Mit Baugesuch vom 25. April 2008 beantragte A als Eigentümer und Projektverfasser beim Stadtrat Luzern eine Baubewilligung für Anbauten und Umbauten seines Mehrfamilienhauses auf dem Grundstück Nr. x, Grundbuch Luzern, linkes Ufer. Das Projekt umfasst im Wesentlichen einen Anbau mit Terrasse und Balkon auf der Südostseite und einen Anbau mit Sitzplatz, Terrassen und Balkon auf der Nordwestseite. Zudem sollen auf der südlichen Dachfläche zusätzliche Dachaufbauten erstellt werden; geplant sind ferner Umbauten im Inneren des Gebäudes sowie die teilweise Neugestaltung der Umgebung. Das Baugesuch lag vom 9. Mai bis 28. Mai 2008 öffentlich zur Einsicht auf. Einsprachen wurden keine eingereicht. Mit Schreiben vom 10. Juni 2008 teilte die mit der Prüfung des Baugesuchs befasste Stelle - die Stadtplanung - dem Gesuchsteller mit, das eingereichte Projekt sei nicht bewilligungsfähig und der Bewilligungsbehörde werde die Abweisung des Gesuchs unterbreitet. In der Folge hielt A an seinem Bauvorhaben fest. Mit Entscheid vom 20. August 2008 wies der Stadtrat Luzern das Baugesuch ab. Gegen diesen Entscheid reichte A Verwaltungsgerichtsbeschwerde ein mit den Anträgen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Baubewilligung sei zu erteilen. In der Folge ergänzte A die Anträge dahingehend, es sei festzustellen, dass die Vorinstanz den Grundsatz von Treu und Glauben sowie den Schutz vor Willkür verletzt habe. Das Gericht weist die Beschwerden ab, soweit es darauf eintritt.
Aus den Erwägungen:
1.- a) - d) (Prozessuales)
2.- a) Der Beschwerdeführer ergänzte in der Stellungnahme vom 19. Dezember 2008 die Anträge um das Begehren, es sei festzustellen, dass die Vorinstanz den Grundsatz von Treu und Glauben sowie "den Schutz vor Willkür" verletzt habe. Aus den Anbringen in der erwähnten und auch der späteren Stellungnahme ergibt sich, dass die diesbezüglichen Rügen keinen selbständigen Charakter haben, sondern im Zusammenhang mit einzelnen materiellen Punkten des angefochtenen Entscheides stehen. Es kann daher offen gelassen werden, ob ein neuer, zusätzlicher Antrag vor Verwaltungsgericht erst nach Erhebung der Beschwerde eingebracht werden kann. Wesentlich ist die Begründung in den Rechtsschriften, deren Zulässigkeit und Richtigkeit im Folgenden zu prüfen sind. In der Hinsicht erweist sich der Feststellungsantrag des Beschwerdeführers im formellen Sinn als obsolet.
b) In der Beschwerde wird vorab gerügt, die von der Stadtplanung im Schreiben vom 10. Juni 2008 geäusserte Auffassung, wonach das Projekt nicht bewilligungsfähig sei, komme einer vorgängigen und präjudizierenden Stellungnahme gleich. Dadurch sei die Bewilligungsinstanz - der Stadtrat - in seiner Entscheidungsfreiheit eingeschränkt worden, was nicht zulässig sei.
Vorab ist festzustellen, dass der Beschwerdeführer keine weiteren Folgen aus dem von ihm gerügten Sachverhalt zieht. Die Stadtplanung (Dienstabteilung der städtischen Verwaltung) zeigte dem Beschwerdeführer die Gründe an, die ihrer Ansicht nach gegen eine Bewilligung des Baugesuchs sprechen würden. Sie räumte ihm auch die Möglichkeit ein, das Gesuch zurückzunehmen und zu überarbeiten. Dass die instruierende Dienststelle im Rahmen einer Vorprüfung das Baugesuch beurteilt und in der vorliegenden Weise vorgegangen ist, kann ernstlich nicht in Frage gestellt werden. Dass und in welcher Hinsicht die Baubewilligungsbehörde in ihrem Entscheid behindert worden wäre, ist nicht einzusehen.
3.- (...)
4.- a) Die Vorinstanz stellte fest, der projektierte Anbau auf der Südseite des Hauses unterschreite den Grenzabstand. Die Fassadenhöhe, gemessen ab dem ausgemittelten gewachsenen Terrain bis Oberkante (OK) Geländer im 2. Obergeschoss, betrage 9.0 Meter. In Anwendung von § 122 Abs. 1 PBG ergebe sich ein minimaler Grenzabstand (Hälfte der Fassadenhöhe) von 4.5 m. Projektiert sei jedoch nur ein Abstand von 3.5 m.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz projiziere unzulässigerweise OK Brüstung des Balkons im 2. Obergeschoss in die Fassadenflucht des Anbaus des 1. Obergeschosses. Es werde die Tatsache übergangen, dass es sich beim Anbau um einen eingeschossigen Anbauteil handle (das Untergeschoss werde nicht mitgerechnet), welches über eine Terrasse auf dem ersten Vollgeschoss und einen Balkonanbau im zweiten Obergeschoss verfüge. Der geplante Balkon sei um einen Meter zurückversetzt und liege in einer im Verhältnis von 2:1 steigenden Linie (Beschwerde Ziff. 2.1). Die Vorinstanz bringt hierzu vor, der Anbau auf der Südseite trete optisch bis zur Oberkante des Balkongeländers als Fassade in Erscheinung. Der abgestützte Balkon sei gegenüber dem 1. OG lediglich um 1 Meter zurückversetzt. Gegenüber der Oberkante des Geländers im 1. OG weise dieser Balkon eine Höhe von 2.8 m auf. Somit müsste er - um nicht als Fassadenteil zu gelten - wesentlich zurückversetzt werden. Es gelte in dem Zusammenhang die "45-Grad-Norm".
b /aa) Der Grenzabstand ist die kürzeste horizontale Entfernung zwischen der Grundstücksgrenze und der Fassade (§ 120 Abs. 1 PBG). Nach dem Projekt soll der Grenzabstand zwischen 3.5 m und 4 m betragen. Gemäss § 122 Abs. 1 PBG beträgt der Grenzabstand die Hälfte der Fassadenhöhe, mindestens jedoch 4 m bei Massivbauten. In der Stadt Luzern beträgt der Grenzabstand für Massivbauten mindestens 3.5 m (§ 122 Abs 3 PBG). Die Höhe der Fassaden ist in ihrer Mitte ab gewachsenem oder tiefer gelegtem Terrain bis zum Schnittpunkt der Fassade mit der Dachoberfläche zu messen, wobei grössere Unebenheiten im Terrain auszumitteln sind; bei Giebelfassaden ist die Höhe des Giebeldreiecks nicht zu berücksichtigen. Bei Flachdachbauten ist die Höhe bis Oberkante Brüstung beziehungsweise Geländer zu messen (§ 122 Abs. 4 PBG). Auf diesen Aspekt wird zurückzukommen sein.
Die Grenzabstände stehen nach Massgabe der zitierten Rechtslage in Relation zu den Fassadenhöhen; je höher die zur Diskussion stehende massgebliche Fassade, umso grösser der (prinzipiell) einzuhaltende minimale Grenzabstand. Nach dem Willen des Gesetzgebers liefert - mit Bezug auf die Vertikale - also die Fassadenhöhe das Minimalmass für den Grenzabstand. Die Rechtslage macht deutlich, dass Vorschriften über Abstände generell die zwischen einer Baute und etwa anderen Bauten frei zu haltenden Räume bestimmen sollen. Solche Abstandsregelungen erfüllen primär feuer- und ordnungspolizeiliche sowie wohnhygienische Aufgaben (statt vieler: Zimmerlin, Kommentar zum Baugesetz des Kantons Aargau, 2. Aufl., Aarau 1985, N 1 ff. zu §§ 163-65; ferner: Urteil V 99 313/314 vom 26.10.2000, E. 3a). Insofern kommt ihnen (auch) eine nachbarschützende Funktion zu. Zudem haben sie oft gestalterische, ästhetische, siedlungsstrukturierende oder soziale Funktionen. Damit können Abstandsvorschriften nebst privaten auch öffentlichen Interessen dienen (vgl. Ivanov, Die Harmonisierung des Baupolizeirechts unter Einbezug der übrigen Baugesetzgebung, Freiburg 2006, S. 60). Dienen sie sowohl privaten als auch öffentlichen Interessen, spricht die Lehre von "Doppelnormen" (Urteil V 07 271 vom 23.1.2008, E. 3c mit Hinweis auf: Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl., Zürich 2006, N 268 ff.).
bb) Wie erwähnt, beträgt der Grenzabstand - Ausnahmen vorbehalten - die Hälfte der Fassadenhöhe, im Gebiet der Stadt Luzern jedoch mindestens 3.5 m (§ 122 Abs. 1 und 3 PBG). Das strittige Um- und Ausbauprojekt weist beim Südanbau einen Grenzabstand von 3.5 m aus. Ein derartiger Grenzabstand ist nach Massgabe der Rechtslage - dem Grundsatz nach - bloss zulässig, falls die als Referenz heranzuziehende "Fassade" eine Höhe von 7.00 m nicht überschreitet. Im angefochtenen Entscheid hielt die Vorinstanz in Erwägung Ziff. 1 fest, auf der Südseite werde der Grenzabstand durch den projektierten Anbau unterschritten. Bis "OK Geländer im 2. Obergeschoss" betrage die Fassadenhöhe 9.0 m. Diese Fassadenhöhe rufe nach einem minimalen Grenzabstand von 4.5 m. Tatsächlich messe er vorliegend lediglich 3.5 m. Eine derartige Unterdistanz sei lediglich unter dem Vorbehalt einer Ausnahmebewilligung rechtens. Aufgrund der eingereichten Unterlagen sei kein "ausserordentlicher Fall" erkennbar, welcher eine Ausnahmebewilligung für die Unterschreitung des minimalen Grenzabstandes rechtfertigen könnte. Diese Überlegungen will der Beschwerdeführer nicht gelten lassen. Er definiert die Höhe der Fassade als Differenz zwischen dem Terrain und dem Schnittpunkt mit dem Dach und will die Fassadenhöhe nur bis zum Terrassenboden im 1. OG berechnet wissen, weil es sich beim Terrassenboden um das Dach des Anbaus Süd handle. Die Vorinstanz misst die Fassade demgegenüber vom ausgemittelten Terrain bis OK Balkon 2. OG (9 m). Den Überlegungen der Verfahrensbeteiligten liegen mit Bezug auf die Fassadenhöhe mithin unterschiedliche Messweisen zu Grunde. In dieser Hinsicht folgen sie mit Bezug auf den zentralen Massansatz bei der Ermittlung des Grenzabstandes unterschiedlichen Auslegungen. Wie es sich hierbei verhält, ist im Folgenden zu überprüfen.
cc) Ansatzpunkt für die Ermittlung des Grenzabstandes ist, wie erwähnt, in vertikaler Hinsicht die "Fassadenhöhe". Vorab fragt sich, was überhaupt unter dem Begriff "Fassade" zu verstehen ist. Eine Legaldefinition, was exakt eine Fassade ist bzw. welche Bauteile für die Berechnung ihrer Höhe oder Länge relevant sind, enthält das Gesetz nicht. Wie jeder in dem Sinne "unbestimmter" Rechtsbegriff und Bestandteil einer Norm, ist der Begriff bzw. die Norm auszulegen. Zu fragen ist nach der Tragweite unter Berücksichtigung der Auslegungselemente, namentlich des Textes, des Zwecks, des Sinnes und der dem Zweck zugrunde liegenden Wertung. Wichtig ist ebenfalls der Sinn, welcher der Bestimmung in ihrem Kontext zukommt (LGVE 1998 II Nr. 7 E. 4b; ferner: BGE 125 II 185, 122 III 325 E. 7a, Rhinow/Krähenmann, Schweizerische Verwaltungsrechtsprechung, Ergänzungsband, Nr. 21 B IV; Walter, Der Methodenpluralismus des Bundesgerichts bei der Gesetzesauslegung, in: recht 1999, S. 157 ff.).
Die Fassade ist die Schauseite eines Gebäudes, auf der die Gestaltung konzen-triert ist. Etymologisch liegt dem Begriff denn auch das lateinische Wort facies "Gesicht" zugrunde (Koepf/Binding, Bildwörterbruch der Architektur, 3. Aufl., 1999, S. 163). Im Zusammenhang mit allgemeinen Abstandsvorschriften ist grundsätzlich die horizontale Lage der Fassade massgebend, die wiederum als Projektion der grössten oberirdischen Gebäudeumfassung definiert wird (so z.B. für das Zürcher Recht: Fritzsche/Bösch, Zürcher Planungs- und Baurecht, 4. Aufl., Zürich 2006, Ziff. 12.1.3.1 [Kap. 12-7] sowie Ziff. 12.8.1.1 [Kap. 12-35). Für die Berechnung des erforderlichen Grenzabstands ist die vertikale Betrachtung relevant (Fassadenhöhe). Jede Berechnungsweise hängt aber davon ab, welche Bauteile rechtlich als Fassade einzuordnen sind, wobei auf deren Funktion und Zweck in der Umsetzung der Bauordnung abzustellen ist. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers findet eine Staffelung der einzelnen Gebäudeteile im Hinblick auf die Berechnung der Fassadenhöhe im Gesetz keine Stütze.
