Aus den Erwägungen:
Die gegen den Beschwerdeführer verfügte Wegweisung hatte vom 12. März 2014 bis 1. April 2014 Gültigkeit. Aufgrund des Ablaufes der Geltungsdauer der angefochtenen Verfügung fehlt es dem Beschwerdeführer grundsätzlich an einem aktuellen schutzwürdigen Interesse an der Aufhebung dieser Fernhaltemassnahme (vgl. § 146 VRG). Die Fernhaltemassnahme hat aber zur Folge, dass die Vorinstanz im Wiederholungsfall das Verbot unter Androhung der Straffolgen von Art. 292 des Schweizerischen Strafgesetzbuches vom 21. Dezember 1937 verfügen kann (§ 19 Abs. 3 PolG). Ob daraus die Aktualität des Rechtsschutzinteresses resultiert, kann – wie sich nachfolgend ergibt – dahingestellt bleiben. Trotz Fehlens (oder Wegfalls) eines aktuellen Rechtsschutzinteresses ist nach konstanter Praxis ausnahmsweise auf die Beschwerde einzutreten, wenn es um eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung geht, die sich jederzeit unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen und wegen der Dauer des Verfahrens sonst nie rechtzeitig einer endgültigen Beurteilung zugeführt werden könnte (Merkli/Aeschlimann/Herzog, a.a.O., N 25 zu Art. 65; BGE 131 I 57 E. 1.2 S. 60).
Der Beschwerdeführer rügt, dass die verfügte Fernhaltemassnahme nicht gerechtfertigt sei, da er unschuldig sei und ihm der Handel mit Betäubungsmitteln nicht zweifelsfrei habe nachgewiesen werden können. Der Beschwerdeführer wirft damit Fragen zum Verhältnis zwischen strafrechtlichen und verwaltungsrechtlichen Massnahmen auf. Diese Fragen sind von grundsätzlicher Bedeutung und in der verwaltungsrechtlichen Praxis zu Fällen der polizeilichen Wegweisung gemäss § 19 PolG bislang nicht erörtert worden. Sie können überdies wegen der zeitlich beschränkten Wirkung der interessierenden Anordnungen kaum je rechtzeitig entschieden werden und sich jederzeit unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen. Es rechtfertigt sich daher, vom Erfordernis des aktuellen Interesses abzusehen, sollte sich ein solches nicht ohnehin aus der möglichen Strafandrohung im Wiederholungsfall ergeben.
2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei unschuldig und habe nicht mit Medikamenten gehandelt. Die Vorinstanz habe ihm bisher den Handel mit Betäubungsmitteln nicht zweifelsfrei nachweisen können. Er sei auch nicht im Strafregister verzeichnet und nicht negativ am Bahnhofplatz in Luzern aufgefallen. Zudem sei er aufgrund einer Gehbehinderung auf das Einsteigen und die Sitzbänke beim Bahnhofplatz angewiesen.
2.2 Die Unschuldsvermutung, welche im Strafverfahren gilt, findet im Zusammenhang mit der Anordnung einer Wegweisung beziehungsweise einer Fernhaltemassnahme keine Anwendung. Diese wurde vom Gesetzgeber nicht als strafrechtliche Sanktion für ein vorgängiges Verhalten, sondern als präventiv verwaltungsrechtliche Massnahme zum Schutz der öffentlichen Sicherheit und Ordnung konzipiert (Botschaft B 39 des Regierungsrates an den Kantonsrat zum Entwurf von Änderungen des Übertretungsstrafgesetzes und des Gesetzes über die Kantonspolizei betreffend Einführung einer allgemeinen Wegweisungsnorm und von Massnahmen gegen Littering sowie unbefugtes Plakatieren vom 15.1.2008, in: Verhandlungen des Kantonsrates 2008, S. 292). Die polizeiliche Wegweisung weist keinen strafrechtlichen Charakter auf. Sie ist vielmehr polizeilicher Natur und dient präventiv der Aufrechterhaltung der öffentlichen Sicherheit und Ordnung (vgl. dazu BGE 137 I 31 E. 5.2 S. 43). Dem präventiven Charakter einer Wegweisung entsprechend setzt deren Anordnung keine strafrechtliche Verurteilung voraus. Dafür genügt ein begründeter Verdacht, die öffentliche Sicherheit und Ordnung zu gefährden. Nicht erforderlich ist, dass das schuldhafte Begehen einer Straftat bewiesen ist. Damit soll verhindert werden, dass vor der Anordnung einer Wegweisung ein unter Umständen langwieriges Strafverfahren durch alle Instanzen abgewartet werden muss. Der Gesetzgeber wollte mit der Norm über die Wegweisung und Fernhaltung eine Grundlage schaffen, um rasch und effizient gegen störende Personen vorgehen zu können.
