Aus den Erwägungen:
(...)
2.2 Im Folgenden ist zu prüfen, ob die Vorinstanz zu Recht auf das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA sowie das Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA des Beschwerdeführers wegen Verletzung der Mitwirkungspflichten nicht eingetreten ist.
3.1 Daraus folgt, dass sich der Beschwerdeführer auf ein Anwesenheitsrecht aus dem FZA berufen kann, sofern er die Voraussetzungen hierzu erfüllt. Namentlich kommt er in den Genuss eines Aufenthaltsrechts als Arbeitnehmer nach Art. 6 Anhang I FZA, wenn er der Vorinstanz einen gültigen Reisepass sowie eine Einstellungserklärung eines Schweizer Arbeitgebers oder eine Arbeitsbescheinigung vorlegt (vgl. Art. 6 Abs. 3 Anhang I FZA). Ist erstellt, dass sich der Beschwerdeführer auf ein Recht auf Aufenthalt nach dem FZA berufen kann, so darf dieses Recht nur durch Massnahmen, die aus Gründen der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit gerechtfertigt sind, eingeschränkt werden (vgl. Art. 5 Anhang I FZA). Kann sich der Beschwerdeführer allerdings auf kein nach Massgabe des FZA eingeräumtes Aufenthaltsrecht berufen – entweder, weil er die Voraussetzungen hierzu nicht erfüllt oder weil die Erfüllung der Voraussetzungen mangels Vorlegens der geeigneten Dokumente nicht festgestellt werden kann –, so kommt das AIG subsidiär zur Anwendung. Gemäss dessen Art. 33 Abs. 3 AIG kann die Aufenthaltsbewilligung sodann verlängert werden, wenn keine Widerrufsgründe nach Art. 62 Abs. 1 AIG vorliegen.
3.2 Was hingegen die Erteilung der Niederlassungsbewilligung an kroatische Staatsbürger betrifft, so ist zu beachten, dass die Bestimmungen des Anhangs I FZA lediglich Rechtsansprüche auf die Erteilung einer Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA, Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA oder Grenzgängerbewilligung EU/EFTA vermitteln (Art. 4 der Verordnung über die Einführung des freien Personenverkehrs vom 22.5.2002 [VEP]). Die Erteilung der (unbefristeten) Niederlassungsbewilligung bildet demgegenüber nicht Gegenstand des FZA, sondern richtet sich nach den Art. 34 AIG und 60 bis 63 der Verordnung über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit vom 24. Oktober 2007 (VZAE) sowie nach den von der Schweiz abgeschlossenen Niederlassungsvereinbarungen (Art. 5 VEP). Eine solche Niederlassungsvereinbarung haben die Schweiz und Kroatien nicht getroffen. Der Beschwerdeführer kann daher keinen Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung geltend machen. Eine solche kann ihm jedoch gestützt auf Art. 34 Abs. 2 AIG erteilt werden, wenn er sich insgesamt mindestens zehn Jahre mit einer Kurzaufenthalts- oder Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz aufgehalten hat und er während den letzten fünf Jahren ununterbrochen im Besitz einer Aufenthaltsbewilligung war (lit. a), keine Widerrufsgründe nach Art. 62 oder 63 Abs. 2 AIG vorliegen (lit. b) und er integriert ist (lit. c). Art. 60 Abs. 1 VZAE stipuliert dabei, dass für die Erteilung der Niederlassungsbewilligung die Integrationskriterien von Art. 58a Abs. 1 AIG erfüllt sein müssen. Dazu gehören die Beachtung der öffentlichen Sicherheit und Ordnung (lit. a), die Respektierung der Werte der Bundesverfassung (lit. b), die Sprachkompetenzen (lit. c) sowie die Teilnahme am Wirtschaftsleben oder am Erwerb von Bildung (lit. d; vgl. zur Präzisierung die Art. 77a bis 77f VZAE).
4.1 Dem Beschwerdeführer Fragen zu seinem Aufenthalt zwischen 2011 und 2016 zu stellen, war grundsätzlich nicht abwegig. Wie das Justiz- und Sicherheitsdepartement (JSD) in seinem Entscheid vom 24. Mai 2018 festgehalten hat, war es der Vorinstanz mit den bis zur Verfügung vom 17. Mai 2017 vorgenommenen Abklärungen nicht gelungen, schlüssige Anhaltspunkte oder gar den Beweis eines längerdauernden Auslandaufenthalts des Beschwerdeführers beizubringen. Den Sachverhalt in diese Richtung weiter abzuklären, um allenfalls doch noch feststellen zu können, dass der Beschwerdeführer in dieser Zeit länger als sechs Monate im Ausland gelebt oder aber in dieser Zeitspanne seinen Lebensmittelpunkt ins Ausland verschoben hatte, erscheint daher durchaus nachvollziehbar. Wäre die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers nämlich tatsächlich zwischen 2011 und 2016 erloschen, würde sich die Prüfung des Verlängerungsgesuchs vom 26. April 2011 und des Gesuchs um Niederlassungsbewilligung vom 31. Mai 2016 erübrigen. Die Gesuche wären alle beide abzulehnen, wobei das Gesuch um Verlängerung immerhin als Gesuch um Neuerteilung einer Aufenthaltsbewilligung umgedeutet werden könnte und folglich zu prüfen wäre, ob sich der Beschwerdeführer als neueinreisender kroatischer Staatsbürger auf ein Aufenthaltsrecht des FZA berufen kann.