Entscheidend ist die optische Komponente. Die Ansichten Fassade Süd und Fassade Ost machen deutlich, dass der Südanbau bis OK Geländer im 2. OG aus nachbarlicher Sicht tatsächlich als kompakter, einheitlicher Anbau und somit fassadenbildend wirkt. Lediglich aus der Ansicht West erscheint der Anbau etwas lockerer zusammengesetzt. Das ändert aber nichts daran, dass die Fassadenhöhe nicht nur - wie der Beschwerdeführer meint - bis zum Terrassenboden 1. OG zu berücksichtigen ist. Gegenteils ist die Oberkante des Geländers des Balkons im 2. OG in die Fassadenflucht einzubeziehen, was sich gestützt auf die Pläne und den erheblichen Ausbau des Hauses aufdrängt. An dieser Stelle ist darauf hinzuweisen, dass auch bei der Höhenmessung bei Bauten mit Attikageschossen die Brüstung bzw. das Geländer als sichtbarer Abschluss des Attikageschosses berücksichtigt wird. Es kann zur Illustration dieses Aspektes auf die Skizzen des Bau- und Verkehrsdepartementes zur Erläuterung des PBG und der PBV (S. 8) hingewiesen werden. Zwar handelt es sich vorliegend nicht um ein Attikageschoss, sondern um einen Balkon. Dieser bildet aber eine Nutzungseinheit zusammen mit dem geplanten Ausbau des Dachgeschosses (Projektierung von Dachgauben). Insofern ist diese Situation mit jener des in den Skizzen beschriebenen Attikageschosses optisch durchaus vergleichbar. Auch dieser Gesichtwinkel stützt den von der Vorinstanz ermittelten Messpunkt auf der Höhe OK Brüstung Balkon im 2. OG. Das Verwaltungsgericht sieht sich anderseits nicht veranlasst, die massgebliche Fassadenhöhe beim strittigen Projekt gar auf der Höhe OK Dachlukarne anzusetzen, wenngleich die bauliche Massnahme im Dachgeschoss aus der Sicht des Nachbargrundstückes in gewisser Weise als fassadenbildende Komponente wahrgenommen werden könnte.
dd) Wie erwähnt, verlangt der Beschwerdeführer die Ermittlung des zulässigen Grenzabstandes analog der Berechnungsweise bei "gestaffelten" Baukörpern. Er beruft sich auf § 139 Abs. 7 PBG, wonach bei gestaffelten Baukörpern die zulässige Gebäude-, Trauf- und Firsthöhe für jeden der versetzten Gebäudeteile separat berechnet wird. Diese Bestimmung kann jedoch auf den vorliegenden Fall nicht übertragen werden. Von der Systematik des Gesetzes her handelt es sich um eine Norm, welche die Berechnung der Gebäudehöhe regelt, die wiederum von der Zahl der zulässigen Vollgeschosse abhängt (§ 139 Abs. 1 PBG). Im vorliegenden Kontext geht es indes nicht um die Gebäudehöhe, sondern um den Grenzabstand, der, wie dargelegt, zur Fassadenhöhe in Bezug steht. Davon ist in § 139 Abs. 7 PBG nicht die Rede. Mit Blick auf die zitierte Rechtslage liefe selbst eine "analogieweise" Anwendung von § 139 Abs. 7 PBG bei der Bemessung des Grenzabstandes der Rechtssicherheit zuwider, was mit dem Zweck einer klaren Abstandsregelung nicht vereinbar ist (so: Amtsbericht des Obergerichts des Kantons Schaffhausen [ABSH] 2002, S. 129, zitiert in: BR 2003 S. 107). Die Gebäudehöhe ist nicht identisch mit der Fassadenhöhe und hat eine andere Funktion als letztere, die namentlich für die Bestimmung der baupolizeilichen Grenzabstände massgebend ist.
ee) Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, dass der Balkon ein abstandprivilegierter Bauteil sei und deshalb über einen Meter über den Grenzabstand vorspringen dürfe. Gemäss § 120 Abs. 3 PBG werden über die Fassade vorspringende Gebäudeteile wie Dachvorsprünge, Balkone, Veranden, Erker, Treppen usw. nur soweit mitberechnet, als ihre Ausladung 1.0 m übersteigt.
Von einer Auskragung im Sinne dieser Bestimmung könnte höchstens in Beziehung zum Dachgeschoss gesprochen werden. Gegenüber dem darunter liegenden Anbau ist der Balkon aber gerade nicht auskragend, sondern vielmehr zurückversetzt. Die gegenteilige Argumentation des Beschwerdeführers setzt voraus, dass für die Ermittlung der Fassadenhöhe von der bereits bestehenden Fassade ausgegangen würde. Indessen ist für die Beurteilung des Bauvorhabens und die Festlegung des gesetzlich vorgeschriebenen Grenzabstandes die neue, projektierte Fassade massgebend. Gegenüber dieser ist der Balkon eben nicht auskragend, sondern um 1 m zurückversetzt. Weil er gegenüber der Südfassade zurückversetzt ist, gilt er nicht als vorspringender Gebäudeteil im Sinne von § 120 Abs. 3 PBG. Somit kann auch unter dem Gesichtspunkt kein Abstandsprivileg gewährt werden.
In der Beschwerde liess der Beschwerdeführer vortragen, er habe an der Sitzung vom 6. August 2008 eine Verkürzung der Balkonlänge und eine stützenfreie Konstruktion vorgeschlagen. In der Stellungnahme vom 19. Dezember 2008 machte er geltend, er wäre trotz Rechtmässigkeit des Projektes bereit gewesen, den Balkon wesentlich zu reduzieren, um endlich die Bewilligung zu erlangen. Ob nun der Beschwerdeführer den Bedenken der Baubewilligungsbehörde in dem Punkt tatsächlich Rechnung getragen hat oder dies beabsichtigt, wird aus den Ausführungen nicht klar. Indessen kann dieser Sachverhalt offen gelassen werden, denn wie ausgeführt kann der Balkon als Bauteil bei der Berechnung der Fassadenhöhe nicht ausgelassen werden.
ff) Die Vorinstanz führt in der Vernehmlassung aus, der um lediglich 1 m zurückversetzte Balkon weise gegenüber der Oberkante des Geländers im 1. OG eine Höhe von 2.8 m auf. Damit dieser Balkon optisch nicht als Fassadenteil in Erscheinung treten würde, müsste dieser "deutlich" zurückversetzt werden. In dem Zusammenhang verweist die Vorinstanz auf die in Art. 33 Abs. 2 BZR verankerte "45°-Norm". Danach dürfte der Balkon eine Linie nicht überschreiten, die von der zulässigen Fassadenhöhe aus mit einem Winkel von 45°ansteige. Weil der Grenzabstand beim Südanbau hier 3.5 m messe, sei die zulässige Fassadenhöhe auf 7.0 m beschränkt. Die Vorinstanz rechnet in dem Zusammenhang mit einer zulässigen Höhenkote von 5.72 m (= Kote [4.72+ 1] m), hält aber fest, dass der Balkon mit einer Höhekote von 6.5 m über die 45° Linie rage. Dieser Betrachtung opponiert der Beschwerdeführer und hält die Norm, die die Vorinstanz aus dem Urteil V 03 276 vom 23. November 2004 ableitet, für nicht anwendbar.
Im Urteil V 03 276 vom 23. November 2004 hatte sich das Verwaltungsgericht mit der Frage zu befassen, ob und (allenfalls) inwieweit die Höhe eines zurückversetzten "Attikageschosses" in der Stadt Luzern bei der Bemessung der Fassadenhöhe (ab OK Brüstung des Geländers gemäss § 122 Abs. 4 Satz 2 PBG) zusätzlich angerechnet werden muss. Die zitierte Gerichtspraxis kommt indes nur zur Anwendung, falls ein projektiertes "Attikageschoss" optisch nicht als Teil der Fassade in Erscheinung tritt. Andernfalls ist auch das Attikageschoss Teil der Fassade. Das Verwaltungsgericht hat sich in jenem Urteil sodann mit der Frage befasst, wie weit ein Attikageschoss zurückzuversetzen ist, damit es nicht mehr zur Fassade hinzugerechnet werden muss. In diesem Kontext hat es dem Sinn nach auf die luzernische "Dachnorm" (Art. 33 Abs. 2 [Satz 2] BZR) verwiesen. Danach darf das Dach eine Linie nicht überschreiten, die von der zulässigen Fassadenhöhe aus mit einem Winkel von 45° ansteigt. Die Rückversetzung muss somit mindestens gleich gross sein, wie die über die zulässige Fassadenhöhe hinausragende Mehrhöhe.
Eine abschliessende Auseinandersetzung mit dem zur Diskussion gestellten Urteil V 03 276 vom 23. November 2004 kann in diesem Rechtsmittelverfahren unterbleiben, dies umso mehr als im vorliegenden Fall von vornherein kein "Attikageschoss" zur Diskussion steht, das über ein bestehendes Gebäude projektiert werden soll. Abgesehen davon müsste ein entsprechender Aufbau von der Fassade "deutlich" zurückversetzt sein. Davon kann im vorliegenden Fall indes nicht die Rede sein. Damit erübrigen sich weitere Überlegungen zur zitierten Praxis und der in diesem Kontext zur Anwendung gebrachten Dachnorm gemäss Art. 33 Abs. 2 BZR. Nach dem Gesagten steht als erstes Zwischenergebnis fest, dass das Bauvorhaben hinsichtlich des Südanbaus eine Fassadenhöhe von mehr als 7.0 m aufweist. Bei einem Grenzabstand von lediglich 3.5 m befindet sich dieser Anbau mithin in einem Unterabstand und könnte bloss bewilligt werden, falls sich der Beschwerdeführer auf eine gesetzliche Grundlage für die Erteilung einer Ausnahmebewilligung berufen könnte. Unter E. 8 wird darauf zurückzukommen sein.
5.- a) Die Vorinstanz lehnte das Baugesuch weiter mit der Begründung ab, auf der Nord- und Westseite unterschreite auch der zweigeschossige Anbau mit Dachterrasse den Grenzabstand gemäss § 122 PBG. Die Fassadenhöhe dieses Anbaus betrage nirgends mehr als 7.0 m, weshalb der minimale Grenzabstand von 3.5 m einzuhalten sei. Der Anbau weise aber zu den Grundstücken Nr. 3321 und 2496 einen Grenzabstand von nur 2.5 m auf. Gestützt auf § 120 Abs. 3 PBG werden über die Fassade vorspringende Gebäudeteile, wie Dachvorsprünge, Balkone, Veranden, Erker, Treppen usw. nur so weit mitberechnet, als ihre Ausladung 1 m übersteigt. Wenn der Beschwerdeführer sich auf die Bestimmung berufe, so verkenne er, dass die Ausladung von 1 m, welche nur 78 cm über dem gestalteten Terrain liege, eben als Anbau und nicht als vorspringender Gebäudeteil (als Erker) zu gelten habe (angefochtener Entscheid Ziff. 2).
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen diese Argumentation. Der Erker habe als geschlossener, überdachter, über ein oder mehrere Geschosse reichender Vorbau an der Fassade eines Hauses zu gelten. Begriffsnotwendig für die Bezeichnung als Erker sei die Auskragung. Damit steige der Erker nicht vom Boden auf, sondern werde von einer Tragekonstruktion in oder an einer Fassade selber getragen. Die Vorinstanz weist in der Vernehmlassung auf Art. 31 BZR hin, wonach Vorbauten wie Erker, welche in den gesetzlichen Grenz- oder Gebäudeabstand hineinragen, einen Drittel der Fassadenfläche nicht überschreiten dürfen. Der Anbau auf der Nordseite sei zwischen der bestehenden Gebäudefassade und dem minimalen Grenzabstand von 3.5 m abgestützt. Der Anbau krage erst dort aus, wo der minimale Grenzabstand unterschritten werde. Wenn der Beschwerdeführer für die Bemessung der Grösse des Erkers sich auf Art. 31 BZR stütze und den Erker mit einer Fläche von einem Drittel der gesamten Nordfassade, also der Nordfassade des bestehenden Wohnhauses und des Anbaus, projektiere, müsste dieser Anbau (um ein Erker zu sein) bereits von der bestehenden Nordfassade frei auskragen.
b) Der minimale Grenzabstand beträgt 3,5 m (§ 122 Abs. 3 PBG). Der Anbau auf der Nordwestseite des Anbaus sieht eine Fassadenhöhe vor, die nicht über 7 m reicht, weshalb der Mindestabstand zum Zuge kommt. Geht man vom äussersten Fassadenteil des Anbaus aus, so resultiert ein Grenzabstand zu den Parzellen Nrn. 2496 und 3321 von bloss 2.5 m. Der Beschwerdeführer macht geltend, bei dem Anbau handle es sich rechtlich um einen vorspringenden Gebäudeteil, einen Erker. Als über die Fassade vorspringender Gebäudeteil werde dieser für die Berechnung des Grenzabstandes nur soweit berücksichtigt, als ihre Ausladung 1 m übersteige (vgl. § 120 Abs. 3 PBG). Es ist somit zu prüfen, ob der geplante Vorbau unter den Begriff der vorspringenden Gebäudeteile im Sinne von § 120 Abs. 3 PBG fällt oder nicht. Je nachdem wird der Mindestabstand zu den Grenzparzellen verletzt oder nicht.
c/aa) Das PBG definiert die Bezeichnung "Erker" in § 120 Abs. 3 nicht positiv, sondern nur insoweit, als er einen über die Fassade vorspringenden Gebäudeteil darstellt. Immerhin kann es sich beim Erker bezogen auf das ganze Gebäude nicht um die wesentlichen Teile handeln, was sich aus der nicht abschliessenden Aufzählung gleich zu behandelnder Elemente ergibt (Dachvorsprünge, Balkone, Veranden). Auch die Planungs- und Bauverordnung enthält keine gesetzliche Definition des Erkers. Nach allgemeinen Vorstellungen und Bestimmungen in der Fachliteratur wird unter einem Erker ein ein- oder mehrgeschossiger, geschlossener oder überdeckter Anbau an der Fassade oder einer Ecke des Gebäudes verstanden, der nicht vom Erdboden aufsteigt, sondern durch Auskragungen oder Konsolen getragen wird (vgl. Gerichts- und Verwaltungspraxis des Kantons Zug [ZGGVP], 1991/92 S. 339 f.; Fritzsche/Bösch, a.a.O., 12-46 und 12-47; Koepf/Binding, a.a.O., S. 154 f.). Der Beschwerdeführer gibt selber in etwa die gleiche Definition und auch die Vorinstanz schliesst sich im Wesentlichen dieser Auffassung an.
bb) Die vom Beschwerdeführer geplante Erweiterung seiner Liegenschaft auf der nordwestlichen Seite kann nicht als vorspringender Erker qualifiziert werden. Wesentlich ist auch hier eine Gesamtbetrachtung. Bei den Gebäudeteilen, die in den Grenzabstand hineinragen dürfen, handelt es sich - auf die räumliche Erscheinung bezogen - um aus der Fassade vorgelagerte Teile (das Gesetz spricht von vorspringenden Teilen). Springt oder ragt die Fassade selber vor, so muss der gesetzliche Grenzabstand eingehalten werden. Mit anderen Worten hat der Erker oder ein anderer vorspringender Bauteil (z.B. Balkon) eine bautechnisch untergeordnete Funktion. Ein auskragender Bauteil erweitert den hinter ihm liegenden Raum, indem er z.B. diesem mehr Licht zuführt. Oder aber er dient der Gliederung aus ästhetischen Gründen, indem eine Fassade in einer bestimmten Weise gestaltet oder "belebt" werden soll. Wo aber der umstrittene Teil selber als Fassade in Erscheinung tritt, besteht kein Raum für eine Privilegierung (vgl. eine ähnliche Entscheidung des Staatsrates des Kantons Wallis in: ZWR 2004 S. 37 ff. mit Hinweisen auf die Rechtsprechung).
cc) Dies wird besonders deutlich, wo ein vom Boden aufragender "Fassadenvorsprung" projektiert wird. Ein bis zum gestalteten Terrain reichender Fassadenvorsprung im Sinne einer Wohnraumerweiterung kann naturgemäss aber nicht als abstandsprivilegierter Erker betrachtet werden. Zwar soll im vorliegenden Fall der Anbau bzw. der Erker um 78 cm vom Terrain abgehoben werden; dieser Umstand allein vermag aber den Erkercharakter nicht zu begründen. Im vorliegenden Fall ist entscheidend, dass der Anbau auf der Nordseite über das projektierte Untergeschoss errichtet werden soll bzw. auf diesem ruht. Der Anbau kragt dort aus, wo der minimale Grenzabstand unterschritten wird. Aus den Grundrissplänen (Ansichten EG und 1. OG) ist ersichtlich, dass der Anbau der Erweiterung von bestehendem Wohnraum dient, beabsichtigt der Beschwerdeführer diesbezüglich doch die zusätzliche Wohnfläche von mehr als 30 m2. Auch mit Blick auf diese Wohnnutzungserweiterung ist es fragwürdig, den Anbau bloss als vorspringenden Gebäudeteil einzuordnen. Die in § 120 Abs. 3 PBG aufgezählten Vorsprünge unterstellen einen bloss punktuellen, zeitlich eher kurzfristigen bis vorübergehenden Aufenthalt von Personen, während der projektierte Anbau der dauernden Wohnnutzung dienen soll. Daran ändert nichts, dass selbstredend jede Erweiterung einer Baute - mit Ausnahme einer solchen aus Sicherheitsgründen oder aus rein ästhetischen Erwägungen - dem Gebrauch und Nutzung von neuen Räumen dient. Insofern ist dem Beschwerdeführer nicht vorzuwerfen, wenn er alle, seiner Ansicht nach auch zulässigen baurechtlichen Möglichkeiten ausschöpft. Unter diesem Gesichtspunkt ist auch der Vorwurf zu relativieren, der Beschwerdeführer habe die Planung des nördlichen Anbaus in bewusster Umgehung der Grenzabstände angelegt. Das ist aber nicht entscheidend, vielmehr ist der Umstand zu werten, dass der Beschwerdeführer für seinen geplanten Anbau hinsichtlich der Nutzungskonzeption und der Nutzungsintensität die Privilegierung nach § 120 Abs. 3 PBG nicht beanspruchen kann. Angesichts dieser Umstände kann offen bleiben, ob die Rechtsprechung des Zürcher Verwaltungsgerichts, das einen Abstand von 1 m zwischen Erkerunterkante und massgebendem Terrain als genügend erachtet hatte, für die Auslegung des PBG übernommen werden könnte. Für die Beantwortung dieser Frage besteht angesichts der konkreten Umstände kein Anlass.