2.3 Im vorliegenden Fall geht aus dem Polizeirapport vom 18. Februar 2014 hervor, dass diese anlässlich einer Schwerpunktkontrolle hat feststellen können, dass der Beschwerdeführer am 11. Februar 2014 auf dem Bahnhofplatz in Luzern einer Drittperson etwas verkauft hat. Diese Person habe in der Folge zugegeben, Ritalin vom Beschwerdeführer gekauft zu haben. Nach anfänglichem Leugnen habe dies auch der Beschwerdeführer bestätigt. Er sei deshalb für 24 Stunden formlos vom Bahnhof- und Europaplatz weggewiesen worden. In einem Schreiben vom 17. Februar 2014 habe der Beschwerdeführer seine Aussagen vom 11. Februar 2014 widerrufen. Anlässlich einer weiteren Kontrolle hat die Vorinstanz am 12. März 2014 wiederum feststellen können, dass der Beschwerdeführer einer Drittperson etwas aushändigte. Aus dem Festnahmerapport der Vorinstanz vom 12. März 2014 ergibt sich, dass die Drittperson zugegeben hat, vom Beschwerdeführer drei Ritalin-Tabletten für insgesamt 21 Franken gekauft zu haben. Der Beschwerdeführer bestreitet dies und behauptet, es habe sich dabei um Magentabletten gehandelt. Die Vorinstanz verzeigte den Beschwerdeführer bei der Staatsanwaltschaft Luzern wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz durch den Verkauf von Ritalin-Tabletten.
In beiden Fällen haben die beteiligten Drittpersonen zugegeben, vom Beschwerdeführer Ritalin-Tabletten gekauft zu haben. Die Vorinstanz konnte die Tablettenverpackungen und in einem Fall auch die Tabletten sicherstellen. Damit liegt ein begründeter Verdacht vor, dass der Beschwerdeführer gegen das Betäubungsmittelgesetz verstossen hat und damit die öffentliche Sicherheit und Ordnung gefährdet. Nicht relevant ist, dass das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer noch hängig und er nicht rechtskräftig verurteilt ist. Ebenfalls nicht massgebend ist, ob der Beschwerdeführer bereits im Strafregister verzeichnet ist. Wie bereits erwähnt, ist dies für die Anordnung einer Wegweisung keine Voraussetzung. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, er sei gehbehindert und darauf angewiesen, sich auf dem Bahnhofplatz aufhalten zu können. Anlässlich der polizeilichen Einvernahme hat er jedoch ausgesagt, er nehme die verfügte Wegweisung von 20 Tagen zur Kenntnis. Er müsse ab und an mit dem Bus Nr. 4 nach Hause. Das werde aber schon gehen. Der Beschwerdeführer gab also selber zu, dass die Wegweisung ihn nicht vor unlösbare Probleme stellt. Er kann im Stadtzentrum andere Sitzgelegenheiten als diejenigen beim Bahnhofplatz benutzen und den Bus Nr. 4 an der Haltestelle Kantonalbank besteigen. Sein Einwand erweist sich damit als irrelevant. Der Beschwerdeführer erachtet weiter die verfügte Wegweisung von 20 Tagen für unverhältnismässig. Die Vorinstanz hat dabei den ihr zur Verfügung stehenden zeitlichen Rahmen nicht ausgeschöpft. Gemäss § 19 PolG kann eine Wegweisung für höchstens einen Monat verfügt werden. Eine Wegweisung von 20 Tagen im Wiederholungsfall ist deshalb nicht zu beanstanden. Aus der angefochtenen Verfügung der Vorinstanz geht zwar nicht hervor, dass es sich um einen Wiederholungsfall handelt. Die Vorinstanz begründet die Wegweisung einzig mit dem Verkauf verschreibungspflichtiger Medikamente. Die Begründung ist damit unvollständig. Gemäss § 110 Abs. 1 lit. c VRG hat die Ausfertigung des Entscheides unter anderem eine Begründung zu enthalten (kurz gefasste Darstellung des Sachverhalts, Anträge der Parteien, Erwägungen). Auch wenn das kantonale Recht eine schriftliche Begründung verlangt, kann eine solche jedoch unterbleiben, wenn der Betroffene anderweitig von den Gründen, die zum Entscheid geführt haben, Kenntnis erhalten hat oder wenn er sonst wie in der Lage ist – beispielsweise aufgrund vorausgegangener Verhandlungen oder Sitzungsprotokolle – klar zu erkennen, weshalb der Entscheid auf diese und nicht andere Weise gefällt worden ist (LGVE 2000 III Nr. 12). Es genügt, wenn sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheides Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die Rechtsmittelinstanz weiterziehen kann (BGE 122 II 359 E. 2a S. 362 f.). Der Beschwerdeführer wurde von der Vorinstanz anlässlich des zweiten Vorfalls vorläufig festgenommen und einvernommen. Bei dieser Gelegenheit wurde er darauf hingewiesen, dass ihm nicht zum ersten Mal vorgeworfen werde, Ritalin-Tabletten verkauft zu haben. Die Vorinstanz liess den Beschwerdeführer die Verfügung über die Wegweisung unterzeichnen und händigte ihm diese aus. Aus den Akten zeigt sich, dass der Beschwerdeführer von der Vorinstanz bereits mindestens viermal wegen des Verdachts auf Betäubungsmitteldelikte vorläufig festgenommen oder angehalten und einmal formlos weggewiesen worden war. Es war deshalb für den Beschwerdeführer erkennbar, weshalb die angefochtene Verfügung so und nicht anders ausgefallen ist. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen.