Sachverhalt:
A.- Am 30. September 2009 reichte A bei der Stadt Luzern ein Baugesuch um Erweiterung ihrer Räumlichkeiten ein. Das eingereichte Projekt sah vor, das bestehende Wohnhaus auf Grundstück Nr. x, GB Luzern (Wohnhaus), mit derzeit 99 Wohnungen um ein Geschoss bzw. 22 Wohneinheiten zu reduzieren und gleichzeitig um zwei weitere Geschosse für die Schule, mit vier neuen Klassenzimmern und Mehrzwecksaal, auf eine Fassadenhöhe von 20 Metern aufzustocken. Im Weiteren ist auf diesem Grundstück der Anbau eines neuen Treppenhauses mit Lift auf der Nordseite sowie die Erstellung eines neuen Verbindungskorridors auf Geschoss A bzw. 5. Obergeschoss (recte: 7. Obergeschoss) zum bestehenden Schultrakt vorgesehen. Eigentümerin dieses Grundstückes ist A.
Auf Grundstück Nr. y, GB Luzern (Schule), sollen innere bauliche Veränderungen (Geschoss A), die Erweiterung von Schulküche, Speisesaal und Gruppenräumen (Geschoss C) sowie die Erweiterung der Büroräume (Geschoss D) vorgenommen werden. Eigentümerin dieses Grundstücks ist B.
B.- Das Baugesuch lag vom 9. bis 28. Oktober 2009 öffentlich zur Einsicht auf. Gegen den projektierten Erweiterungsbau reichte u.a. D Einsprache ein und hielt auch nach erfolgten Planänderungen daran fest.
Am 14. Juli 2010 wies der Stadtrat die öffentlich-rechtliche Einsprache ab und erteilte A die Baubewilligung für den Erweiterungsbau unter verschiedenen Bedingungen und Auflagen. Gleichzeitig mit der Baubewilligung wurden A auch diverse Sonderbewilligungen eröffnet.
C.- Gegen die Baubewilligung reichte D am 6. August 2010 Verwaltungsgerichtsbeschwerde ein. Sie beantragte die Aufhebung des Stadtratsbeschlusses und die Abweisung des Baugesuchs der A, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Mit Vernehmlassung vom 27. September 2010 stellte der gemeinsame Rechtsvertreter von A, E und B folgende Anträge: Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei abzuweisen, sofern darauf überhaupt einzutreten sei; soweit erforderlich, sei eine Ausnahmebewilligung zur Unterschreitung der ordentlichen Grenz- und Gebäudeabstände zwischen den Grundstücken Nrn. x und y, beide GB Luzern, zu erteilen.
Der Stadtrat beantragte mit Eingabe vom 21. Oktober 2010, dass das Verwaltungsgerichtsverfahren zu sistieren sei, bis die notwendigen öffentlich beurkundeten Dienstbarkeiten vorliegen würden und die Erteilung der notwendigen Ausnahmebewilligungen durch den Stadtrat geprüft worden seien; im Übrigen sei die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
D.- Mit Schreiben vom 12. November 2010 reichte der Rechtsvertreter der A dem Verwaltungsgericht einen öffentlich beurkundeten Dienstbarkeitsvertrag ein, mit welchem zwischen den beteiligten Grundstückseigentümerinnen (Beschwerdegegnerinnen A, B und E) eine Unterschreitung der Grenz- und Gebäudeabstände betreffend die Grundstücke Nrn. x und y, GB Luzern, vereinbart wurde. Eine Kopie dieses Schreibens mit Beilage des Dienstbarkeitsvertrags stellte der Rechtsvertreter auch der Bauabteilung der Stadt Luzern zu. Eine Kopie des Schreibens ging ebenfalls an den Gegenanwalt.
Die Instruktionsrichterin gab dem Stadtrat mit Schreiben vom 17. November 2010 Gelegenheit, gestützt auf den neu eingereichten Dienstbarkeitsvertrag die entsprechenden Ausnahmebewilligungen zu prüfen. Damit wurde der Antrag des Stadtrates auf Sistierung des Verfahrens diesbezüglich obsolet. Gleichentags orientierte sie auch den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin und wies diesen darauf hin, dass nach Vorliegen des Entscheids des Stadtrats betreffend Ausnahmebewilligung eine neue Frist zur Replik angesetzt werde.
E.- Mit Beschluss vom 15. Dezember 2010 erteilte der Stadtrat A die Bewilligung für die Unterschreitung der gesetzlichen Grenz- und Gebäudeabstandsvorschriften zwischen den Grundstücken Nrn. x und y, GB Luzern, und ergänzte damit die bereits erteilte Baubewilligung vom 14. Juli 2010. Dieser Entscheid wurde den Parteien durch das Verwaltungsgericht zugestellt.
Gleichzeitig setzte die Instruktionsrichterin der Beschwerdeführerin eine 20-tägige Frist zur Einreichung einer Replik.
F.- Mit Replik liess D die Aufhebung der Bewilligungsentscheide vom 14. September und vom 15. Dezember 2010 des Stadtrates Luzern sowie die Abweisung des Baugesuches beantragen.
In der jeweiligen Duplik bekräftigten A, B und E sowie auch der Stadtrat ihre Anträge auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.
G.- Mit Schreiben vom 1. Juli 2011 ersuchte das Verwaltungsgericht bei der Stadt Luzern um Zustellung weiterer Unterlagen, welche am 12. Juli 2011 eingereicht wurden. Am 27. Juli 2011 beantragte D eine Frist, um zu den neuen Behauptungen Stellung nehmen zu können. Die Stellungnahme ist am 18. August 2011 beim Verwaltungsgericht eingegangen und wurde den Beschwerdegegnerinnen gleichentags zur Kenntnisnahme zugestellt.
Erwägungen:
1.- a) Die angefochtenen Entscheide vom 14. Juli und 15. Dezember 2010 stützen sich auf das kantonale Planungs- und Baugesetz vom 7. März 1989 (PBG; SRL Nr. 735). Gemäss § 148 lit. d des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 (VRG; SRL Nr. 40) in Verbindung mit § 206 PBG unterliegen sie unmittelbar der Anfechtbarkeit durch Verwaltungsgerichtsbeschwerde.
b/aa) Ein Sachentscheid setzt laut § 107 Abs. 2 lit. d VRG die Befugnis zur Rechtsvorkehr ("Beschwerdebefugnis") voraus. Gemäss der hier massgeblichen Spezialvorschrift von § 207 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 lit. a PBG sind zur Erhebung von Beschwerden diejenigen Personen befugt, die an der Abweisung eines Gesuchs oder an der Änderung oder Aufhebung eines angefochtenen Entscheids ein schutzwürdiges Interesse und sich an einem allfälligen Einspracheverfahren als Partei beteiligt haben. Nach Art. 33 Abs. 3 lit. a des Bundesgesetzes über die Raumplanung vom 22. Juni 1979 (RPG; SR 700) gewährleistet das kantonale Recht gegen Verfügungen betreffend die Raumplanung die Legitimation mindestens im gleichen Umfang wie für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist, muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können (Art. 111 Abs. 1 des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17.6.2005 [BGG]). Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts dürfen die kantonalen Behörden die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen, als dies für die Beschwerde an das Bundesgericht vorgesehen ist (vgl. bereits BGE 112 Ib 173 E. 5a; BG-Urteil 1C_296/2010 vom 25.1.2011, E. 2.2.1).
bb) Ein schutzwürdiges Interesse hat, wer in beachtenswerter, naher Beziehung zur Streitsache steht und daher an der Abweisung einer Rechtsvorkehr mehr als irgendjemand oder die Allgemeinheit interessiert ist oder wer in höherem Masse als jedermann, besonders und unmittelbar berührt wird. Als schutzwürdig gelten nebst den rechtlich geschützten auch die wirtschaftlichen, ideellen und sogar die rein tatsächlichen Interessen. Massgebend ist stets, ob eine Rüge die Gutheissung der Beschwerdeanträge zur Folge hat und die Beschwerde führende Partei dadurch einen (rechtlichen oder faktischen) Vorteil erlangen kann, d.h. ein aktuelles und praktisches Interesse an der Beschwerdeführung hat (LGVE 2007 II Nr. 6 E. 2a). Ein schutzwürdiges Interesse ist zu bejahen, wenn die prozessführende Partei eine tatsächliche Beeinträchtigung von sich abwenden oder einen praktischen Nutzen und Erfolg erreichen will (statt vieler: LGVE 1999 II Nr. 24 E. 3a und 2000 II Nr. 19 E. 4a, je mit Hinweisen).