dd) Der strittige Teil präsentiert sich auch von seinen Dimensionen her im Verhältnis zum bestehenden Gebäude nicht als Vorbau, sondern als Anbau, d.h. er wird optisch nicht als vorspringender Gebäudeteil wahrgenommen. Damit der Zweck der Abstandsvorschriften nicht unterlaufen wird, ist eine restriktive Auslegung der von der Abstandsprivilegierung erfassten Gebäudeteile geboten. Die Grenz- und Gebäudeabstände bilden ein Kernstück des Baupolizeirechts. Sie sollen nebst der Sicherheit vor allem der Wohnqualität dienen. Nach Massgabe der kantonalen und kommunalen Bestimmungen soll ein Mindestmass an Lichteinfall und ein gewisser Schutz der Privatsphäre garantiert werden; ausserdem haben diese Normen auch eine feuerpolizeiliche Funktion. Es kann, um Wiederholungen zu vermeiden, auf Gesagtes verwiesen werden (E. 4b/aa).
ee) Gemäss Art. 31 BZR dürfen von den Vorbauten nur Balkone auf den Boden abgestützt werden. Auch in der Hinsicht kann der strittige Anbau nicht als vorspringender Gebäudeteil qualifiziert werden, wird er doch auf einen im Untergeschoss weiterführenden Sockel abgestützt. Ferner bringt die Vorinstanz vor, dass ein Erker einen Drittel der Fassadenfläche nicht überschreiten darf, wenn er in den gesetzlichen Grenz- oder Gebäudeabstand hineinragt (Art. 31 BZR). Dieser Bestimmung werde der geplante Vorbau nicht gerecht. Welches die massgebende Fassadenfläche ist bzw. welche Fassadenteile zu berücksichtigen sind (Nordfassade des bestehenden Hauses und/oder des Anbaus) ist zwischen der Bewilligungsbehörde und dem Beschwerdeführer umstritten. Diese Frage kann jedoch im vorliegenden Fall offen gelassen werden. Wie sich aus den vorherigen Erwägungen ergibt, kann die projektierte Erweiterung des Hauses auf der Nordwest-Seite insgesamt eben nicht als Vorbau bzw. Erker qualifiziert werden.
6.- a) Die Vorinstanz hat das Baugesuch ferner abgelehnt, weil die projektierten Dachaufbauten auf der Südseite zusammen mit der bestehenden Gaube die zulässige Länge für Dachaufbauten überschreiten würden. Im Recht beruft sich die Vorinstanz in dieser Hinsicht auf Art. 33 Abs. 3 [Satz 2] BZR. Danach dürfe die Länge solcher Dachaufbauten zusammen mit allfälligen Dacheinschnitten nicht mehr als 2/5 der Dachlänge auf Bodenhöhe des betreffenden Dachgeschosses betragen. Dass gemäss Bebauungsplan B 128 drei Vollgeschosse erlaubt seien, ändere daran nichts, weil die Dachfläche durch die Länge der Gauben stark gestört werde. Demgegenüber macht der Beschwerdeführer geltend, es handle sich um ein rein ästhetisches Argument. Art. 33 BZR, auf den sich die Baubewilligungsbehörde berufe, finde keine Anwendung, weil nach dem Ausbau das Dach nicht mehr als Schrägdach gelte und deshalb auch keine besonderen Längenmasse für die Dachaufbauten zu beachten seien.
b) Fest steht, dass gemäss Bebauungsplan B 128 Bruch/Obergütsch drei Vollgeschosse realisiert werden dürfen. Das Grundstück des Beschwerdeführers liegt nicht in einer bestimmten Schutzzone. Gemäss den Ausführungen des Beschwerdeführers befindet sich seine Parzelle in einem Gebiet, das von einer heterogenen Dachlandschaft mit den verschiedensten Dachformen geprägt ist, was seitens der Vorinstanz unbestritten geblieben ist. Die Vorinstanz beruft sich auf Art. 33 BZR, der die Überschrift "Dachgeschoss bei Schrägdachbauten, Dachnorm" trägt. Art. 33 steht im Abschnitt IV mit dem Titel "Vollgeschoss, Gebäude und Firsthöhe". Gemäss Abs. 1 sind Schrägdachbauten Bauten, die in den Dachgeschossen auf mindestens zwei gegenüberliegenden Seiten über der Schnittlinie Dach/Fassade Schrägdächer aufweisen. Die Zulässigkeit von Aufbauten und Einschnitten regelt Abs. 3. Danach darf die Länge solcher Aufbauten u.a. zusammen mit allfälligen Dacheinschnitten nicht mehr als 2/5 der Dachlänge auf Bodenhöhe des betreffenden Dachgeschosses betragen.
c) Nach Darlegung der Vorinstanz weist das umstrittene Projekt ein Untergeschoss auf und zudem drei Vollgeschosse, weil die nutzbare Fläche des Dachgeschosses mehr als zwei Drittel der Grundfläche des darunterliegenden Vollgeschosses beträgt (vgl. § 138 Abs. 1 und 2 PBG). In der Beschwerde wird argumentiert, dass sich Art. 33 BZR auf §§ 138 und 139 PBG beziehe. Diese Gesetzesbestimmungen definierten das Vollgeschoss und die Vorschriften für die Nutzfläche von Dach- und Attikageschossen. Für das Dachgeschoss könne anstelle von Flächenbeschränkungen die Kniestockhöhe und die Dachneigung vorgeschrieben werden (vgl. § 138 Abs. 3 PBG). Mit diesen Massnahmen und der Beschränkung der Lukarnenlänge sei der Flächenbeschränkung gegenüber einem Vollgeschoss Genüge getan. Art. 33 BZR sei folglich eine Nutzungsregelung für das Dachgeschoss, nicht aber für ein Vollgeschoss. Ausserdem zähle ein Dachgeschoss, das die für ein Schrägdach zulässigen Dachebenen durchbreche, als Vollgeschoss. Somit gelange Art. 33 BZR bloss bei Schrägdachbauten zur Anwendung, nicht jedoch bei einem Vollgeschoss mit einem Schrägdachbau.
