Aus den Erwägungen:
3.1 Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen den Nichteintretensentscheid der Vorinstanz. Er macht geltend, die Vorinstanz habe ihm nicht explizit angedroht, dass bei Nichteinreichung der verlangten Unterlagen nicht auf sein Gesuch eingetreten werde. Zudem habe er keine Möglichkeit gehabt, sich zum beabsichtigten Vorgehen zu äussern. Damit habe die Vor¬in¬stanz seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Der Beschwerdeführer weist darauf hin, dass er aufgrund seiner berufsbedingten Abwesenheit sowie der Erkrankung seiner Mutter und der damit verbundenen unvorhergesehenen Reise ins Heimatland keine Kenntnis von den Schreiben der Vorinstanz erhalten habe. Der Nichteintretensentscheid der Vorin¬stanz sei unangemessen und verstosse gegen den Grundsatz der Verhältnismässigkeit.
3.2 Die Vorinstanz erklärt, der Beschwerdeführer habe seine Mitwirkungspflicht verletzt, indem er die eingeforderten Unterlagen nicht eingereicht habe. Sie weist darauf hin, dass es bereits früher jeweils schwierig gewesen sei, dem Beschwerdeführer Briefe zuzustellen. Er habe es auch unterlassen, über seine Abwesenheiten zu informieren. Die nachträgliche Einreichung der Unterlagen im Beschwerdeverfahren sei zu spät erfolgt.
Dem Beschwerdeführer oblag somit im Verfahren vor der Vorinstanz eine Mitwirkungspflicht sowohl nach der allgemeinen bundesrechtlichen Regel von Art. 13 VwVG als auch nach der kantonalen Verfahrensordnung (§ 55 VRG) sowie gemäss der spezialgesetzlichen Bestimmung von Art. 90 AuG. Die Mitwirkungspflicht gilt danach insbesondere für Ausländerinnen und Ausländer, die hier Rechte geltend machen, und soweit es um Tatsachen geht, die eine Partei besser kennt als die Behörden und welche diese ohne ihre Mitwirkung gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand ermitteln können. Art. 90 lit. b AuG sieht überdies sogar ausdrücklich eine Beweisbeschaffungspflicht vor.
4.1 Mit Gesuch vom 23. November 2011 – welches bei der Vorinstanz erst am 23. Januar 2012 einging – beantragte der Beschwerdeführer die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Mit Schreiben vom 27. Januar 2012 ersuchte ihn die Vorinstanz um Einreichung verschiedener Unterlagen und wies ihn ausdrücklich auf seine Mitwirkungspflicht gemäss § 55 VRG hin. Das Schreiben wurde mit normaler Post zugestellt. Weil der Beschwerdeführer nicht darauf reagierte, wurde ihm mit Einschreibebrief vom 5. März 2012 für die Einreichung der Unterlagen eine Frist bis zum 23. März 2012 gesetzt, wiederum unter Hinweis auf seine Mitwirkungspflicht. Gleichzeitig drohte ihm die Vorinstanz an, im Fall der Verletzung der Mitwirkungspflicht nicht auf das Gesuch einzutreten. Die Postsendung wurde am 22. März 2012 von der Schweizerischen Post mit dem Vermerk "nicht abgeholt" an die Vorinstanz retourniert. Daraufhin forderte die Vorinstanz den Beschwerdeführer mit Schreiben vom 28. März 2012 nochmals auf, die verlangten Unterlagen einzureichen und gewährte ihm dafür eine letzte, nicht mehr erstreckbare Frist bis zum 15. April 2012. Auch dieses Schreiben enthielt den Hinweis auf die Mitwirkungspflicht und die Androhung des Nichteintretens. Der Beschwerdeführer reagierte auch auf dieses wiederum mit normaler Post zugestellte Schreiben nicht.
4.2 Diese Ausführungen zeigen, dass die Vorinstanz den Beschwerdeführer im Rahmen seines Gesuchs um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung mehrmals erfolglos zur Einreichung von Unterlagen aufgefordert hat. Gleichzeit hat sie ihn ausdrücklich auf seine Mitwirkungspflicht und die Folgen deren Verletzung, nämlich ein Nichteintreten auf sein Verlängerungsgesuch, hingewiesen. Der Beschwerdeführer bestreitet dies nicht. Das Erfordernis der vorgängigen schriftlichen Ankündigung der rechtlichen Folgen einer Verletzung der Mitwirkungspflichten ist damit – entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers – erfüllt. Es wäre dem Beschwerdeführer unbenommen gewesen, sich dazu zu äussern, weshalb keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorliegt. Nachdem sämtliche Aufforderungen unbeantwortet blieben, trat die Vorinstanz androhungsgemäss mit Verfügung vom 25. April 2012 nicht auf das Gesuch des Beschwerdeführers ein.