cc) Bei Bauprojekten muss die besondere Beziehungsnähe vorab in räumlicher Hinsicht gegeben sein. Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (BGE 137 II 30 E. 2.2.2, 133 II 356 E. 3, 125 II 15 f. E. 3a). Die räumliche Distanz ist ein Kriterium für die Beurteilung der Beschwerdebefugnis, wobei es nicht auf abstrakt bestimmte Distanzwerte ankommt. Vielmehr müssen aufgrund des konkreten Sachverhalts das besondere Berührtsein und das schutzwürdige Interesse glaubhaft erscheinen, ansonsten jedermann, der eine unzutreffende Behauptung aufstellt, die Beschwerdeberechtigung zustünde. Das Beschwerderecht wird aber in der Regel anerkannt, wenn die Liegenschaft des Nachbarn unmittelbar an das Baugrundstück angrenzt oder allenfalls nur durch einen Verkehrsträger davon getrennt ist. Daneben wird eine besondere Betroffenheit vor allem in Fällen bejaht, in welchen von einer Anlage mit Sicherheit oder grosser Wahrscheinlichkeit Immissionen auf Nachbargrundstücke ausgehen oder die Anlage einen besonderen Gefahrenherd darstellt und die Anwohner einem besonderen Risiko ausgesetzt werden (zum Ganzen: BG-Urteil 1C_500/2009 vom 1.2.2010, E. 2.3 mit zahlreichen Hinweisen). Als schutzwürdige Interessen gelten sowohl die rechtlich geschützten als auch die wirtschaftlichen, ideellen und sogar die rein tatsächlichen Interessen (BGE 123 II 378, 121 II 177 E. 2a). Ist bei einem Dritten (z.B. Nachbar) ein unmittelbares Berührtsein, seine spezifische Beziehungsnähe gegeben, so hat der Beschwerdeführer ein ausreichendes Rechtsschutzinteresse daran, dass der angefochtene Entscheid aufgehoben oder geändert wird. Dieses Interesse besteht im praktischen Nutzen, den die erfolgreiche Beschwerde für den Beschwerdeführer eintragen würde, das heisst in der Abwendung eines materiellen oder ideellen Nachteils, den der angefochtene Entscheid für ihn zur Folge hätte (Aemisegger/Haag, Praxiskommentar zum Rechtsschutz in der Raumplanung, Zürich 2010, N 55 zu Art. 33 RPG mit zahlreichen Hinweisen). Ein rein ideelles Interesse an der richtigen Anwendung des Raumplanungsrechts führt nicht zur Bejahung der Beschwerdelegitimation, sofern der Beschwerdeführer von einem Vorhaben nicht persönlich betroffen ist (BG-Urteil 1A.275/1996, in: ZBl 1998 S. 445 E. 1c; vgl. auch Waldmann/Hänni, Handkommentar Raumplanungsgesetz, Bern 2006, N 40 zu Art. 33 RPG).
Das Bundesgericht hat in seiner aktuellsten Rechtsprechung eine "rügespezifische Prüfung der Legitimation" relativiert. Diesbezüglich hielt es fest, dass sich die Beschwerdelegitimation ausschliesslich nach Art. 89 BGG richte. Sind diese Voraussetzungen (Teilnahme am Verfahren der Vorinstanz, besonderes Berührtsein durch den angefochtenen Entscheid, schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung) gegeben, ist die Beschwerde führende Partei mit sämtlichen der in Art. 95 ff. BGG aufgeführten Rügen zum Verfahren zuzulassen, wenn ihr durch die Gutheissung der Beschwerde ein praktischer Nutzen entstehen würde (BGE 137 II 30 E. 2.2.2 und 2.3 mit weiteren Hinweisen).
c/aa) Die Beschwerdegegnerinnen und die Vorinstanz bestreiten explizit die Legitimation der Beschwerdeführerin.
Zusammengefasst bringen sie im Wesentlichen vor, dass das Grundstück Nr. z, GB Luzern, der Beschwerdeführerin wesentlich höher situiert sei als die auf dem Grundstück Nr. x GB Luzern gelegene, vom Um- und Ausbauvorhaben betroffene Baute. Das Grundstück Nr. z könne daher durch die geplante Fassadenhöhe auf Grundstück Nr. x gar nicht beeinträchtigt werden. Ausserdem führte die Vorinstanz aus, dass das Grundstück Nr. z auf einer Tiefe von rund 31.50 m, gemessen ab Strassengrenze, eine gemeinsame Grenze mit dem Baugrundstück Nr. y aufweise. In diesem Bereich seien jedoch keinerlei (recte: nur innerhalb des Gebäudes liegende, vgl. dazu Beschluss vom 14.7.2010, S. 2) bauliche Massnahmen geplant. Das Baugrundstück Nr. x weise mit dem Grundstück Nr. z keine gemeinsamen Grenzen auf und der Abstand zwischen diesen Grundstücken betrage ausserdem mehr als 50 m. Deshalb mangle es der Beschwerdeführerin an einem rechtsgenüglichen Interesse und damit an der Legitimation zur Führung des vorliegenden Verfahrens.
bb) Die Beschwerdeführerin begründet ihre Legitimation damit, dass sie ein schutzwürdiges Interesse daran habe, dass auf den unmittelbar benachbarten Grundstücken kein "überdimensionierter Gebäudekomplex" entstehe. Die räumliche Nähe zwischen den Parzellen der Beschwerdeführerin und denjenigen der Beschwerdegegnerinnen könne nicht ernsthaft bestritten werden. Sie habe ein schützenswertes Interesse, dass in ihrer unmittelbaren Nähe bauliche Veränderungen unter Respektierung und Wahrung der Ortsbildschutzzone C realisiert würden. Gemäss Art. 23 des Bau- und Zonenreglements der Stadt Luzern vom 5. Mai 1994 (BZR Stadt Luzern) hätten sich Neubauten bezüglich Freiräumen sowie Volumen und Gestaltung des Gebäudes massstäblich in das Siedlungsbild einzufügen. Die Aufstockung des Wohnhauses und der Verbindungstrakt würden dazu führen, dass der schützenswerte Freiraum zwischen den beiden Gebäudekomplexen aufgehoben werde. Der Anblick bzw. die Aussicht auf den überdimensionierten Gebäudekomplex, der durch die Aufstockung und den Zusammenbau resultieren würde, seien ungleich schlechter als die heutige Überbauung, die durch die Freiräume aufgelockert werde.
cc) Unbestritten ist, dass die Beschwerdeführerin mit ihrem Grundstück Nr. z nicht an das Grundstück Nr. x grenzt, auf welchem die baulichen Massnahmen vorgenommen werden sollen. Die direkt an das beschwerdeführerische Grundstück angrenzende Parzelle Nr. y ist von äusserlich wahrnehmbaren baulichen Massnahmen nicht betroffen. Ferner ist die Liegenschaft der Beschwerdeführerin höher situiert als die Liegenschaften der Beschwerdegegnerinnen. Die Beschwerdelegitimation ist jedoch nicht zu verneinen, nur weil das Grundstück der Beschwerdeführerin nicht direkt an dasjenige Grundstück grenzt, welches von äusserlich wahrnehmbaren baulichen Massnahmen betroffen ist. Vielmehr ist von Bedeutung, ob sich der Umbau der Baute auf schutzwürdige Interessen der Beschwerdeführerin auswirkt und damit eine Legitimation bejaht werden könnte. Dies namentlich deshalb, weil sich die betroffenen Grundstücke an exponierter Lage befinden. Gemäss Bebauungsplan befinden sich die beteiligten Grundstücke in der Ortsbild-Schutzzone C. Diese Zone bezweckt den Schutz des äusseren Erscheinungsbildes von landschaftlich exponierten oder durch erhaltenswerte Bauten und Gärten geprägten Siedlungsstrukturen. Neubauten und neubauähnliche Umbauten müssen sich bezüglich Freiräumen sowie Volumen und Gestaltung massstäblich in das Siedlungsgebilde einfügen (vgl. Art. 23 Abs. 3 BZR Stadt Luzern).
Das Grundstück der Beschwerdeführerin liegt in einem Radius von ca. 30 Metern entfernt, eine direkte Betroffenheit kann damit trotz des fehlenden direkten Anstosses an Grundstück Nr. x bejaht werden. Ausserdem ist das Grundstück der Beschwerdeführerin höher gelegen als jenes, auf welchem die Umbauarbeiten vorgenommen werden sollen. Sie kann die Grundstücke Nrn. y und x ungehindert einsehen. Durch die Aufstockung des Wohnhauses und den Verbindungstrakt wird der schützenswerte Freiraum zwischen den beiden Gebäudekomplexen tangiert. Damit ist erstellt, dass die Beschwerdeführerin ein schutzwürdiges Interesse an der angepassten Überbauung in ihrer Nachbarschaft hat. Ihre Beschwerdelegitimation ist deshalb zu bejahen.
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde einzutreten (vgl. §§ 107 Abs. 2 und 108 Abs. 1 VRG).
d) Weil das Verwaltungsgericht einzige kantonale Rechtsmittelinstanz ist, steht ihm gemäss § 161a VRG eine umfassende Überprüfungsbefugnis zu. Danach beurteilt es die Streitsache aufgrund der tatsächlichen und rechtlichen Verhältnisse im Zeitpunkt seines Entscheides (§ 156 Abs. 2 VRG in Verbindung mit § 146 VRG). Weiter kann nicht nur eine unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes sowie eine unrichtige Rechtsanwendung gerügt werden, sondern auch die unrichtige Handhabung des Ermessens (§ 156 Abs. 2 VRG mit Verweis auf §§ 144 - 147 VRG). Trotz dieser Ermessenskontrolle auferlegt sich das Gericht bei Streitsachen im Bereich des Planungs- und Baurechts praxisgemäss eine gewisse Zurückhaltung. Dies gilt vor allem mit Bezug auf ausgesprochene Fach- und Ermessensfragen in Spezialgebieten, in denen die für deren Vollzug verantwortlichen Behörden über besondere Sachkunde, Fachwissen und Erfahrung verfügen. Insbesondere setzt das Verwaltungsgericht sein Ermessen nicht an die Stelle desjenigen der Vorinstanz (dazu: BGE 120 Ia 275 E. 3b, 119 Ia 96 E. 5c/bb, mit Hinweisen; vgl. ferner: BGE 126 I 222 E. 2c, 126 II 47; LGVE 1997 II Nr. 25 E. 3 und ZBl 1998 S. 171 ff.).
e) Das Verfahren ist vom Untersuchungsgrundsatz und der Rechtsanwendung von Amtes wegen beherrscht (§§ 37 und 53 VRG). Diese Grundsätze gelten aber nicht uneingeschränkt. Sie werden ergänzt durch die verschiedenen Mitwirkungspflichten der Parteien (§ 55 VRG), namentlich deren Begründungspflicht (§ 133 Abs. 1 VRG). Zu beachten ist sodann das Rügeprinzip, wonach die Beschwerdeinstanz im Prinzip nur die vorgebrachten Beanstandungen prüft (LGVE 1998 II Nr. 57). Im Rahmen der Mitwirkungspflicht hat die beschwerdeführende Partei darzutun, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird (§ 133 Abs. 1 VRG).
2.- Die Beschwerdeführerin nahm in ihrer Replik Stellung zum Beschluss des Stadtrates vom 15. Dezember 2010. Sie macht darin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend. Die formelle Rüge ist vorab zu prüfen (BG-Urteil 1C_100/2009 vom 22.9.2009, E. 2 mit Hinweis).
a) Das Verwaltungsgericht hat nach Einreichung der Dienstbarkeitsverträge dem Stadtrat Gelegenheit gegeben, dazu Stellung zu nehmen, die Sache zu überprüfen und allfällige Ausnahmebewilligungen zu prüfen und gegebenenfalls den Baubewilligungsentscheid zu ergänzen. In diesem Zusammenhang macht die Beschwerdeführerin geltend, sie habe am 2. Dezember 2010 beim Stadtrat die Wiederholung des Baubewilligungsverfahrens beantragt. Im Baubewilligungsentscheid vom 15. Dezember 2010 sei diese Eingabe zwar erwähnt, es sei jedoch mit keinem Wort dargelegt worden, weshalb auf eine Wiederholung des Bewilligungsverfahrens bzw. der öffentlichen Auflage verzichtet worden sei. Auf eine Wiederholung des Baubewilligungsverfahrens könne nicht verzichtet werden, wenn die Erteilung von Ausnahmebewilligungen im Raum stehen würde. Notwendige und beantragte Ausnahmebewilligungen seien für manche potenzielle Einsprecher Anlass, sich mit einem Baugesuch in der Nachbarschaft eingehender zu beschäftigen. Denn eine Ausnahmebewilligung sei immer ein Hinweis darauf, dass sich ein Bauvorhaben in bestimmten Punkten ausserhalb der baurechtlichen Norm bewege. Dieses Risiko könne nicht einfach umgangen werden, indem Ausnahmebewilligungen in einem späteren Verfahrensstadium, in welchem potenziell einsprachelegitimierte Nachbarn nicht mehr dabei seien und sich entsprechend nicht mehr äussern könnten, nachgeschoben werden. Gemäss § 202 Abs. 2 PBG sei das Bewilligungsverfahren ausserdem für jede Abweichung von den genehmigten Plänen erneut durchzuführen.
b) Dem ist entgegen zu halten, dass die Unterschreitung der Grenzabstände bereits im Rahmen der öffentlichen Auflage (9.-28.10.2009) ersichtlich gewesen sein muss, was auch von der Beschwerdeführerin nicht bestritten wird. Während dieser Auflagefrist reichten insgesamt drei Parteien Einsprache gegen das Projekt ein, darunter die jetzige Beschwerdeführerin. Soweit den vorliegenden Akten zu entnehmen ist, hat selbst diejenige Einsprecherin, die anwaltlich vertreten war, im vorinstanzlichen Verfahren die Unterschreitung der Grenzabstände nicht beanstandet. Dies lässt entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin den Schluss zu, dass sich die Unterschreitung der Grenzabstände für die Nachbarschaft nicht als derart entscheidend erwies, dass diese gegen das Bauprojekt Einsprache erhoben hätte. Eine solche wäre, wie oben ausgeführt, aufgrund der bereits zu diesem Zeitpunkt erkennbaren Unterschreitung des Grenzabstandes ohne weiteres schon während der öffentlichen Auflage möglich gewesen.
Auch der Einwand, es handle sich um einen Anwendungsfall von § 202 Abs. 2 PBG verfängt nicht. Danach ist für jede Abweichung von den genehmigten Plänen das Baubewilligungsverfahren erneut durchzuführen, sofern die Abweichung als solche der Bewilligungspflicht untersteht. Im Zusammenhang mit dem nachgereichten Dienstbarkeitsvertrag vom 11. November 2010 wurden keine Baupläne abgeändert, was eine erneute öffentliche Auflage unter den vom Gesetz vorgesehenen Voraussetzungen gerechtfertigt hätte. Massgebend und verbindlich sind die gleichen Pläne, wie sie dem Bewilligungsentscheid vom 14. Juli 2010 zugrunde liegen und die der Stadtrat dem Verwaltungsgericht mit seiner Vernehmlassung vom 21. Oktober 2010 eingereicht hat (vgl. Beilagenverzeichnis der Vernehmlassung und die im Entscheid vom 15.12.2010 aufgeführten vorinstanzlichen Akten). Durch die ergänzende Bewilligung vom 15. Dezember 2010 ergeben sich in planerischer Hinsicht gegenüber dem Stadtratsbeschluss vom 14. Juli 2010 keine Änderungen. Neu ist in rechtlicher Hinsicht, dass die Beschwerdegegnerinnen in Bezug auf die beteiligten Grundstücke eine Vereinbarung betreffend Näher-, Überbau- und Durchgangsrechte getroffen haben. Bei der im Beschwerdeverfahren neu aufgelegten öffentlichen Urkunde über die Errichtung von Dienstbarkeiten handelt es sich nicht um eine Änderung von Bauplänen, sondern um eine Aktenergänzung. Dies ist im vorliegenden Verfahren zulässig (§ 145 VRG; E. 1d vorstehend). Eine Verletzung der Vorschriften der öffentlichen Auflage ist nach dem Gesagten nicht ersichtlich.
Der Vollständigkeit halber ist jedoch festzuhalten, dass es an der Vorinstanz gelegen hätte, die notwendigen Dienstbarkeitsverträge bereits vor Erlass ihres Entscheids vom 14. Juli 2010 einzufordern (andernfalls hätte das Baugesuch abgewiesen werden müssen). Dennoch war es, nicht zuletzt auch mit Blick auf die Prozessökonomie, zulässig, dass der Stadtrat gestützt auf die neu aufgelegte öffentliche Urkunde die ergänzende Bewilligung vom 15. Dezember 2010 im Rahmen des vorliegenden Beschwerdeverfahrens geprüft hat. Ob die Ausnahmebewilligung zu Recht erteilt wurde, kann das Gericht mit voller Kognition prüfen (E. 1d).
c/aa) Im Weiteren rügt die Beschwerdeführerin, sie sei vom Verfahren zur Erteilung der Ausnahmebewilligung ausgeschlossen worden. Am 2. Dezember 2010 habe sie gegenüber dem Stadtrat unter ausdrücklichem Hinweis auf ein entsprechendes Urteil des Verwaltungsgerichts (Urteil V 10 105 vom 26.7.2010, E. 2 c/cc) die Wiederholung des Baubewilligungsverfahrens verlangt, um ihre Rechte bezüglich der beantragten Ausnahmebewilligung geltend zu machen. Sie habe keine Antwort erhalten und sei mit Zustellung des Stadtratsbeschlusses vom 15. Dezember 2010 überrascht worden. Die Vorinstanz wäre verpflichtet gewesen, ihr zumindest die neuen Unterlagen zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Einsichtnahme zuzustellen.
bb) Das Recht, angehört zu werden, ist formeller Natur. Die Verletzung des rechtlichen Gehörs führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung der angefochtenen Verfügung. Nach der Rechtsprechung kann eine - nicht besonders schwerwiegende - Verletzung des rechtlichen Gehörs als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie die Rechtslage frei überprüfen kann (BGE 126 I 72 E. 2, 126 V 132 E. 2b, je mit Hinweisen; Urteil V 10 229 vom 14.3.2011, E. 4d). Dem Verwaltungsgericht steht gemäss § 161a VRG eine umfassende Überprüfungsbefugnis zu. Danach beurteilt es die Streitsache aufgrund der tatsächlichen und rechtlichen Verhältnisse im Zeitpunkt seines Entscheides (E. 1d).
cc) Wie bereits ausgeführt, haben die Beschwerdegegnerinnen im Laufe des vorliegenden Verfahrens ein neues Dokument ins Recht gelegt. Der Dienstbarkeitsvertrag vom 11. November 2010 stellt ein wesentliches und entscheidrelevantes Aktenstück dar. Gestützt darauf hat der Stadtrat eine Ausnahmebewilligung für die Unterschreitung der Grenz- und Gebäudeabstände gewährt. Zwar ist nicht zu beanstanden, dass der Stadtrat dem Begehren um Wiederholung des Auflageverfahrens nicht stattgegeben hat. Dies entband ihn jedoch nicht, das Akteneinsichtsrecht der Beschwerdeführerin zu beachten. Wohl ist die Behörde im Allgemeinen nicht verpflichtet, Akten von Amtes wegen zur Einsicht vorzulegen, ist es doch primär Sache der am Verfahren beteiligten Parteien, Akteneinsicht zu beantragen. Anders präsentiert sich die verfahrensrechtliche Situation, wenn die Behörde, wie im vorliegenden Fall, mit Bezug auf den erwähnten Dienstbarkeitsvertrag eine Ergänzung der Baubewilligung vornimmt. Diesfalls ist die Behörde gehalten, von sich aus Akteneinsicht in die neuen Unterlagen zu gewähren, was jedoch unterblieben ist. Die Rüge der Gehörsverletzung ist begründet.
Mit Schreiben vom 23. Dezember 2010 stellte das Verwaltungsgericht der Beschwerdeführerin den Entscheid des Stadtrates vom 15. Dezember 2010 unter Beilage sämtlicher vorinstanzlichen Akten zu und setzte ihr gleichzeitig eine Frist von 20 Tagen zur Replik. Der Beschwerdeführerin war es somit ohne weiteres möglich, zu allen neuen Vorbringen - insbesondere den Dienstbarkeitsverträgen - eingehend Stellung zu nehmen. Dass die Vorinstanz vor Erlass der Ausnahmebewilligung das Akteneinsichtsrecht nicht gewahrt hat, wiegt angesichts der Tatsache, dass die Beschwerdeführerin von diesem Vertrag Kenntnis hatte, nicht schwer. Hinzu kommt, dass dem Verwaltungsgericht die uneingeschränkte Beurteilungskompetenz zusteht. Sodann wurden sämtliche Parteirechte, insbesondere das Recht auf Akteneinsicht, im Verfahren vor Verwaltungsgericht gewährt. Bei dieser Sach- und Rechtslage kann die festgestellte Gehörsverletzung - nach ständiger Praxis - im vorliegenden Verfahren geheilt werden. Im Kostenpunkt wird allerdings darauf zurück zu kommen sein.
3.- Die Vorinstanz bewilligte den Erweiterungsbau mit Beschluss vom 14. Juli bzw. 15. Dezember 2010 unter diversen Bedingungen und Auflagen. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Baubewilligung sei zu Unrecht erteilt worden und beantragt die Aufhebung bzw. die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. Sie beanstandet die Baubewilligung in mehreren Punkten, auf die separat einzugehen ist (nachstehend Ziff. 4.-8.).
4.- a) Die Beschwerdeführerin bringt vor, dass die maximale Fassadenhöhe von 20 m gemäss Art. 36 BZR Stadt Luzern auf dem Grundstück Nr. x nicht eingehalten werde. Sie beanstandet die Auffassung der Vorinstanz, welche beim Bauprojekt von einem "gestaffelten Bau" ausging. Entsprechend habe die Vorinstanz die Fassadenhöhe für jedes der zurückversetzten Gebäudeteile separat berechnet und sei zum Schluss gelangt, dass die zulässige Fassadenhöhe von 20 m nach Art. 36 BZR Stadt Luzern bei keinem der horizontal gestaffelten Baukörper überschritten werde. Es sei nicht nachvollziehbar, weshalb bei gestaffelten Bauten die Fassadenhöhe für jedes der Gebäudeteile separat zu berechnen sei. Dafür fehle die gesetzliche Grundlage. Andererseits bestreitet die Beschwerdeführerin grundsätzlich, dass es sich beim strittigen Bauprojekt um "gestaffelte" Baukörper handeln solle.
b) Vorab ist zu prüfen, ob eine gesetzliche Grundlage für die separate Berechnung der Fassadenhöhe bei Staffelbauten besteht.
Der Beschwerdeführerin ist insofern beizupflichten, dass im BZR Stadt Luzern nicht geregelt ist, wie die Fassadenhöhe bei Staffelbauten zu berechnen ist. Selbst der Begriff der "Staffelung" ist weder im PBG, in der Planungs- und Bauverordnung vom 27. November 2001 (PBV; SRL Nr. 736) noch im BZR Stadt Luzern definiert. Was unter gestaffelter Bauweise zu verstehen ist, wurde von der Rechtsprechung umschrieben. Wie noch aufzuzeigen sein wird, kommt dem Begriff der Staffelung nach der Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts die Bedeutung einer vertikalen Staffelung zu (dazu nachfolgende E. 4e). Grundlage für diese Rechtsprechung bildet jedoch nicht eine Bestimmung aus dem BZR, sondern § 138 Abs. 5 PBG, wonach die Geschosszahl (d.h. die Anzahl Vollgeschosse) für jeden der versetzten Gebäudeteile separat zu berechnen ist. § 139 PBG, welches die Berechnung der Höhenmasse definiert, nimmt ebenfalls Bezug auf den Begriff des Staffelbaus. Nach dessen Absatz 7 wird bei gestaffelten Baukörpern die zulässige Gebäude-, Trauf- und Firsthöhe für jeden der versetzten Gebäudeteile separat berechnet. Die Gebäudehöhe ihrerseits ergibt sich entweder aus der Zahl der zulässigen Vollgeschosse (§ 139 Abs. 1 PBG) oder kann auch mit Metermassen umschrieben werden (§ 139 Abs. 6 PBG). Die Rechtsprechung zum Begriff "gestaffelter Baukörper" im Sinne von § 138 Abs. 5 PBG ist analog anzuwenden auf den gleichen Begriff von § 139 Abs. 7 PBG. Denn dieser Begriff muss im Rahmen der kantonalen Baurechtsgesetzgebung einheitlich ausgelegt werden. Dass Gleiches trotz fehlender Ausführungen im Bau- und Zonenreglement der Stadt Luzern auch für das kommunale Recht und damit Art. 36 Abs. 1 BZR gelten muss, ergibt sich alleine schon aus dem Grundsatz, dass die kommunale Bestimmung mit dem übergeordneten kantonalen Recht nicht in Widerspruch stehen darf. Der Begriff der Staffelung und die an diesen geknüpften Rechtsfolgen gelten somit nicht nur im Anwendungsbereich des PBG, sondern gleichermassen auch auf der Stufe der kommunalen Baurechtsordnung. Damit ist sichergestellt, dass dem gleichen Begriff im kantonalen und kommunalen Recht auch die gleiche materielle Bedeutung zukommt. Es rechtfertigt sich daher, die Rechtsprechung im Bereich der Staffelbauten im PBG analog auf Art. 36 Abs. 1 BZR Stadt Luzern anzuwenden.
Schliesslich bleibt festzuhalten, dass sich Art. 36 Abs. 1 BZR nur zum Mass der maximalen Fassaden- und Firsthöhe äussert, nicht aber zu deren Berechnung bei gestaffelten Baukörpern. Die rechtliche Grundlage für die separate Berechnung der Gebäudehöhe für jeden der versetzten Gebäudeteile findet sich im übergeordneten kantonalen Recht (§ 139 Abs. 7 PBG). Zwar ist darin nicht von der Fassadenhöhe, sondern von der Gebäudehöhe die Rede. Die Fassadenhöhe ist Bestandteil der Gebäudehöhe (vgl. dazu auch die Skizzen des ehemaligen Bau- und Verkehrsdepartements zur Erläuterung des PBG und der PBV, Ausgabe vom 1.9.2002). Der Begriff der gestaffelten Baukörper ist gleich auszulegen, einerseits unabhängig davon, ob es um die Berechnung der Anzahl Vollgeschosse (§ 138 Abs. 5 PBG) oder der Höhenmasse bzw. der Gebäude-, Trauf- und Firsthöhe (§ 139 Abs. 7 PBG) geht, und andererseits unbesehen darum, ob sich die Gebäudehöhe nach der Zahl der zulässigen Vollgeschosse oder nach Metermassen bestimmt. In Bezug auf das vorliegende Bauprojekt (Flachdachbauten) ist die Gebäudehöhe mit der Fassadenhöhe identisch. Damit kann die Rechtsprechung des PBG für Art. 36 Abs. 1 BZR auch mit Blick auf den im BZR vorhandenen Begriff der "Fassadenhöhe" herangezogen werden. Da im BZR Stadt Luzern eine Regelung der Berechnungsweise der Fassadenhöhe bei gestaffelten Baukörpern fehlt, gelangt § 139 Abs. 7 PGB zur Anwendung. Die Rüge, es fehle die gesetzliche Grundlage für die separate Berechnung der Fassadenhöhe für jeden der versetzten Gebäudeteile, geht mithin fehl.
c) Gemäss dem Bebauungsplan gilt für die am Verfahren beteiligten Grundstücke die Wohnzone 9 C, welche auf die Ortsbildschutzzone C verweist. Die Ortsbild-Schutzzonen (A, B, C) stellen primär erhöhte Qualitätsanforderungen bei der Bewilligung von baulichen Veränderungen an bestehenden oder bei der Erstellung neuer Bauten und Anlagen (vgl. Art. 21-23 BZR Stadt Luzern). Dementsprechend bestehen für die Ortsbildschutzzone C weder Dichtebestimmungen noch ist eine Beschränkung der Anzahl Vollgeschosse festgelegt. Die maximale Fassaden- und Firsthöhe richtet sich nach Art. 36 Abs. 1 BZR Stadt Luzern. Die maximale Fassadenhöhe beträgt 20 m, die maximale Firsthöhe 26 m. Bei dieser Bestimmung handelt es sich um eine generelle Höhenbeschränkung für das Gebiet der Stadt Luzern, mit der in erster Linie vermieden werden soll, dass mehr als 20 m hohe Fassaden beidseits von Strassen den Eindruck von "Strassenschluchten" erwecken. Die Bestimmung begrenzt einzig die First- und Fassadenhöhe.
d) Unter den Parteien ist umstritten, wie die Fassadenhöhe zu berechnen ist. Vorab fragt sich, was unter dem Begriff der "Fassade" zu verstehen ist. Eine Legaldefinition, was exakt eine Fassade ist bzw. welche Bauteile für die Berechnung ihrer Höhe oder Länge relevant sind, enthalten weder das PBG, die PBV noch das BZR Stadt Luzern. Wie jeder in dem Sinne "unbestimmter" Rechtsbegriff und Bestandteil einer Norm ist der Begriff bzw. die Norm auszulegen. Zu fragen ist nach der Tragweite unter Berücksichtigung der Auslegungselemente, namentlich des Textes, des Zwecks, des Sinnes und der dem Zweck zugrunde liegenden Wertung. Wichtig ist ebenfalls der Sinn, welcher der Bestimmung in ihrem Kontext zukommt (LGVE 1998 II Nr. 7 E. 4b; ferner: BGE 125 II 185, 122 III 325 E. 7a; Rhinow/Krähenmann, Schweizerische Verwaltungsrechtsprechung, Ergänzungsband, Nr. 21 B IV; Walter, Der Methodenpluralismus des Bundesgerichts bei der Gesetzesauslegung, in: recht 1999, S. 157 ff.).
Die Fassade ist die Schauseite eines Gebäudes, auf der die Gestaltung konzentriert ist. Etymologisch liegt dem Begriff denn auch das lateinische Wort facies "Gesicht" zugrunde (Koepf/Binding, Bildwörterbruch der Architektur, 3. Aufl., 1999, S. 163). Für die Berechnung des Grenzabstands, der in Relation zur Fassade steht (vgl. § 120 PBG), ist die vertikale Betrachtung relevant (Fassadenhöhe). Jede Berechnungsweise hängt aber davon ab, welche Bauteile rechtlich als Fassade einzuordnen sind, wobei auf deren Funktion und Zweck in der Umsetzung der Bauordnung abzustellen ist (Urteil V 08 288 vom 14.6.2009, E. 4b/cc).
Rechtsprechungsgemäss ist für die Bemessung der Fassadenhöhe auf die optische Erscheinung abzustellen, d.h. die sichtbare Höhe einer Baute ist Anknüpfungspunkt (LGVE 1995 II Nr. 4 E. 4b). Auch bei der Bemessung der Fassadenlänge bildet die optische Erscheinung, d.h. die sichtbare Länge einer Baute, den Anknüpfungspunkt. Die gleiche Betrachtungsweise gilt auch für die Beurteilung des Mehrlängenzuschlags (LGVE 1995 II Nr. 4 E. 4b am Ende; Urteile V 03 116 vom 25.8.2004, E. 3c, V 06 283 vom 18.2.2008, E. 8c, auch zum Folgenden). Der Sinn dieser Bestimmungen liegt in erster Linie darin, lange Häuserzeilen zu vermeiden und eine aufgelockerte, offene Bauweise zu gewährleisten. Aus Sicht des Nachbarn kann der Zweck aber auch darin gesehen werden, lange Fassaden ohne Durchblick zu verhindern. In diesem Sinn kann von einer einheitlichen Fassadenlänge (welche einen Mehrlängenzuschlag rechtfertigt) nur die Rede sein, wenn die entsprechende Aussenwand auf ihrer ganzen Linie eine die Sicht und den Zutritt einschränkende Einheit bildet.
e) Nach der Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts kommt dem Begriff der Staffelung nach § 138 Abs. 5 PBG die Bedeutung einer vertikalen Staffelung zu (vgl. Urteil V 98 214 vom 21.7.1999, E. 3b). Als gestaffelte Baukörper gelten mit anderen Worten ein oder mehrere Baukörper, die in der Höhe gestaffelt sind. Die Staffelung des Baukörpers führt zu einem "versetzten Baukörper", d.h. zu einem Baukörper mit versetzten Teilen respektive mit versetzten Gebäudeteilen. Wesentlich ist, dass gemäss dieser Norm einem Ganzen (Baukörper) blosse Teile, nämlich versetzte Gebäudeteile, zugeordnet werden. Dabei handelt es sich auch dann um einen gestaffelten Baukörper gemäss § 138 Abs. 5 PBG, wenn die Baukörper selber und nicht bloss Teile versetzt sind (Urteile V 03 22 vom 22.1.2004, E. 3b sowie V 03 269 vom 22.6.2004, E. 2b mit Hinweis auf LGVE 2001 II Nr. 19 E. 5b). In welcher Grössenordnung die fraglichen Gebäudeteile bzw. Baukörper im Einzelfall versetzt sein müssen, um als gestaffelt zu gelten, lässt sich weder dem Gesetzestext noch den Materialien entnehmen. Gemäss verwaltungsgerichtlicher Rechtsprechung handelt es sich bei einem Gebäude indessen dann um einen gestaffelten Baukörper im Sinne von § 138 Abs. 5 PBG, wenn die Baukörper oder einzelne Gebäudeteile um mindestens 3 m versetzt sind. Dies entspricht einer Rückversetzung um mindestens die Höhe eines durchschnittlichen Vollgeschosses (§ 139 Abs. 1 PBG; Urteile V 04 165 vom 18.2.2005, E. 3c, V 03 269 vom 22.6.2004, E. 2b und V 98 214 vom 21.7.1999, E. 3d). Mit diesem Mindestmass soll zum Ausdruck gebracht werden, dass der zurückversetzte Teil auch optisch deutlich als Rückversetzung wahrnehmbar sein muss.
Unbehelflich ist der Einwand der Beschwerdeführerin, die vertikal gestaffelten Baukörper müssten auch baulich getrennt vom Hauptgebäude mit dem Baugrund verbunden sein, damit die Gebäudehöhen separat berechnet werden könnten. Diese Auffassung ist mit Verweis auf Urteil V 04 165 vom 18. Februar 2005, E. 3d als unzutreffend zu bezeichnen. Denn nach der Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts ist nicht von Belang, ob die unterschiedlichen Ebenen (hangseitig) bündig verlaufen oder nicht. Ausserdem wenden die Beschwerdegegnerinnen zu Recht ein, dass der von Süden her gesehene dritte Baukörper nicht über die gleichen Gebäudegrundflächen wie die beiden südlich davon gesehenen verlaufe. Auch der Verweis der Beschwerdeführerin auf die Skizzen zur Erläuterung des PBG und der PBV vermag am Gesagten nichts zu ändern. Soweit sie vorbringt, der rückversetzte Bauteil müsse baulich-funktional bis zum Baugrund reichen, ist ihr entgegen zu halten, dass die von ihr zitierte Skizze zu § 10 lit. b PBV die Anrechnung der Untergeschosse als Vollgeschosse zum Gegenstand hat und nicht aufzeigt, dass eine untererdige Rückversetzung sämtlicher Baukörper gefordert ist (vgl. S. 12 der Skizzen).
f) Streitig und zu prüfen ist, ob die Fassadenhöhe nach Art. 36 BZR Stadt Luzern durch die projektierte Baute verletzt wird. Ein Vertikalrücksprung kann bei der Messweise der Fassadenhöhe nur dann berücksichtigt werden, wenn der zurückspringende Fassadenteil optisch nicht mehr als Bestandteil des vorgelagerten Fassadenteils in Erscheinung tritt. Dies kann einzig durch eine klare Rückversetzung auf der ganzen Fassadenlänge erreicht werden. Für die Frage, wie weit die aufgehende Fassade ab dem Rücksprung zurück zu versetzen ist, ist analog die Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts in Bezug auf die Berechnung der Fassadenhöhe bei gestaffelten Baukörpern heran zu ziehen. Demgemäss kann dann von einer Rückversetzung gesprochen werden, wenn einzelne Gebäudeteile um mindestens 3 m rückversetzt sind (vgl. dazu E. 4e). Die vorgenommene Auslegung des Begriffs "Fassade" und die davon abhängige Bestimmung der Höhe derselben überzeugt auch bzw. insbesondere im Kontext der Bestimmung von Art. 36 BZR Stadt Luzern (vgl. dazu vorstehende E. 4b).
g) Die Beschwerdeführerin stützt sich in ihrer abweichenden Argumentation auf zwei Urteile des Verwaltungsgerichts (V 03 276 und V 08 288), welche es im Folgenden kurz zu analysieren gilt.
Im Urteil V 03 276 vom 23. November 2004 hatte sich das Verwaltungsgericht mit der Frage zu befassen, ob und (allenfalls) inwieweit die Höhe eines zurückversetzten "Attikageschosses" in der Stadt Luzern bei der Bemessung der Fassadenhöhe (ab OK Brüstung des Geländers gemäss § 122 Abs. 4 Satz 2 PBG) zusätzlich angerechnet werden muss. Die zitierte Gerichtspraxis kommt indes nur zur Anwendung, falls ein projektiertes "Attikageschoss" optisch nicht als Teil der Fassade in Erscheinung tritt. Andernfalls ist auch das Attikageschoss Teil der Fassade. Das Verwaltungsgericht hat sich in jenem Urteil sodann mit der Frage befasst, wie weit ein Attikageschoss zurück zu versetzen ist, damit es nicht mehr zur Fassade hinzu gerechnet werden muss. In diesem Kontext hat es dem Sinn nach auf die luzernische "Dachnorm" (Art. 33 Abs. 2 Satz 2 BZR Stadt Luzern) verwiesen. Danach darf das Dach eine Linie nicht überschreiten, die von der zulässigen Fassadenhöhe aus mit einem Winkel von 45° ansteigt. Die Rückversetzung muss somit mindestens gleich gross sein wie die über die zulässige Fassadenhöhe hinausragende Mehrhöhe.
Eine abschliessende Auseinandersetzug mit dem von der Beschwerdeführerin zur Diskussion gestellten Urteil V 03 276 vom 23. November 2004 kann in diesem Rechtsmittelverfahren unterbleiben, dies umso mehr, als im vorliegenden Fall von vornherein kein "Attikageschoss" zur Diskussion steht, das über ein bestehendes Gebäude projektiert werden soll. Damit erübrigen sich weitere Überlegungen zur zitierten Praxis und der in diesem Kontext zur Anwendung gebrachten Dachnorm gemäss Art. 33 Abs. 2 BZR Stadt Luzern.
Gleich verhält es sich auch mit dem Urteil V 08 288 vom 24. Juni 2009. Darin hatte das Verwaltungsgericht zu entscheiden, wie der Grenzabstand nach § 122 PBG berechnet wird. Für die Berechnung des erforderlichen Grenzabstandes ist die vertikale Betrachtung relevant (Fassadenhöhe). Weiter führte es aus, dass Gebäudeteile deutlich zurückversetzt sein müssen, damit diese nicht mehr als fassadenbildend in Erscheinung treten und entsprechend bei der Berechnung der Gebäudehöhe nicht berücksichtigt werden. Im vorliegenden Fall verhält es sich jedoch so, dass die Distanz zwischen den einzelnen Gebäudeteilen die geforderten 3 m überschreitet. Damit steht fest, dass das Erfordernis der "deutlichen Rückversetzung" vorliegend eingehalten ist und die Berechnung der Fassadenhöhe jeweils separat erfolgen kann. Die Beschwerdeführerin vermag nicht darzutun, inwiefern die "45° Regel" Anwendung finden soll, zumal bei der projektierten Baute weder ein Anbau noch ein Attikageschoss Gegenstand des Verfahrens bildet. Auf Weiterungen kann deshalb verzichtet werden.
h) (Konkrete Würdigung bzw. Berechnung der Fassadenhöhen.). Demnach ergibt sich, dass das Bauprojekt im Bereich des mittleren Gebäudes der Westfassade, im Bereich des Treppenhauses der Ostfassade sowie im Bereich der südöstlich liegenden Ecke des mittleren Gebäudeteiles der Südfassade die maximale Fassadenhöhe von 20 m überschreitet.
i) Abschliessend bleibt zu bemerken, dass seit dem 18. August 2011 die Revision der Bau- und Zonenordnung der Stadt Luzern öffentlich aufliegt. Gemäss Art. 26 der öffentlichen Auflage soll die Fassadenhöhe mit der Revision um 1 m auf 21 m erhöht werden. Die Beschwerdegegnerinnen können daraus jedoch nichts zu ihren Gunsten ableiten, denn bis zum Inkraftsetzen der revidierten Artikel bleibt der strengere Art. 36 Abs. 1 des geltenden BZR Stadt Luzern anwendbar.
5.- a) Weiter macht die Beschwerdeführerin geltend, der Grenzabstand auf der Nordseite zwischen Grundstück Nr. x und Grundstück Nr. y, beide GB Luzern, sei nicht eingehalten worden. Das Wohnhaus stehe heute in einem Abstand von rund 9 m zur Grenze des Grundstücks Nr. y. Das Treppenhaus und der Verbindungstrakt zwischen dem Wohnhaus und den Schulgebäuden würden die ordentlichen Grenz- und Gebäudeabstände verletzen.
b) Mit Eingabe vom 12. November 2010 reichten die Beschwerdegegnerinnen dem Gericht einen öffentlich beurkundeten Dienstbarkeitsvertrag vom 11. November 2010 zwischen den Eigentümerinnen (im vorliegenden Verfahren zugleich Beschwerdegegnerinnen A, B und E) der Grundstücke Nrn. y und x, beide GB Luzern, bzw. der sich jeweils darauf befindenden Baurechte ein. Der Dienstbarkeitsvertrag beinhaltet - im Wesentlichen - die folgenden Vereinbarungen:
B räumte A darin zulasten ihres Grundstückes Nr. y ein Näherbaurecht zu Gunsten des Grundstückes Nr. x für den Technikraum im 6. Obergeschoss der auf Grundstück Nr. x zu erweiternden Baute ein. Gemäss Vertrag darf dieser Technikraum bis 1.40 m an die Grenze des Grundstücks Nr. y heranragen.
Zulasten des Grundstücks Nr. y wurde zugunsten des Grundstückes Nr. x ein Über- und Anbaurecht für den Verbindungssteg im 7. Obergeschoss der auf Grundstück Nr. x zu erweiternden Baute eingeräumt. Die Eigentümerschaft des Grundstücks Nr. x erhält damit das Recht, den Verbindungssteg über die Grenze hinaus direkt an die Baute auf Grundstück Nr. y anzubauen und die Fassade der Baute auf dem belasteten Grundstück hierfür zu durchbrechen.
Zulasten des Grundstücks Nr. y wird zu Gunsten des Grundstücks Nr. x ein Durchgangsrecht eingeräumt, damit der neu errichtete Verbindungssteg erreicht werden kann.
c) Mit dem neu ins Recht gelegten Dienstbarkeitsvertrag erweist sich die Rüge der Beschwerdeführerin in Bezug auf die geltend gemachte Verletzung des Grenzabstandes auf der Nordseite zwischen den Grundstücken Nrn. y und x als gegenstandslos. Soweit die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang rügt, es sei ihr das rechtliche Gehör nicht gewährt worden, ist auf E. 2 zu verweisen, womit sich Weiterungen erübrigen. Sodann wird auf die Ausführungen in nachstehender E. 6 verwiesen.
d) Die Beschwerdeführerin bringt ferner vor, ihre privaten Interessen würden durch die Realisierung des Verbindungstraktes beeinträchtigt. Ein intaktes Quartierbild und die Erhaltung der Gebäude, wie sie sich heute gut eingliedern, seien für den Wert der eigenen Liegenschaft der Beschwerdeführerin sehr wichtig. Wie sich das geplante Projekt negativ auf den Wert ihrer Liegenschaft auswirken soll, legt sie nicht dar. Zwar hat die Beschwerdeführerin aufgrund der höher situierten Lage ihrer Liegenschaft Einblick in die Parzelle der Beschwerdegegnerinnen. Inwiefern sich daraus ein wertmässiger Nachteil zulasten des beschwerdeführerischen Grundstücks ergeben soll, ist nicht ersichtlich. Aufgrund der bevorzugten Lage der Liegenschaft dürfte auch eine Einschränkung bezüglich Weitsicht und Panorama kaum gegeben sein. Der Beschwerdeführerin ist insofern beizupflichten, dass es den Verbindungstrakt aus erschliessungsrechtlichen Überlegungen kaum benötigt. Die Realisation eines Verbindungstraktes liegt jedoch in der gestalterischen Freiheit der A als Bauherrin und ist vorliegend weder aus ästhetischen noch anderen Gründen (allfällige Emissionen) zu beanstanden. Dass allfällige private Interessen tangiert wären, vermag die Beschwerdeführerin nicht hinreichend substanziiert vorzubringen. Nach dem Gesagten erweist sich die von der Vorinstanz diesbezüglich erteilte Ausnahmebewilligung gestützt auf § 133 Abs. 1 lit. d und k PBG als rechtmässig (vgl. zum Ganzen LGVE 2010 II Nr. 16).
6.- a) Der weitere Einwand der Beschwerdeführerin betrifft die nach ihrer Ansicht nicht aktuelle Stellungnahme der Gebäudeversicherung. Gemäss § 134 PBG hätte der Stadtrat vor dem Entscheid vom 15. Dezember 2010 betreffend Ausnahmebewilligung eine weitere Stellungnahme der Gebäudeversicherung einholen müssen. Es liege jedoch nur diejenige vom 16. November 2009 vor, in welcher die derzeitigen Gegebenheiten nicht hätten berücksichtigt werden können.
Die Beschwerdegegnerinnen bestreiten die Notwendigkeit der Einholung einer neuen Stellungnahme der Gebäudeversicherung mit dem Argument, es seien mit der durch den Stadtrat Luzern erteilten Ausnahmebewilligung keine Planänderungen vorgenommen worden. Es habe sich somit keine Änderung der baulichen Situation ergeben.
Mit Eingabe vom 17. August 2011 bekräftigte die Beschwerdeführerin ihre Ausführungen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.
b) Gemäss § 133 Abs. 1 PBG können von den Grenz- und Gebäudeabstandsvorschriften dieses Gesetzes Ausnahmen gestattet werden, so bei schwierigem Baugelände sowie in andern in diesem Gesetz vorgesehenen oder in ausserordentlichen Fällen (lit. d und k). Eine Ausnahmebewilligung darf nur erteilt werden, wenn die öffentlichen Interessen und schutzwürdige private Interessen nicht wesentlich beeinträchtigt werden. Soll ein Grenzabstand von weniger als 2 m eingeräumt werden, ist eine öffentlich beurkundete Vereinbarung der Grundeigentümer erforderlich (§ 133 Abs. 2 PBG). Über Ausnahmen wird vom Gemeinderat im Baubewilligungsverfahren entschieden, wobei vor dem Entscheid die Stellungnahme der Gebäudeversicherung einzuholen ist (§ 134 PBG).
c) Die Vorinstanz hat für die Unterschreitung des Grenz- und Gebäudeabstands eine Ausnahmebewilligung erteilt, welche sie auf § 133 Abs. 1 lit. d und k PBG bzw. auf die von den Beschwerdegegnerinnen eingereichten Dienstbarkeitsverträge abstützte. Dass die Vorinstanz die Gebäudeversicherung nicht erneut um deren Stellungnahme ersucht hat, ist unbestritten. Die ursprüngliche Stellungnahme der Gebäudeversicherung lag nicht bei den Akten, weshalb sie vom Gericht nachträglich angefordert und den Parteien zur Kenntnisnahme zugestellt wurde. Die Gebäudeversicherung hielt an ihren Ausführungen vom 16. November 2009 fest, dass für Ausnahmebewilligungen in grenzbaurechtlichen Angelegenheiten der Gemeinderat zuständig sei. Im Übrigen stimmte sie dem Bauvorhaben unter verschiedenen Bedingungen und Auflagen zu. Diese Stellungnahme (feuerpolizeiliche Bewilligung) wurde gleichzeitig mit dem angefochtenen Leitentscheid der Baubewilligungsbehörde eröffnet. Die während des Verfahrens eingereichten Dienstbarkeitsverträge hatten keine Auswirkungen auf die Baupläne bzw. keine Neuauflage von Plänen zur Folge. Entsprechend konnte zu Recht auf das Einholen einer erneuten Stellungnahme der Gebäudeversicherung verzichtet werden. Damit steht fest, dass keine öffentlichen Interessen gegen die Erteilung einer Ausnahmebewilligung bezüglich der Unterschreitung der Grenzabstände im Norden vorliegen. Die diesbezüglich erteilte Ausnahmebewilligung erweist sich als rechtmässig und ist nicht zu beanstanden.
7.- a) Weiter macht die Beschwerdeführerin sowohl in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde als auch mit weiterer Eingabe vom 17. August 2011 geltend, den Empfehlungen bzw. die "unmissverständlichen Anordnungen" der Stadtbaukommission sei nicht genügend Nachachtung verschafft bzw. diese seien sogar "unterlaufen" worden. Sie stützt sich dabei auf die Protokolle der Stadtbaukommission. Ausserdem bedeute die weitere "Delegation" des Projektes an den Stadtarchitekten nur, dass er damit beauftragt worden sei, für den korrekten Vollzug des Beschlusses besorgt zu sein. Damit sei ihm aber nicht die Kompetenz eingeräumt worden, von den früheren Beschlüssen der Stadtbaukommission abzurücken.
b) Zur Begutachtung von städtebaulich wichtigen privaten und öffentlichen Bauvorhaben und zur Förderung der architektonischen Qualität setzt der Stadtrat eine Stadtbau-Kommission ein (Art. 44 BZR Stadt Luzern). Die Stadtbaukommission berät den Stadtrat in Fragen des Städtebaus, der Architektur sowie der Denkmalpflege. Sie beurteilt die Veränderungen in den Schutzzonen A, B und C des Zonenplans (Art. 4 Abs. 1 lit. c der Verordnung über die Stadtbaukommission vom 22.1/20.8.1997).
Der Stadtbaukommission kommt mit anderen Worten bei anspruchsvolleren Bauprojekten "beratende" Funktion zu. Hingegen verbleibt die Entscheidkompetenz dem Stadtrat. Bei der Stadtbaukommission handelt es sich um eine aus unterschiedlichen Spezialisten zusammengesetzte Fachgruppe. Die Konsultation einer Fachgruppe erfüllt jedoch nur dann ihren Zweck, wenn von deren Einschätzung ohne eingehende Begründung nicht abgewichen werden kann. Dies ergibt sich alleine schon aus dem Sinn und Zweck dieser Bestimmung. Soweit die Beschwerdegegnerinnen geltend machen, es mangle für eine solche Aussage an einer gesetzlichen Grundlage, trifft dies zwar zu, ändert jedoch nichts am Zweck der Beratungsfunktion einer Fachbaukommission im umschriebenen Sinn.
c) Die Beschwerdeführerin bezieht sich auf das Protokoll der Stadtbaukommission vom 23. Oktober 2009, welchem zu entnehmen sei, dass auf die "Abdrehung" auf der Nordseite des Wohnhauses zu verzichten sei und die Nordfassade vom "nordwestlichen Eckpunkt in der rechtwinkligen Geometrie des vorderen Gebäudes" weitergeführt werden soll. Dadurch solle der Raum zwischen den beiden Gebäudevolumen vergrössert werden. Im überarbeiteten Projekt sei der Freiraum zwischen den beiden Gebäudekomplexen indessen verkleinert statt vergrössert worden. Damit seien die "Vorgaben" der Stadtbaukommission nicht umgesetzt worden.
Dagegen führen die Beschwerdegegnerinnen an, dass das Bauprojekt durch die Stadtbaukommission eng begleitet worden sei. Das so ausgearbeitete Projekt habe die Stadtbaukommission an ihrer Sitzung vom 23. Oktober 2009 genehmigt und die weitere Begleitung unter Auflagen an den Stadtarchitekten delegiert. Es habe von diesem Zeitpunkt an in dessen Verantwortungsbereich gestanden, in welcher Form die Vorstellungen der Stadtbaukommission umgesetzt würden. Einziger Kritikpunkt der Stadtbaukommission sei die Geometrie der Terrassenbauten an der Nordfassade gewesen. Diese Nordfassade habe A den Anforderungen der Stadtbaukommission entsprechend in der Projektüberarbeitung angepasst, was aus den Plänen ersichtlich sei. Seitens der Stadtbaukommission seien auch keine Einwände gegen die Umsetzung durch den Stadtarchitekten erfolgt.
Die Vorinstanz fügte ergänzend hinzu, dass die Stadtbaukommission die Geometrie des Bauprojekts kritisiert habe, dem Projekt jedoch letztlich zugestimmt und die weitere Begleitung an den Stadtarchitekten delegiert habe. Im Rahmen des verwaltungsinternen Vernehmlassungsverfahrens sei das Bauprojekt durch den Stadtarchitekten abschliessend beurteilt und gutgeheissen worden.
d) Das Umbauprojekt liegt nicht nur an exponierter Lage, sondern gemäss Zonenplan auch in der Ortsbild-Schutzzone C. Entsprechend wurde das strittige Bauvorhaben fünfmal der Stadtbaukommission zur Beurteilung vorgelegt. Aufgrund der von der Stadtbaukommission geäusserten Kritik überarbeitete A das Projekt mehrfach. Vorliegend ist das jüngste Protokoll Nr. 169 vom 23. Oktober 2009 entscheidend, da es sich zum aktuellen und hier angefochtenen Projekt äussert. Die übrigen Protokolle älteren Datums sind jedoch insofern zu berücksichtigen, als in neueren explizit auf sie verwiesen wird. Im vorgenannten Protokoll kritisierte die Stadtbaukommission nur die "Aufnahme der Geometrie der Terrassenbauten an der Nordfassade", da damit das städtebauliche Muster wieder "verunklärt" werde. Sie zeigte auf, wie diese unerwünschte Wirkung zu beheben sei. Nicht beanstandet wurde der Verbindungstrakt, weshalb die diesbezüglichen Vorbringen der Beschwerdeführerin ins Leere stossen und nicht weiter darauf einzugehen ist.
e) Die Stadtbaukommission hat dem Bauprojekt zwar zugestimmt, jedoch unter der Auflage, dass auf die Abdrehung zu verzichten und die Nordfassade am (ursprünglich) geplanten nordwestlichen Eckpunkt in der rechtwinkligen Geometrie des vorderen Gebäudes weiter zu führen sei. Der Grund dieser Auflage bestand einerseits darin, die "Distanz zwischen diesen zwei Gebäudevolumen" (gemeint sind die Bauten der Grundstücke Nrn. y und x) zu vergrössern. Andererseits vermochte die Abdrehung dem ästhetischen Aspekt, welchem gerade in einer Ortsbildschutzzone besondere Bedeutung zuzumessen ist, nicht zu genügen.
In den aktuellen Plänen wurde auf die Abdrehung verzichtet. Allerdings wird die Nordfassade nun ausgehend vom nordöstlichen Eckpunkt des Situationsplanes 1:500 vom 30. September 2009 rechtwinklig geführt und nicht, wie von der Stadtbaukommission vorgesehen, am nordwestlichen Eckpunkt. Diesbezüglich entspricht die Baute mit Blick auf die Ästhetik den Vorgaben der Stadtbaukommission, da auf die Abdrehung verzichtet wurde. Denn unter ästhetischen Gesichtspunkten kann nicht relevant sein, ob die rechtwinklige Führung der Nordfassade vom nordwestlichen oder nordöstlichen Eckpunkt ausgeht. Auch aus architektonischer Sicht ist gegen die Geometrie des vorliegenden Projektes nichts einzuwenden. Was die Rüge der Grenzabstandverletzung betrifft, ist der Beschwerdeführerin zwar beizupflichten, dass der nördlich zu Grundstück Nr. y verlaufende Grenzabstand durch die vom nordöstlichen Eckpunkt rechtwinklig geführte Nordfassade verkürzt bzw. sogar unterschritten wird. Die Bauherrin hat im vorliegenden Verfahren jedoch einen öffentlich beurkundeten Dienstbarkeitsvertrag zwischen den Eigentümerinnen der betroffenen Grundstücke Nrn. x und y aufgelegt, die die Vereinbarung eines Näherbaurechts zum Inhalt hat.
