Sachverhalt:
Der in der Gemeinde Z wohnende A, geboren 8. Juli 1992, besuchte im Schuljahr 2005/06 die 1. Sekundarklasse an seinem Wohnort. Damals war das Verhältnis zwischen A und seinen Mitschülern Belastungen ausgesetzt. Deswegen schlugen Fachleute einen "Milieuwechsel" vor, worauf A in der Privatschule X auf der Sekundarstufe 1 unterrichtet wurde. In der Folge stellte sich die Frage, wer für das Schulgeld aufzukommen hat. Mit Entscheid vom 28. Mai 2008 bestätigte die Dienststelle Volksschulbildung das Gesuch der Eltern um Beiträge an das Schulgeld für A. Einen Anteil sollte der Kanton übernehmen, ein weiterer die Gemeinde Z. Dagegen führte die Gemeinde Z Verwaltungsbeschwerde mit dem Antrag, die Gemeinde sei von der Beitragspflicht zu befreien. Mit Entscheid vom 20. August 2008 sprach das Bildungs- und Kulturdepartement der Gemeinde Z die Beschwerdebefugnis ab und trat auf die Verwaltungsbeschwerde nicht ein. Diesen Nichteintretensentscheid zog die Gemeinde Z an das Verwaltungsgericht weiter.
Das Verwaltungsgericht heisst die Beschwerde der Gemeinde gut, soweit es darauf eintritt.
Aus den Erwägungen:
1.- a) Das Bildungs- und Kulturdepartement sprach der Gemeinde bereits im vorinstanzlichen Verfahren die Befugnis zur Beschwerdeführung ab. Den gleichen Standpunkt vertritt sie im Verfahren vor Verwaltungsgericht. Die Gemeinde Z ihrerseits sieht sich zur Prozessführung befugt.
b) Zur Einreichung eines Rechtsmittels sind unter anderem Parteien des vorinstanzlichen Verfahrens befugt, wenn sie an der Änderung oder Aufhebung des angefochtenen Entscheids ein schutzwürdiges Interesse dartun, sowie andere Personen, Organisationen oder Behörden, welche die Rechtsordnung dazu ermächtigt (§ 129 Abs. 1 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3.7.1972; VRG; SRL Nr. 40). Die erste Legitimationsvoraussetzung, die formelle Beschwer der Gemeinde, ist ohne weiteres erfüllt, weil sie im vorinstanzlichen Verfahren mit ihren Anträgen nicht durchgedrungen ist (vgl. Kölz/ Bosshart/Röhl, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Aufl., Zürich 1999, N 21, 23 und 27 zu § 21). Für die materielle Beschwer ist von § 129 Abs. 1 lit. a VRG auszugehen, wobei aber kantonal mindestens die gleiche Legitimation anerkannt werden muss, wie sie Art. 89 des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) vorsieht (vgl. Art. 111 Abs. 1 BGG), weil die Einheitsbeschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht auch für kantonalrechtliche Materien, wie sie hier zur Diskussion stehen, gegeben ist. Dies gilt auch bei Streitsachen, bei denen bisher eine engere kantonale Legitimationsregelung zulässig war, und auch für die besonderen Beschwerdebefugnisse gemäss Art. 89 Abs. 2 BGG, insbesondere auch für die Autonomiebeschwerde einer Gemeinde (Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG; Seiler, Handkommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N 5 zu Art. 89).