4.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe sich von Januar 2012 bis April 2012 berufsbedingt vorwiegend in Basel aufgehalten und sei nur selten an seinen Wohnort zurückgekehrt. Zudem habe er wegen der Erkrankung seiner Mutter unverhofft am 30. März 2012 nach Serbien reisen müssen. Er sei dort bis am 12. April 2012 geblieben. Er habe deshalb keine Kenntnis von den Schreiben der Vorinstanz gehabt. Diese Einwände verfangen nicht. Gemäss konstanter bundesgerichtlicher Rechtsprechung muss eine Person, die ein Verfahren anhängig gemacht und so ein Prozessrechtsverhältnis begründet hat, mit behördlichen Zustellungen rechnen. Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben hat sie daher dafür besorgt zu sein, dass ihr amtliche Urkunden reibungslos zugestellt werden können (BGE 116 Ia 90 E. 2a S. 92; 115 Ia 12 E. 3a S. 15). Wird der Adressat in einem solchen Fall bei der versuchten Zustellung einer eingeschriebenen Sendung nicht angetroffen und daher eine Abholungseinladung in seinen Briefkasten oder sein Postfach gelegt, so gilt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung die Sendung in jenem Zeitpunkt als zugestellt, in welchem sie auf der Post abgeholt wird. Geschieht dies nicht innerhalb der Abholfrist von sieben Tagen, gilt die Sendung als am letzten Tag dieser Frist zugestellt (BGE 119 V 89 E. 4b S. 94 und 116 III 59 E. 1 S. 60 f., je mit Hinweisen). Auf diese Rechtsprechung hat die Vorinstanz den Beschwerdeführer schon früher mehrmals hingewiesen. Hinzu kommt die ausdrückliche spezialgesetzliche Regelung in Art. 12 Abs. 2 AuG in Verbindung mit Art. 15 Abs. 1 der Verordnung über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit vom 24. Oktober 2007 (VZAE; SR 142.201), wonach sich Ausländerinnen und Ausländer bei einem Wechsel der Gemeinde oder des Kantons spätestens nach 14 Tagen bei der für den neuen Wohnort zuständigen Stelle anmelden und innerhalb der gleichen Frist bei der für den früheren Wohnort zuständigen Stelle abmelden müssen. Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer zwar keinen Gemeindewechsel vorgenommen, er macht aber immerhin geltend, sich von anfangs Januar bis anfangs Februar berufsbedingt nur selten an seinem Wohnort aufgehalten zu haben. Zu beachten ist zudem, dass der Beschwerdeführer mit handschriftlichem Gesuch vom 23. November 2011 um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ersucht und damit das entsprechende Verfahren von sich aus eingeleitet hat (vgl. § 55 Abs. 1 lit. a VRG). Er hatte also mit behördlichen Zustellungen zu rechnen. Er hätte deshalb schon für seine vorhersehbare berufsbedingte Abwesenheit einen Vertreter mit der Bearbeitung beziehungsweise Entgegennahme und Weiterleitung seiner Post an ihn beauftragen müssen. Die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Gründe kommen nicht als Rechtfertigung für die Verletzung der Mitwirkungspflicht in Frage.
4.4 Der Beschwerdeführer hält sich seit mehr als zwanzig Jahren in der Schweiz auf. Seit 1991 war sein Aufenthalt stets mit einer Aufenthaltsbewilligung geregelt, welche entsprechend einer regelmässigen Verlängerung bedurfte. Der Beschwerdeführer hat somit in der Vergangenheit bereits sehr oft ein Verfahren um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung durchlaufen. Die Anforderungen an seine Mitwirkung müssen ihm aufgrund der jahrelangen Erfahrung ohne Weiteres bewusst gewesen sein, zumal seine Verlängerungsgesuche schon in der Vergangenheit mehrmals mit weiteren Abklärungen und einer entsprechenden Mitwirkung seinerseits verbunden waren. Es kann davon ausgegangen werden, dass ihm die Konsequenzen der Verletzung der Mitwirkungspflichten bekannt waren, hat doch die Vorinstanz ihm diese schon in früheren Verlängerungsverfahren angedroht.
