Aus den Erwägungen:
4.1 Die Initiative "Kein Fixerraum in Wohnquartieren" wurde vom Initiativkomitee am 3. Mai 2006 eingereicht. Der Grosse Stadtrat von Luzern erklärte die Initiative mit Beschluss vom 14. Dezember 2006 für ungültig. Da der Regierungsrat diesen Beschluss mit Entscheid vom 3. April 2007 aufgehoben hat, ist zu prüfen, ob die Frist zur Behandlung von Gemeindeinitiativen eingehalten worden ist bzw. ob sie eingehalten werden kann, wenn der Stadtrat von Luzern die Initiative dem Stadtparlament wie angekündigt nach Einholen eines Gutachtens vorlegt.
4.2 Die gesetzlichen Fristen für die Behandlung von Gemeindeinitiativen sind im Gemeindegesetz geregelt. Solange die Gemeindeordnung in einer Gemeinde wie im vorliegenden Fall noch nicht an das Gemeindegesetz vom 4. Mai 2004 (GG) angepasst worden ist, gelten nach § 110 Absatz 3 GG die Bestimmungen des alten Gemeindegesetzes vom 9. Oktober 1962 (aGG). Nach diesen Bestimmungen hat die Gemeindebehörde innert Jahresfrist über die Initiative zu befinden (§ 46a Abs. 2 aGG). Die Frist kann allerdings angemessen erstreckt werden, wenn ihre Einhaltung nicht möglich ist (vgl. §§ 46c aGG und 62 Abs. 2c aGG). Die Stadt Luzern hat in ihrer Gemeindeordnung vom 7. Februar 1999 (GO) für die Behandlung der Gemeindeinitiativen eine Sonderorganisation im Sinn der §§ 61ff. aGG getroffen. Nach dieser Sonderordnung hat der Stadtrat eine zustande gekommene Initiative innert zwölf Monaten seit ihrer Einreichung mit einem Bericht und Antrag dem Grossen Stadtrat zu überweisen (Art. 8 GO). Der Grosse Stadtrat hat sodann innert sechs Monaten mit einem Beschluss zur Initiative Stellung zu nehmen (Art. 9 GO).
5.3 Die gesetzliche Frist zur Behandlung von Gemeindeinitiativen beträgt, wie in E. 4.2 festgehalten, ein Jahr. Ebenso hat nach der hier massgeblichen Gemeindeordnung der Stadt Luzern der Stadtrat ein Jahr Zeit, um dem Grossen Stadtrat Bericht und Antrag zu unterbreiten. Mit der Behandlungsfrist von einem Jahr wollte der Gesetzgeber eine einheitliche Frist für alle vorkommenden Initiativen schaffen, innert der es aus seiner Sicht grundsätzlich möglich ist, Initiativen zu behandeln. Es war die Absicht des Gesetzgebers, mit dieser Regelung einer Aushöhlung der Volksrechte entgegenzuwirken und die Verschleppung von Volksbegehren zu verhindern (vgl. BGE 104 Ia 240 E. 3a S. 243 mit Hinweisen; vgl. auch: ZBl 1987, S. 463ff.; BGE 108 Ia 165). Reicht diese Jahresfrist nicht aus, so wurde vom Gesetzgeber die Möglichkeit vorgesehen, sie vom Gemeindeparlament angemessen erstrecken zu lassen (§ 62 Abs. 2c aGG i.V.m. § 82h Grossratsgesetz). Mit der Aufhebung des Beschlusses des Grossen Stadtrates durch den Entscheid des Regierungsrates vom 3. April 2007 ist der Rechtszustand hergestellt worden, der vor dem Beschluss des Grossen Stadtrates vom 14. Dezember 2006 galt. Damals waren etwas mehr als sieben Monate der Jahresfrist verstrichen. Die Jahresfrist für die Behandlung der Initiative würde somit Ende August bzw. Anfang September 2007 ablaufen (vgl. E. 4.4). Bis zu diesem Zeitpunkt wird es dem Stadtrat kaum möglich sein, dem Parlament einen fundierten Antrag bezüglich der Gültigkeit der Initiative vorzulegen. Zu beachten ist indessen, dass der Grosse Stadtrat zur Beratung seiner Geschäfte auf entsprechende Vorlagen der Exekutive angewiesen ist. Das gilt auch im vorliegenden Fall. Zu beachten ist aber auch, dass dem Stadtrat bis heute weder trölerisches Handeln noch sonst wie Verfahrensverzögerung vorgeworfen werden kann (vgl. E. 4) und es sich bei den von ihm einzuhaltenden Behandlungsfristen um Ordnungsfristen handelt. Auf der anderen Seite sind aber auch das Interesse der Initianten an einer beförderlichen Behandlung ihrer Initiative und das für Initiativen vom Gesetzgeber mit besonderen Behandlungsfristen zum Ausdruck gebrachte Beschleunigungsgebot zu berücksichtigen. Dass es sich bei der einjährigen Behandlungsfrist um eine Ordnungsfrist handelt, heisst nicht, dass es sich um eine bedeutungslose Frist handelt. So haben solche Fristen zunächst eine gewisse politische Bedeutung. Sodann kann deren Überschreitung gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung wegen Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung beanstandet werden, wenn die Behörden die zur Verfügung stehende Zeit auf unzulässige Art verstreichen lassen, ohne zu handeln, oder das fragliche Geschäft in ungerechtfertigter Weise trölerisch behandeln (vgl. zum Ganzen: BGE 108 Ia 165 E. 2b S. 168). Weiter ist im vorliegenden Fall zu beachten, dass die einjährige Behandlungsfrist der Exekutive vom Parlament erstreckbar ist und die Vorinstanz von Gesetzes wegen verpflichtet ist, das Parlament um Erstreckung dieser Frist zu ersuchen, wenn sie diese nicht einhalten kann. Die Vorinstanz ist daher gehalten, dem Grossen Stadtrat so schnell als möglich einen fundierten Antrag bezüglich der Gültigkeit der Initiative vorzulegen und, falls ihr dies nicht sofort möglich ist, ihm unverzüglich ein Gesuch um angemessene Erstreckung der Behandlungsfrist einzureichen. (Regierungsrat, 21. August 2007, Nr. 1029)