Aus den Erwägungen:
2.1 Gemäss § 128 Abs. 1 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 (VRG; SRL Nr. 40) ist, unter Vorbehalt der Abs. 2 und 3, ein Rechtsmittel erst gegen den Endentscheid zulässig. § 128 Abs. 2 VRG sieht vor, dass verfahrensleitende Verfügungen und andere Zwischenentscheide mit dem gegen den Endentscheid zulässigen Rechtsmittel selbständig angefochten werden können, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken würden. In § 128 Abs. 3 VRG werden in einem nicht abschliessenden Katalog diverse Beispiele für selbständig anfechtbare Zwischenentscheide aufgezählt. Dazu zählt auch das Aussetzen von Verfahren (§ 128 Abs. 3 lit. d VRG). Wie bereits erwähnt, sind verfahrensleitende Verfügungen und andere Zwischenentscheide selbständig anfechtbar, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken würden. Unter diesem Vorbehalt steht auch die selbständige Anfechtung einer Sistierungsverfügung (Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern V 10 216_1 vom 15.11.2010 E. 2b/cc).
2.2 Zur Frage, unter welchen Umständen ein Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken und deshalb selbständig angefochten werden kann, besteht eine reiche bundesgerichtliche Praxis. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil liegt vor, wenn er auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte (vgl. BGE 137 III 380 E. 1.2.1 S. 382 und 136 II 165 E. 1.2.1 S. 170, je mit Hinweisen). Unter einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil wird ein schutzwürdiges Interesse an der sofortigen Aufhebung oder Abänderung eines Zwischenentscheids verstanden. Damit ist jedoch nicht ein irreparabler Schaden gemeint. Ein hinreichendes Rechtsschutzinteresse an der Anfechtung ist bereits gegeben, wenn ein günstiger Endentscheid für die betroffene Person nicht jeden Nachteil zu beseitigen vermag. Der nicht wieder gutzumachende Nachteil muss nicht rechtlicher Natur sein. Es genügt ein bloss wirtschaftliches Interesse, sofern es dem Beschwerdeführer bei der Anfechtung eines Zwischenentscheids nicht lediglich darum geht, eine Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens zu verhindern (BGE 127 II 132 E. 2 S. 136; 120 Ib 97 E. 1 S. 100; 116 Ib 344 E. 1c S. 347 f.). Auch hohe Kosten verlangter Abklärungen oder nachteilige Publizität können die sofortige Anfechtung rechtfertigen (BGE 120 Ib 97 E. 1c S. 100). Bei der Gewichtung des Rechtschutzinteresses können auch prozessökonomische Überlegungen eine wichtige Rolle spielen. Zumal die Rechtsmittelinstanzen in der Regel nur einmal mit einer Streitsache befasst werden sollen, ist bei Ansprüchen formeller Natur, deren Missachtung zur Aufhebung des Endentscheids führen muss, der nicht wieder gutzumachende Nachteil grundsätzlich zu bejahen. Dies gilt bei formellen Einwänden von einem gewissen Gewicht (z.B. Verletzung der Ausstandspflicht, Nichtzulassung einer hinreichend betroffenen Person zu einem Verfahren [Merkli/Aeschlimann/Herzog, Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, Bern 1997, N. 5 zu Art. 61]). Auch die Sistierung eines Verfahrens kann für eine am raschen Verfahrensausgang interessierte Partei einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken. Ein sofortiges Anfechtungsinteresse haben jedoch nur Personen, die von der Sache her an der raschen Verfahrenserledigung interessiert sind (vgl. BVR 1993 S. 470 ff.). Dabei kommt es stets auf die Umstände des Einzelfalls an (Kölz/Bosshart/Röhl, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Aufl., Zürich 1999, N. 50 zu § 19).
2.3 Der Beschwerdeführer hat als Ehegatte einer Schweizerin nach Art. 42 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Ausländerinnen und Ausländer vom 16. Dezember 2005 (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) grundsätzlich Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Durch die Verfahrenssistierung wird die Prüfung dieses Anspruchs vorderhand ausgesetzt. Der Aufenthaltsstatus des Beschwerdeführers befindet sich dadurch gewissermassen in einem "Schwebezustand", welcher namentlich hinsichtlich seiner wirtschaftlichen Entfaltungsmöglichkeiten ohne Weiteres einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (vgl. Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern V 07 286 vom 23.5.2008). Damit ist die Voraussetzung für die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden erfüllt. Da auch die weiteren Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (vgl. § 107 VRG), ist auf die Verwaltungsbeschwerde einzutreten.
3.1 Die Vorinstanz hat in der angefochtenen Verfügung erwogen, dass gegen den Beschwerdeführer ein Strafverfahren wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz hängig sei, dessen Ausgang die Beurteilung seines Gesuches um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung präjudizieren könne. Dies rechtfertige die Sistierung des ausländerrechtlichen Verfahrens bis zum rechtskräftigen Abschluss des Strafverfahrens.
3.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Er bestreitet nicht, dass bei Vorliegen eines Widerrufsgrundes die Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung verweigert werden könne. Ein solcher Widerrufsgrund liege aber erst vor, wenn ein rechtskräftiges Strafurteil vorliege. Es sei zwar seit Jahren ein Strafverfahren gegen ihn hängig. Ein Ende des Verfahrens sei aber im Moment nicht absehbar. Da aktuell kein rechtskräftiges Strafurteil gegen ihn vorliege, gelte die Unschuldsvermutung. Hinzu komme, dass seine wirtschaftlichen Entfaltungsmöglichkeiten durch die Verfahrenssistierung massiv eingeschränkt seien. Dies gelte auch für andere Lebensbereiche wie beispielsweise bei Polizeikontrollen.