d) Die Auffassung des Beschwerdeführers läuft darauf hinaus, die Frage der Bewilligung der Dachaufbaute allein vor dem Hintergrund der Zulässigkeit des (dritten) Vollgeschosses zu betrachten. Die Vorschriften über die Zulässigkeit und das Mass von Dachaufbauten (Dachgaube) bei Vorliegen einer Schrägdachbaute sind ästhetischer Natur und sollen eine bestimmte architektonische Qualität sicherstellen. So verlangt denn auch Art. 33 Abs. 1 BZR ausdrücklich, dass Dachaufbauten architektonisch qualitätsvoll zu gestalten sind. Demgegenüber dienen § 138 und § 139 PBG der Bestimmung der Gebäudehöhe; die Definition und die Berechnungsweise von Vollgeschossen legen den Baukörper in seinem Ausmass insgesamt fest, ohne aber die ästhetischen Belange zu regeln. Obschon im vorliegenden Fall der geplante Ausbau des Dachgeschosses dazu führt, dass dieser als zulässiges Vollgeschoss im Rechtssinne gilt (§ 138 Abs. 2 PBG), darf deshalb die bestehende Schrägdachbaute und ihre Erweiterung nicht einfach unberücksichtigt bleiben. Insofern regelt Art. 33 BZR die Art des Abschlusses des Baukörpers und verlangt die Wahrung einer bestimmten Dachform. Im vorliegenden Fall ist aus den Plänen ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht bestritten, dass die "2/5-Regel" gemäss Art. 33 Abs. 3 BZR nicht erfüllt wird. Unter dem Gesichtspunkt ist die Rechtsauffassung der Vorinstanz nicht zu beanstanden, wenn sie auf der Durchsetzung der Vorschriften gemäss Art. 33 BZR beharrt.
e) Sowohl die Vorinstanz als auch der Beschwerdeführer gehen übereinstimmend davon aus, dass der projektierte Ausbau des Dachgeschosses mit Blick auf § 138 Abs. 2 PBG als "Vollgeschoss" zu gelten hat. Unabhängig davon, ob das oberste Geschoss des streitbezogenen Gebäudes nach Massgabe der Rechtslage als Vollgeschoss gilt oder nicht, qualifiziert es sich als Dachgeschoss einer Schrägdachbaute. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers gelangt Art. 33 BZR nicht zuletzt auch in Bezug auf die Lukarnenverlängerung zur Anwendung. Das oberste Geschoss des streitbezogenen Gebäudes kann mit andern Worten sowohl Vollgeschoss als auch Dachgeschoss (oder Attikageschoss) sein, denn das eine schliesst das andere nicht aus, wie der Beschwerdeführer anzunehmen scheint.
f) Der Beschwerdeführer wirft dem Stadtrat im Zusammenhang mit der Anwendung von Art. 33 BZR Willkür vor. Er nennt verschiedene Liegenschaften in der Stadt Luzern, wo nach seiner Darlegung von den reglementarischen Vorschriften abgewichen und dem jeweiligen Bauherren grosszügige Dachgestaltungen bzw. Dachgeschossausbauten bewilligt worden seien. Wie es sich im Einzelnen damit verhält, braucht nicht geklärt zu werden. Sofern der Stadtrat als Baubewilligungsbehörde tatsächlich verschiedentlich von Art. 33 BZR abgewichen ist, kann der Beschwerdeführer hieraus nichts zu seinen Gunsten ableiten. Einerseits sind Liegenschaften in anderen Quartieren und Bauzonen nicht direkt auf die örtlichen Verhältnisse übertragbar, in denen sich die Parzelle des Beschwerdeführers befindet. Auf der anderen Seite verleiht der Umstand, dass eine Behörde von den gesetzlichen Vorschriften abweichende Entscheidungen trifft, keinen Anspruch auf gleichermassen ungesetzliche Behandlung. Dies wäre nur dann der Fall, wenn seit Jahren eine bewusst gesetzwidrige Praxis geübt worden wäre (vgl. Häfelin/Müller/Uhlmann, a.a.O., N 518 mit Hinweisen; Urteil V 08 254 vom 11.5.2008, E. 6b). Dafür bestehen aber keine Anhaltspunkte, auch wenn der Beschwerdeführer - wie erwähnt - einige Beispiele aufführt und diese auch mit Fotos dokumentiert. Im Übrigen legt die Vorinstanz glaubhaft dar, dass beispielsweise das Bauprojekt am Grendel 10 (ehemals Haus Franz Carl Weber) aus einer architektonisch-städtebaulichen Analyse und Projektentwicklung resultierte und auch anderswo aus besonderen Gründen im Einzelfall Abweichungen bewilligt wurden.
7.- a) Nach dem Gesagten lässt sich Folgendes festhalten: Der projektierte Anbau auf der Südseite verletzt den gesetzlichen Grenzabstand (E. 4); der gesetzliche Grenzabstand wird durch den Anbau auf der Nord- und Westseite ebenfalls unterschritten (E. 5); und schliesslich ist der Ausbau des Dachgeschosses (Dachaufbauten) im projektierten Umfang nicht zulässig (E. 6). Daraus folgt, dass das Projekt des Beschwerdeführers insgesamt gegen baupolizeiliche Vorschriften verstösst und als solches nicht genehmigt werden kann.
b) Bei dieser Sachlage braucht die Frage der Eingliederung nicht eigens geprüft und entschieden zu werden, denn diese setzt ein im Hinblick auf die übrigen baurechtlichen Vorschriften einwandfreies Projekt voraus. Immerhin ist festzustellen, dass bei der Beurteilung der Eingliederung nicht auf ein subjektives ästhetisches Empfinden abgestellt werden kann, sondern es sind möglichst objektive Kriterien anzuwenden (vgl. LGVE 1998 II Nr. 14 Erw. 4b; Urteil V 06 210 vom 27.6.2007 E. 2b mit Hinweisen). Eine Beeinträchtigung setzt einen Gegensatz voraus, der so erheblich ist, dass ein Eingriff in die Eigentumsgarantie gerechtfertigt erscheint. Die Schutzbereiche der Ästhetikvorschriften einerseits und der allgemeinen Bauvorschriften andererseits decken sich nicht zwingend. Ästhetikvorschriften haben durchaus eigenständige Bedeutung und gewähren damit einen über die übrigen Bestimmungen der Grundordnung hinausgehenden Schutz (vgl. BG-Urteil 1P.709/2004 vom 15.4.2005, E. 2.3 f., in: ZBl 2006 S. 424). Allerdings müssen sie im Kontext der gesamten Rechtsordnung und im Besonderen unter Beachtung der Vorschriften des Baurechts und der Raumplanung angewendet werden. Die ästhetische Wirkung ist von typisch lokalem Interesse. Der kommunalen Baubehörde steht deshalb bei der Anwendung der Ästhetikklausel von § 140 PBG ein besonderer Beurteilungsspielraum zu, der im Rechtsmittelverfahren zu beachten ist. Ist die ästhetische Beurteilung der Baubehörde nachvollziehbar und beruht sie auf einer vertretbaren Würdigung der massgebenden Sachumstände, so ist diese zu respektieren (vgl. Urteil 1P.678/2004 vom 21.6.2005, in: ZBl 2006 S. 430 ff.; vgl. E. 1d hiervor).
