Bezug auf das Prüfungskriterium der Respektierung der Rechtsordnung beziehungsweise des klaglosen Verhaltens deshalb nicht mehr schematisch am Erfordernis des Nichtvorhandenseins von Verfehlungen in einem bestimmten Zeitraum oder aber an einer fixen Anzahl tolerierbarer Vorkommnisse festzuhalten, sondern es sind im Sinn einer Gesamtwürdigung alle relevanten Elemente dieses Prüfungskriteriums mitzuberücksichtigen. Bei Vorliegen von Strafen muss also darauf abgestellt werden, ob zusätzlich Betreibungen, Verlustscheine oder sonstige Schulden vorhanden sind und wie diese Umstände im Verhältnis zur Aufenthaltsdauer zu gewichten sind. Ab welcher Anzahl und Art von Verfehlungen letztendlich aber das Kriterium der Respektierung der Rechtsordnung nicht mehr erfüllt und die Bewilligung in Anwendung von Art. 84 Abs. 5 AuG deshalb zu verweigern ist, hat die Migrationsbehörde nach pflichtgemässem Ermessen zu beurteilen. Dabei ist das Verhalten des Gesuchstellers erneut als Ganzes zu betrachten, selbst wenn nach wie vor daran festzuhalten ist, dass alle im LGVE 2008 III Nr. 4 festgehaltenen Prüfungskriterien (insbesondere die berufliche Integration, die finanzielle Selbständigkeit gemäss SKOS-Richtlinien und die Respektierung der Rechtsordnung) grundsätzlich kumulativ erfüllt sein müssen (vgl. BGE 124 II 110 E. 3 S. 113 analog). Insofern kann es durchaus vorkommen, dass in einem Fall, in dem keine Betreibungen, Verlustscheine oder Schulden vorliegen, eine gewisse Anzahl Bussen oder gar geringfügigere Vergehen vernachlässigbar erscheinen, während dieselben Strafen in einem anderen Fall, in welchem der Gesuchsteller auch in betreibungsrechtlicher Hinsicht zu Klagen Anlass gegeben hat, als nicht mehr tolerierbar zu erachten sind. Der Auffassung, dass nur bei Vorliegen eines Widerrufsgrundes gemäss Art. 62 lit. c AuG beziehungsweise eines Aufhebungsgrundes gemäss Art. 83 Abs. 7 AuG (i.V.m. Art. 84 Abs. 2 AuG) die Aufenthaltsbewilligung nach Art. 84 Abs. 5 AuG verweigert werden darf, kann hingegen nicht gefolgt werden. Die Voraussetzungen zur Erteilung einer solchen Bewilligung sind nach wie vor restriktiv zu handhaben, handelt es sich doch um eine Härtefallbewilligung, mit welcher in Ausnahmefällen von den Zulassungsvoraussetzungen des AuG abgewichen werden kann. Zudem rechtfertigt es sich, bei Ausländern, die erstmals um eine Aufenthaltsbewilligung ersuchen, einen strengeren Massstab anzuwenden als bei denjenigen, die bereits im Besitz einer solchen sind, bei denen aber eine Entfernungsmassnahme geprüft werden muss.