c) Die Beschwerdelegitimation ist vorab auf Private zugeschnitten (statt vieler: Cavelti/Vögeli, Verwaltungsgerichtsbarkeit im Kanton St. Gallen, 2. Aufl., St. Gallen 2003, N 441 mit Hinweisen). Körperschaften des öffentlichen Rechts, wozu Gemeinden gehören, sind aber jedenfalls dann beschwerdebefugt, wenn sie in gleicher oder ähnlicher Weise betroffen sind wie eine Privatperson (BGE 124 II 417 Erw. 1e/bb, 123 II 374; Waldmann, in: Niggli/Übersax/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, N 37 zu Art. 89; Häner, Die Beteiligten im Verwaltungsverfahren und Verwaltungsprozess, Zürich 2000, N 825 ff.). Typischerweise wie eine Privatperson berührt ist das Gemeinwesen etwa dann, wenn es sich gegen eine Anordnung wehrt, die sein Finanzvermögen beeinträchtigt. Dasselbe gilt für die Verpflichtung zur Bezahlung von Entschädigungen. Ferner ist ein Gemeinwesen zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert, wenn es durch den angefochtenen Entscheid in seinen zentralen hoheitlichen Befugnissen berührt ist und ein schutzwürdiges eigenes Interesse an der Aufhebung oder Änderung der angefochtenen Verfügung hat, d.h. wenn es sich auf ein spezifisches öffentliches Interesse beruft, das in seinen Wirkungskreis fällt (zum Ganzen auch: BG-Urteil 2C_609/2007 vom 27.11.2008 Erw. 1.3). Bei alledem gilt zu beachten, dass das allgemeine Anliegen an der richtigen Rechtsanwendung nicht legitimationsbegründend ist (BGE 131 II 62, 130 V 515 f., 124 II 418, 123 II 375). Auch ein abstraktes, allgemeines finanzielles Interesse, beispielsweise das Anliegen, Steuerausfälle zu vermeiden, begründet - isoliert betrachtet - keine Beschwerdebefugnis des Gemeinwesens (vgl. BGE 131 II 759 f., 123 II 432; vgl. Seiler, a.a.O., N 36 zu Art. 89). Es ist aber nicht zu übersehen, dass die neuere Praxis des Bundesgerichts - zu Art. 103 lit. a des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege [OG] - dazu tendierte, die Beschwerdebefugnis der Gemeinwesen jeweils bereits zu bejahen, sobald die Finanzierung bestimmter öffentlicher Aufgaben bei einer Streitsache zur Debatte stand, weil diesbezüglich die legitimationsbegründende Betroffenheit im hoheitlichen Bereich erblickt worden war (vgl. Häner, a.a.O., N 865). Anzumerken ist aber auch, dass bloss eine Erschwerung in der Aufgabenerfüllung für die Beschwerdebefugnis nicht ausreicht (Häner, a.a.O., N 841). Dagegen bejaht das Bundesgericht die Legitimation, wenn in den Wirkungskreis des betreffenden Gemeinwesens fallende, spezifische öffentliche Interessen vorgebracht werden; mit andern Worten, wenn es um Eingriffe geht, deren Auswirkungen die Gesamtheit oder einen Grossteil der Einwohnerschaft unmittelbar treffen können (BGE 131 II 759, 124 II 304 f.; ferner: Häner, a.a.O., N 844). Nach der Lehre genügt es, wenn in den Wirkungskreis des betreffenden Gemeinwesens eingegriffen wird; ein Berührtsein im Autonomiebereich wird diesfalls nicht vorausgesetzt (Kölz/ Bosshart/Röhl, a.a.O., N 53 ff. zu § 21).
d) Die Dienststelle Volksschulbildung verpflichtete die Gemeinde in Ziffer 4 des Rechtsspruchs ihres Entscheides vom 28. Mai 2008, nach Massgabe des Beschlusses über die Beiträge im Sonderschulwesen für die Zeit vom 1. Oktober 2006 bis 31. Dezember 2007 einen Beitrag von Fr. xxx.-- pro Schultag (für den Schüler A) zu entrichten. Mit einem zweiten, gleichentags gefällten Entscheid setzte sie den Schulgeldbeitrag der Gemeinde sodann für die Zeit vom 1. Januar 2008 bis 31. Juli 2008 auf Fr. yyy.-- pro Schultag fest. Diese beiden kantonalen Hoheitsakte berühren evidenterweise finanzielle Interessen der Gemeinde. In formeller Hinsicht bleibt anzumerken, dass beide kantonalen Entscheide sowohl den Eltern von A als auch der Gemeinde eröffnet worden sind. Damit ist deutlich geworden, dass die Gemeinde - nebst den Eltern - als Verfügungsadressatin dieser beiden (kantonalen) Entscheide gilt (dazu: Häner, a.a.O., N 830). Nach dem Gesagten steht der Gemeinde nun aber der Rechtsweg offen, um sich gegen den ihr von Seiten der kantonalen Behörden auferlegten finanziellen Beitrag an die Kosten des Unterrichts von A an der Privatschule zur Wehr setzen zu können (im Ergebnis analog: BGE 122 II 36 Erw. 1a; 118 Ib 614 Erw. 1b; vgl. Urteil V 07 265 vom 9.12.2008 Erw. 1b/bb; ferner: Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft 2007, in: BLKGE 2007 II Nr. 35 Erw. 2.1 mit weiteren Hinweisen).