8.- Wie erwähnt, kann das Baugesuch aus den genannten Gründen nicht bewilligt werden. Gemäss § 133 Abs. 1 PBG können allerdings von den Grenzabstandvorschriften Ausnahmen gestattet werden. Die Vorinstanz erwog in der angefochtenen Verfügung, es seien keine ausserordentlichen Verhältnisse erkennbar, die eine Ausnahme vom ordentlichen Grenzabstand rechtfertigen würden. Damit hat sie - wenn auch nur knapp - die Frage geprüft, ob über das Institut der Ausnahmebewilligung das zur Genehmigung vorgelegte Projekt "gerettet" werden könnte. Der Beschwerdeführer, der sein Projekt für gesetzlich zulässig hält, machte in seinen Rechtsschriften keine Ausführungen zur Frage der Erteilung einer Ausnahmebewilligung.
Im vorliegenden Fall käme als gesetzlicher Tatbestand für eine Ausnahmebewilligung nur § 133 Abs. 1 lit. k PBG in Frage, was einen ausserordentlichen Fall voraussetzt. Es müssen durch alle wesentlichen Interessen der Bauherrschaft begründete ausserordentliche Verhältnisse vorliegen, die sich auf Zweck, Umfang oder Gestaltung des Bauvorhabens beziehen und in den geltenden Vorschriften nicht hinreichend Berücksichtigung finden. Sie müssen mit den Besonderheiten des Baugrundstücks oder des Bauvorhabens zusammenhängen (LGVE 2006 II Nr. 6 E. 2 f.). Solche Verhältnisse sind nicht erkennbar und werden - wie erwähnt - auch nicht geltend gemacht. Verhält es sich so, kann auch eine Interessenabwägung nach § 133 Abs. 2 PBG unterbleiben. Immerhin ist zu bemerken, dass die gesetzlichen Grenzabstandvorschriften zum Kernbestand des öffentlich-rechtlichen Baupolizeirechts gehören und blosse Zweckmässigkeits- oder Nützlichkeitsüberlegungen ein Abweichen von diesen Vorschriften nicht rechtfertigen. Es kann daher auch nicht allein entscheidend sein, dass gegen das Bauvorhaben keine Einsprachen seitens der Nachbarn erhoben wurden.
9.- Der Beschwerdeführer erhebt in seinen Eingaben vom 19. Dezember 2008 und vom 2. Februar 2009 verschiedene Rügen hinsichtlich der Behandlung seines Gesuchs. Er sieht den Grundsatz von Treu und Glauben verletzt, weil die Vorinstanz im Beschwerdeverfahren rechtliche Überlegungen formuliert habe, die ihm im Bewilligungsverfahren nicht mitgeteilt worden seien.
a) Mit Schreiben vom 10. Juni 2008 war dem Beschwerdeführer eröffnet worden, dass das Projekt so nicht bewilligt werden könne. In diesem Schreiben sind die wesentlichen Gründe angeführt (Unterschreitung der gesetzlichen Grenzabstände hinsichtlich Anbau Südseite und Anbau Nord-/Westseite; Anwendung von Art. 33 BZR/ Überschreibung der Länge für Dachaufbauten). Auch anlässlich der Besprechung am 6. August 2008 sind die wesentlichen Standpunkte zwischen den Beteiligten zur Diskussion gestanden. Es kann somit keine Rede davon sein, dass dem Beschwerdeführer entscheidende Argumente vorenthalten wurden oder die Vorinstanz die Baubewilligung aus ganz anderen Gründen verweigerte. Daran ändert nichts, dass sich die Vorinstanz im Beschwerdeverfahren auf ein Verwaltungsgerichtsurteil und eine dort angewendete 45° Norm berufen hat. Auch die Frage der Fassadenberechnung in Bezug auf den nord-westlichen Anbau ("Erker") ist nicht entscheidend, wie sich aus den vorigen Erwägungen ergibt (E. 5c/ee). Mit den weiteren Ausführungen bekräftigt der Beschwerdeführer seinen Standpunkt und begründet seine von der Vorinstanz abweichende Beurteilung des Projektes. Soweit er dem Stadtrat bzw. dem Stadtplanungsamt vorwirft, sie seien auf seine Überlegungen nicht eingegangen oder seien ihm eine plausible Begründung für die Ablehnung des Baugesuchs schuldig geblieben, trifft dies den Sachverhalt in keiner Weise. Die Vorinstanz ist ihrer Begründungspflicht im angefochtenen Entscheid nachgekommen, was schon die ausführliche und argumentativ untermauerte Beschwerde beweist. In dem Zusammenhang der Vorinstanz Willkür, bewusste Irreführung und falsche Auskünfte vorzuwerfen, geht an der Sache vorbei.
b) Der Beschwerdeführer rügt weiter, dass ihm die Baubewilligungsbehörde die Qualifikation als Planverfasser und Gesuchsteller abgesprochen habe. Dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer empfahl, einen ausgewiesenen Architekten beizuziehen, kann nicht als persönliche oder berufliche Herabminderung angesehen werden. Wie der Stadtrat mit Recht bemerkt, regelt § 63 PBV die fachlichen Anforderungen, die an einen Planverfasser gestellt werden. Dass ein von einer qualifizierten Fachperson (vgl. § 188 Abs. 3 PBG) eingereichtes Baugesuch deshalb ohne weiteres bewilligungsfähig wäre oder per se eine höhere rechtliche Qualität hätte, ist selbstredend nicht der Fall. Schliesslich behauptet der Beschwerdeführer Gesprächsverweigerung und bringt vor, er wäre bereit gewesen, das Projekt durch einen Architekten beurteilen zu lassen. Auch dieser Vorwurf geht fehl. Aus der umfangreichen Korrespondenz ergibt sich, dass der Beschwerdeführer in Bezug auf die Eingliederung (§ 140 PBG) eine fachliche Beurteilung durch einen Architekten angeboten hatte. Aus dem offenbar vom Beschwerdeführer selbst verfassten Protokoll über das Gespräch vom 6. August 2008 geht hervor, dass er entschieden die Auffassung vertrat, sein Projekt halte sämtliche Bauvorschriften ein und eine Verweigerung der Bewilligung sei nur aufgrund von § 140 PBG möglich. Dass bei dieser Sachlage auf eine gutachterliche Würdigung der Eingliederungsfrage durch einen Architekten verzichtet werden konnte, braucht nicht weiter erörtert zu werden. Im Übrigen ist es der Beschwerdeführer, welcher der Vorinstanz Fristen setzte und schliesslich die umgehende Zustellung eines beschwerdefähigen Entscheids verlangte.
10.- a) Nach dem Gesagten erweist sich die Verweigerung der Baubewilligung als rechtens und die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist als unbegründet abzuweisen.