4.5 Nach der dargestellten Sachlage ist klar, dass der Beschwerdeführer, der das Verfahren durch sein Verlängerungsgesuch veranlasst hat, die ihm obliegende Mitwirkungspflicht verletzt hat. Es stellt sich jedoch die Frage, ob die Vorinstanz im vorliegenden Fall zur Beurteilung des Verlängerungsgesuchs überhaupt auf die Mitwirkung des Beschwerdeführers angewiesen war oder ob sie nicht auch einen materiellen Entscheid gestützt auf die ihr vorliegenden Akten hätte fällen können. Der Beschwerdeführer macht denn auch geltend, das Vorgehen der Vorinstanz sei unangemessen. Den Vorwurf, er habe seiner Mitwirkungspflicht nicht genügt, erachtet er offenbar als formalistischen Vorwand für seine Wegweisung. Sinngemäss rügt der Beschwerdeführer damit eine Rechtsverweigerung durch die Vorinstanz.
5.1 Die Vorinstanz forderte den Beschwerdeführer insgesamt dreimal auf, einen Strafregister- und einen Betreibungsregisterauszug sowie eine Bestätigung der Alimentenfachstelle betreffend geleisteter Unterhaltszahlungen im Jahr 2011 einzureichen. Bei den verlangten Unterlagen handelt es sich nicht um Tatsachen, die nur dem Beschwerdeführer bekannt waren oder nur von ihm mit wesentlich geringerem Aufwand hätten erhoben werden können. Gemäss Art. 367 Abs. 2 lit. g des Schweizerischen Strafgesetzbuches vom 21. Dezember 1937 (StGB; SR 311.0) dürfen die kantonalen Fremdenpolizeibehörden durch ein Abrufverfahren Einsicht in das Strafregister nehmen. Ebenso können sie nach Art. 8a des Bundesgesetzes über Schuldbetreibung und Konkurs vom 11. April 1889 (SchKG; SR 281.1) für ein Verfahren, das bei ihnen hängig ist, Auszüge aus dem Betreibungsregister verlangen. Hinzu kommt, dass die Vorinstanz im Rahmen eines Verfahrens von andern Behörden und Personen, die amtliche Funktionen ausüben, schriftliche oder mündliche Amtsberichte zum Nachweis von Tatsachen einholen kann, über die sie aufgrund ihrer amtlichen Tätigkeit Auskunft erteilen können (§ 70 VRG). Die Vorinstanz hätte deshalb von der Alimentenfachstelle Auskunft über die Unterhaltszahlungen des Beschwerdeführers einholen können. Zu beachten ist auch, dass sich in den vorinstanzlichen Akten bereits mehrere Auszüge aus dem Betreibungsregister für den Beschwerdeführer befinden. Das Gleiche gilt auch in Bezug auf Strafregisterauszüge. In den Akten finden sich zudem Kopien diverser Strafurteile. Für die Vorinstanz von besonderer Relevanz für die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung dürften insbesondere strafrechtliche Verurteilungen des Beschwerdeführers ab dem Jahr 2011 sein. In den Akten befinden sich Kopien von sieben Verurteilungen in diesem Zeitraum. Selbst ohne dass die Vorinstanz einen aktuellen Strafregisterauszug vom Beschwerdeführer verlangt oder selber angefordert hätte, war sie somit über dessen strafbares Verhalten dokumentiert.
5.2 Angesichts dieser Situation erscheint die Vorgehensweise der Vorinstanz überspitzt formalistisch. Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und den Bürgerinnen und Bürgern den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt. Das Verbot des überspitzten Formalismus weist einen engen Bezug zum Grundsatz von Treu und Glauben auf. Nicht jede prozessuale Formstrenge steht jedoch mit Art. 29 Abs. 1 der Bundesverfassung vom 18. April 1999 im Widerspruch. Überspitzter Formalismus ist nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert. Er kann in den Verhaltensvorgaben an die Rechtsuchenden oder in den daran geknüpften Rechtsfolgen begründet sein (BGE 132 I 249 E. 5 S. 253, 130 V 177 E. 5.4.1 S. 183 f.). Dies trifft im vorliegenden Fall in Bezug auf das Nichteintreten der Vorinstanz auf das Verlängerungsgesuch des Beschwerdeführers zu. Der Vorinstanz wäre eine materielle Beurteilung aufgrund der Akten beziehungsweise durch eigene Abklärungen möglich gewesen. Das strikte Festhalten am Einreichen der verlangten Unterlagen ist hier durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt und wird zum blossen Selbstzweck. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet und ist gutzuheissen.