4.2 Wie im JSD-Entscheid vom 24. Mai 2018 ebenfalls festgehalten, trägt die objektive Beweislast für das Bestehen eines Erlöschensgrundes (vgl. Art. 61 AIG wie auch Art. 6 Abs. 5, Art. 12 Abs. 5 Anhang 1 und Art. 24 Abs. 6 Anhang 1 FZA) jedoch die Behörde. Dass der Beschwerdeführer gemäss Art. 90 AIG verpflichtet ist, an der Feststellung des massgebenden Sachverhalts mitzuwirken, ändert an dieser Beweislastverteilung nichts. Insofern liegt es nicht am Beschwerdeführer zu beweisen, dass er sich zwischen 2011 und 2016 in der Schweiz aufgehalten hat, sondern an der Vorinstanz, das Gegenteil darzutun. Ebenso hat sie die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen und nicht der Beschwerdeführer. Konkret bedeutet dies, dass die Vorinstanz mangels Beweise oder genügender Indizien letztlich auf das Nichtvorhandensein von Erlöschensgründen schliessen muss und die fehlende Mitwirkung des Beschwerdeführers in Bezug auf das Feststellen allfälliger Auslandaufenthalte nicht dazu führen kann, dass auf seine Gesuche um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung oder um Erteilung der Niederlassungsbewilligung nicht eingetreten wird.
4.3 Dies lässt sich im Übrigen auch § 55 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 (VRG) entnehmen. So hält dessen Absatz 1 ausdrücklich fest, dass Parteien bei der Feststellung des Sachverhalts (nur) mitzuwirken haben, wenn sie das Verfahren durch eine Rechtsvorkehr (z.B. ein Gesuch) veranlasst haben (Abs. 1a), sie in einem Verfahren Anträge (z.B. Antrag auf Erlass vorsorglicher Massnahmen) stellen (Abs. 1b) oder soweit ein Rechtssatz ihnen besondere Auskunftspflichten auferlegt (Abs. 1c). Letzteres trifft zwar mit Blick auf Art. 90 AIG im Ausländerrecht generell zu. Ein Nichteintreten auf ein Gesuch oder einen Antrag rechtfertigt sich angesichts von § 55 Abs. 2 VRG allerdings nur, wenn eine Partei die notwendige und zumutbare Mitwirkung in einem Fall von Absatz 1a und b verweigert, wobei die Frage des Erlöschens der Aufenthaltsbewilligung ein Fall von Absatz 1c darstellt. In Bezug auf das Vorliegen von allfälligen Erlöschensgründen hat der Beschwerdeführer denn auch nie ein Gesuch gestellt, noch handelt es sich um einen Antrag von ihm. Ein solches Verfahren eröffnet die zuständige Behörde vielmehr jeweils von Amtes wegen. Dass dies regelmässig im Rahmen eines Verlängerungsverfahrens geschieht, tut dabei nichts zur Sache. Entscheidend ist wie erwähnt, dass der Beschwerdeführer das Verfahren betreffend Erlöschensgrund nicht mit einer Rechtsvorkehr veranlasst hat und auch kein Antrag in diesem Zusammenhang gestellt hat. Ihn trifft daher diesbezüglich zwar eine Mitwirkungspflicht gestützt auf § 55 Abs. 1c VRG in Verbindung mit Art. 90 AIG. Die Verweigerung der notwendigen und zumutbaren Mitwirkung schlägt sich jedoch niemals auf sein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung oder um Erteilung der Niederlassungsbewilligung nieder. Ein Nichteintreten auf diese Gesuche wären erst dann rechtens, wenn der Beschwerdeführer seiner Mitwirkungspflicht in Bezug auf die hierfür einverlangten Unterlagen und Informationen nicht nachkommen würde (§ 55 Abs. 1a und 2 VRG) und die Vorinstanz mangels dieser Kooperation materiell nicht über die Gesuche entscheiden könnte beziehungsweise die Unterlagen und Informationen nicht selber beschaffen kann.
4.4 Da die Vorinstanz in ihrem Schreiben vom 20. Juni 2018 jedoch fast ausschliesslich Fragen zum Aufenthalt des Beschwerdeführers zwischen 2011 und 2016 und folglich im Zusammenhang mit einem allfälligen Erlöschensgrund gestellt hat, kann nicht behauptet werden, der Beschwerdeführer hätte die ihm zumutbare und notwendige Mitwirkung für die Prüfung der Gesuche vom 26. April 2011 und 31. Mai 2016 verweigert. Er hat zwar auf die Schreiben der Vorinstanz in keiner Weise reagiert und damit namentlich selber zu verantworten, dass nicht festgestellt werden kann, ob ihm ein Aufenthaltsrecht als Arbeitnehmer nach dem FZA zukommt. Über sein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung kann dennoch im Grunde genommen entschieden werden. Den Akten sind jedenfalls keine Hinweise darauf zu entnehmen, dass Widerrufsgründe nach Art. 62 Abs. 1 AIG vorliegen, noch hat die Vorinstanz entsprechende Unterlagen einverlangt oder selber beschafft (z.B. Betreibungsregisterauszug, Bestätigung der Wohngemeinde, dass keine wirtschaftliche Sozialhilfe bezogen wurde, Strafregisterauszug). Ein Nichteintreten auf das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht rechtfertigt sich daher nicht.
4.5 Ähnliches gilt für das Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung. Für dessen Prüfung hat die Vorinstanz keinerlei Unterlagen oder Informationen vom Beschwerdeführer gefordert. Eine Verletzung der Mitwirkungspflicht kann ihm folglich nicht vorgeworfen werden. Sein allgemein im Verfahren gezeigtes, unkooperatives Verhalten darf höchstens – aber immerhin – im Rahmen der Prüfung von Art. 34 Abs. 2 lit. c AIG (Integration) berücksichtigt werden.