e) Was die Vorinstanz dagegen ins Feld führt, vermag im Ergebnis nichts zu ändern. Unbehelflich erscheint in diesem Kontext der Hinweis, dass der Gemeinde im Zusammenhang mit dem zur Diskussion stehenden Schulwechsel und dessen finanziellen Folgen keine "Gemeindeautonomie" zukomme und die Gemeinde ihre finanziellen Interessen in einem Rechtsmittelverfahren deswegen nicht wahrnehmen könne.
Wie dargelegt, beruht die Beschwerdebefugnis der Gemeinde in diesem Verfahren auf deren finanziellen Inanspruchnahme, ohne dass für die Legitimation zusätzlich die Gemeindeautonomie angerufen werden muss. Die Beschwerdebefugnis einer Gemeinde wegen Verletzung ihrer Gemeindeautonomie ist nämlich von der anerkannten allgemeinen Beschwerdebefugnis - zufolge der strittigen finanziellen Belastung des Gemeinwesens - zu unterscheiden, was die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid sowie in der Vernehmlassung zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu übersehen scheint. Mit andern Worten kann die Frage, ob der Gemeinde im vorliegenden Kontext gestützt auf die (kantonale) Rechtslage überhaupt Gemeindeautonomie zukommt oder nicht, offen bleiben. Es ist ausreichend, dass die Gemeinde zu einer nicht unbedeutenden Geldzahlung verpflichtet werden soll. Sie beruft sich darauf, dass sie keinen Beitrag schuldet, weil dafür eine gesetzliche Grundlage fehle oder zumindest die gesetzlichen Voraussetzungen im konkreten Fall nicht erfüllt seien. In dem Zusammenhang tritt die Gemeinde nicht als blosser öffentlich-rechtlicher Mitfinanzierer auf, indem sie allgemeine und (oder) wiederkehrende Beiträge an die Kosten, die mit der Wahrnehmung einer primär kantonalen Aufgabe verbunden sind, leisten muss. Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, handelt es sich bei der Volksschule und den Angeboten des Grundschulunterrichts um eine Verbundaufgabe. Dass pädagogische Neben- und Sonderreinrichtungen bestehen, wofür unter Umständen ein einziger öffentlich-rechtlicher Träger (hier der Kanton) verantwortlich ist, bedeutet nicht, dass in einem Konflikt um die Abgrenzung Regelunterricht/Sonderschulunterricht und über die daraus folgenden Beitragsleistungen der Kanton ohne rechtliche Überprüfungsmöglichkeit abschliessend befinden kann. Demzufolge ist die Beschwerdebefugnis der Gemeinde zu bejahen.
2.- Der Sache nach ist die Vorinstanz im angefochtenen Rechtsmittelentscheid auf die Beschwerden der Gemeinde nicht eingetreten, weil ihr die Befugnis zur Beschwerdeführung abgesprochen worden war. Wie dargetan, greift die Argumentation der Vorinstanz zu kurz. Indem die Vorinstanz der Gemeinde die Beschwerdebefugnis absprach, verletzte sie deren Parteirechte. Mithin ist der angefochtene Nichteintretensentscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese über die Verwaltungsbeschwerde der Gemeinde materiell entscheide.