3.3 Gemäss § 41 VRG kann die Behörde aus Gründen der Zweckmässigkeit das Verfahren aussetzen, namentlich wenn ihr Entscheid von einem anderen abhängt oder wesentlich beeinflusst werden könnte. Die Sistierung bedeutet eine Abweichung vom Grundsatz einer möglichst beförderlichen Fortführung und Erledigung des Verfahrens im Sinn des Beschleunigungsgebots. Sie bedarf daher einer Rechtfertigung. Den Behörden kommt hinsichtlich der Frage, ob ein Verfahren sistiert werden soll, ein beträchtlicher Ermessensspielraum zu (Urteil des Bundesgerichts 2C_476/2008 vom 8.8.2008 E. 2.4.1). Die Sistierung kann sich namentlich rechtfertigen, wenn über das Vorliegen von Sachumständen oder rechtlichen Voraussetzungen, die für den Verfahrensausgang massgebliche Bedeutung haben, im Rahmen eines anderen Verfahrens entschieden wird. Die Behörde darf bei ihrem Entscheid auch die Prozessaussichten in anderen Verfahren abschätzen und miteinbeziehen. Ist strafrechtlich relevantes Verhalten zu würdigen, so ist in der Regel das Strafurteil abzuwarten (vgl. Merkli/Aeschlimann/Herzog, a.a.O., N. 2, 3 und 11 zu Art. 38). Insbesondere in ausländerrechtlichen Verfahren kann eine Verfahrenssistierung angezeigt sein, wenn der Entscheid vom Ausgang eines Strafverfahrens abhängt (Urteil des Bundesgerichts 2C_476/2008 vom 8.8.2008 E. 2.4.1 f.).
3.4 Vorliegend ist gegen den Beschwerdeführer im Kanton Luzern ein Strafverfahren wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz hängig. Im Falle einer Verurteilung des Beschwerdeführers zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe ist der Widerrufsgrund im Sinn von Art. 62 lit. b AuG erfüllt. Eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers käme in einem solchen Fall voraussichtlich nicht in Betracht. Das Strafverfahren ist damit für das vorliegende ausländerrechtliche Verfahren von ausschlaggebender Bedeutung. Die Vorgehensweise der Vorinstanz verletzt auch nicht die Unschuldsvermutung, da es sich lediglich um eine verfahrensleitende Verfügung und nicht um einen negativen materiellen Entscheid handelt. Die Sistierung des Verfahrens ist somit grundsätzlich gerechtfertigt. Zu prüfen bleibt, ob sie sich vorliegend auch als erforderlich und angemessen erweist.
3.5 Der Beschwerdeführer erhielt 2004 im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Die Aufenthaltsbewilligung wurde seither jährlich verlängert, zuletzt bis am 13. März 2011. Weil gegen den Beschwerdeführer ein Strafverfahren wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz hängig ist, sistierte die Vorinstanz das mit seinem Verlängerungsgesuch vom 16. Februar 2011 eingeleitete Verfahren. Das Strafverfahren ist aktuell beim Kriminalgericht des Kantons Luzern hängig. Ein Verhandlungstermin steht noch nicht fest. Bis ein rechtskräftiges Strafurteil vorliegen wird, kann es noch längere Zeit dauern. Der Aufenthaltsstatus des Beschwerdeführers befindet sich seit mehr als zweieinhalb Jahren in einem "Schwebezustand". Dies lässt sich jedoch nicht weiter rechtfertigen. Der Beschwerdeführer hält sich seit Jahren rechtmässig in der Schweiz auf. Er hat Anspruch darauf, dass die Vorinstanz innert nützlicher Frist über sein Verlängerungsgesuch entscheidet. Es besteht kein öffentliches Interesse, den Fortgang des Strafverfahrens vor dem Entscheid über die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung abzuwarten, zumal die Aufenthaltsbewilligung stets nur befristet erteilt wird (vgl. Art. 33 Abs. 3 AuG). Hinzu kommt, dass eine Aufenthaltsbewilligung auch nicht vorbehaltlos erteilt werden muss. Sie kann auch unter dem Vorbehalt, dass je nach Ausgang des Strafverfahrens eine Neubeurteilung erfolgen werde, erteilt werden. Die Vorinstanz hat somit jederzeit die Möglichkeit, auf ein rechtskräftiges Strafurteil zu reagieren. Sind nämlich die Voraussetzungen erfüllt, kann sie die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers widerrufen beziehungsweise die weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung verweigern. Nicht zu vergleichen ist der vorliegende Sachverhalt mit demjenigen, den das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern im Urteil V 07 286 vom 23. Mai 2008 zu beurteilen hatte. In jenem Fall ging es um die erstmalige Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs. Das Verwaltungsgericht und das Bundesgericht schützten die verfügte Sistierung wegen eines hängigen Strafverfahrens, weil der Beschwerdeführer unter Missachtung einer Einreisesperre in die Schweiz eingereist sei und keine Gewähr biete, einer Ausreiseaufforderung nachzukommen, würde ihm der Aufenthalt bis zum Abschluss des Strafverfahrens bewilligt (Urteil des Bundesgerichts 2C_476/2008 vom 8.8.2008). Im vorliegenden Fall geht es nicht um eine erstmalige Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Der Beschwerdeführer hält sich vielmehr seit Jahren rechtmässig in der Schweiz auf. Eine Sistierung ist in diesem Fall weder angemessen noch erforderlich.