Die Stadtbaukommission delegierte den Stadtarchitekten zur weiteren Begleitung des Projektes. Die beanstandete Grenzabstandsunterschreitung wird nicht nur aufgrund der eingereichten Dienstbarkeitsverträge obsolet, sondern auch deshalb, da der Stadtarchitekt dem Bauprojekt in der vorliegenden Fassung zustimmte.
f) Soweit die Beschwerdeführerin in diesem Kontext geltend macht, die Protokolle der Stadtbaukommission seien nicht Gegenstand der öffentlichen Auflage gewesen und es ihr damit nicht möglich gewesen sei, die Projektentwicklung nachzuvollziehen, ist die Rüge unbegründet. Weder aus § 62 PBV noch aus Art. 43 BZR Stadt Luzern lässt sich Solches ableiten.
8.- Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung der Grenzabstände auf der Ost- und Westseite der Grundstücke Nrn. y und x. Sie führt aus, dass durch die geplanten erheblichen Erweiterungsbauten und den Zusammenbau der beiden Gebäude ein überdimensionierter, durchgehender Gebäudekomplex entstehe. Ausserdem würde dadurch der bereits bestehende Unterabstand der Gebäude auf Grundstück Nr. y und Nr. x verstärkt und für lange Zeit perpetuiert. Aus optischer Sicht entstehe eine Gebäudefront, wenn die beiden Gebäude mit dem geschlossenen, überirdischen und zum Teil zweigeschossigen Zwischentrakt verbunden würden. Es könne keineswegs von einer gestaffelten Bauweise ausgegangen werden. Folglich sei ein Mehrlängenzuschlag zu berücksichtigen. Im Weiteren werde durch die projektierte Baute die Bestandesgarantie in § 178 PBG verletzt. Die bauliche Erweiterung sprenge die in § 178 Abs. 2 PBG vorausgesetzte Angemessenheit, da die Nutzfläche um mind. 24 % vergrössert werde. Mit einem Investitionsvolumen von rund 10 Mio. Franken führe der Umbau zu einer wesentlichen Verstärkung der Rechtswidrigkeit, womit dieser Zustand auf lange Zeit perpetuiert werde.
a) Zuerst ist zu erörtern, wie es sich mit dem Einwand in Bezug auf den Mehrlängenzuschlag verhält, zumal die Beschwerdeführerin geltend macht, der projektierte Gebäudekomplex werde aus optischer Sicht als Einheit wahrgenommen. Die Beschwerdegegnerinnen stellen sich auf den Standpunkt, es handle sich bei der Passerelle zwischen dem Wohngebäude (Nr. x) und dem Schulgebäude (Nr. y) nicht um einen Zwischenbau, der einen Mehrlängenzuschlag auslösen würde, da optisch keine Gebäudefront entstehe.
aa) In Bezug auf die Frage des Mehrlängenzuschlages ist von Bedeutung, ob die Bauten der Grundstücke Nrn. x und y optisch als Einheit wahrgenommen werden. Entscheidend ist dabei, wie der Verbindungstrakt zwischen den einzelnen Gebäuden zu qualifizieren ist. Denn je nach Qualifikation ist ein Mehrlängenzuschlag im Sinne von § 122 Abs. 5 Satz 1 PBG zu berücksichtigen oder nicht.
bb) Beim sog. Zwischenbau handelt es sich um eine optisch in Erscheinung tretende bauliche Massnahme. Als Anbau gilt im Gegensatz zum Zwischenbau eine bauliche Massnahme, die einseitig an eine Baute anschliesst. Letzteres steht hier nicht zur Diskussion. Massgebend bei der Beurteilung, ob ein An- oder Zwischenbau vorliegt, ist die optische Erscheinung. Aufgrund der Baupläne handelt es sich beim Verbindungstrakt um eine optisch in Erscheinung tretende bauliche Massnahme. Die Fassaden der Gebäude auf den Parzellen Nrn. y und x, GB Luzern, sind daher samt Zwischentrakt bei der Bemessung des Grenzabstandes als Einheit zu betrachten (vgl. dazu LGVE 1995 II Nr. 4 mit weiteren Hinweisen). Dies hätte grundsätzlich zur Folge, dass der gesamte Komplex als einheitliches Ganzes zu betrachten ist. Es ist offensichtlich, dass sich damit eine Fassadenlänge von weit mehr als 20 m ergibt. Aufgrund von § 122 Abs. 5 Satz 1 PBG würde sich damit der Grenzabstand um einen Viertel der Mehrlänge erhöhen bzw. vorliegend an der Ost- und Westseite der Parzellen Nrn. y und x, GB Luzern, auf 10 m zu liegen kommen. Dies deckt sich im Wesentlichen auch mit den Ausführungen der Beschwerdeführerin.
Demgegenüber stellen sich die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerinnen auf den Standpunkt, die Fassadenlängen seien trotz des umfassenden Gebäudekomplexes separat zu berechnen. In Bezug auf die gesamte Überbauung sei von einer gestaffelten Bauweise auszugehen, weshalb nicht nur die Fassadenhöhe, sondern auch die Fassadenlänge für jeden Fassadenteil separat zu berechnen sei. Zur Untermauerung dieser Argumentation verweisen sie auf die Urteile V 98 214 vom 21. Juli 1999 und V 08 236 vom 17. September 2009.
Wie die Beschwerdeführerin zu Recht einwendet, hat das Verwaltungsgericht im Urteil V 98 214 - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - die Frage der Bemessung der Fassadenlänge bei gestaffelter Bauweise offen gelassen (vgl. E. 4 am Schluss des Urteils). Bezüglich des Urteils V 08 236 ergibt sich jedoch Anderes. Das Verwaltungsgericht hat darin seine im Grundsatzurteil V 06 283/284 vom 18. Februar 2008 entwickelte Praxis bestätigt. Es führte aus, dass § 122 PBG keine ausdrückliche Regelung des Mehrlängenzuschlags bei gestaffelten Baukörpern (mit entsprechend gestaffelten Fassaden) im Sinne von § 138 Abs. 5 PBG bzw. § 139 Abs. 7 PBG enthalte. Durch Auslegung des Fassadenbegriffes und unter Berücksichtigung der mit dem Mehrlängenzuschlag verfolgten Zwecksetzung kam das Verwaltungsgericht zu folgendem Schluss: Bei der Bemessung der Fassadenlänge und mithin des Grenzabstandes bildet die optische Erscheinung, d.h. die sichtbare Länge einer Baute, den Anknüpfungspunkt. Die gleiche Betrachtungsweise ist auch für die Beurteilung des Mehrlängenzuschlages massgeblich. Der Sinn der Bestimmungen über den Mehrlängenzuschlag liegt in erster Linie darin, lange, stadtähnliche Häuserzeilen zu vermeiden und eine aufgelockerte, offene Bauweise zu gewährleisten. Vor allem aus Sicht des Nachbarn kann der Zweck dieser Vorschrift in zweiter Linie aber auch darin gesehen werden, lange Fassaden ohne Durchblick zu verhindern. Bei längeren und grösseren Gebäuden sind grössere Abstände einzuhalten. Mit dem flexiblen System des Mehrlängenzuschlages will der Gesetzgeber den Zutritt von Luft, Licht und Sonne bestmöglich gewährleisten und die Erstellung von langen und hohen Bauten mit minimalen Abständen verhindern. Da der genannte Zweck bei nicht hohen Bauten, auch wenn sie lang sind, in bestimmten Grenzen auch ohne Abstandsvergrösserung erreicht werden kann, hat der Gesetzgeber eingeschossige Anbauten von begrenzter Länge vom Miteinbezug in die Berechnung der Fassadenlänge ausgenommen (LGVE 1995 II Nr. 4 E. 4a f.; Urteile V 06 31 vom 9.2.2007, E. 4b und V 03 116 vom 25.8.2004, E. 7c). In diesem Sinne kann von einer einheitlichen Fassadenlänge, welche einen Mehrlängenzuschlag zu rechtfertigen vermag, nur die Rede sein, wenn die entsprechende Aussenwand auf ihrer ganzen Linie eine die Sicht und den Zutritt einschränkende Einheit bildet (vgl. ZR 1969 Nr. 118, S. 304). Gerade dies ist bei gestaffelten Baukörpern jedoch nicht der Fall. Vielmehr entsteht dort durch die geforderte Rückversetzung ein Bruch in der Fassadenlinie, was den Zugang von Licht und Luft gewährleistet. Die Fassadenlängen der gestaffelten Baukörper sind deshalb getrennt zu ermitteln (Urteil V 08 236 vom 17.9.2009, E. 2d). Aufgrund der Ausführungen in vorstehend E. 4b ist diese Rechtsprechung analog auch auf Art. 36 BZR Stadt Luzern anzuwenden.
Daraus ergibt sich, dass bei gestaffelter Bauweise nicht nur die Fassadenhöhe, sondern auch die Fassadenlänge separat zu berechnen ist.
cc) Wie die Teildarstellungen "Ostfassade" und "Westfassade" im Massstab 1:100 deutlich zeigen, kann von einer einheitlichen Fassadenlänge im erwähnten Sinne hier nicht gesprochen werden. Die mit dem eingeschossigen Verbindungstrakt auf Höhe der 7. Etage verbundenen Baukörper stehen in einer steilen Hanglage, weshalb die beiden Baukörper (Wohngebäude und Schulgebäude) als gestaffelte Baukörper zu betrachten sind. Der Verbindungstrakt tritt damit als ein Teil einer gestaffelten Bauweise der gesamten Überbauung in Erscheinung. Der Verbindungstrakt bildet mit den jeweils angrenzenden Gebäuden rechte Winkel, welche den Zutritt von Luft und Licht ungehindert zulassen. Der Vorinstanz ist beizupflichten, dass die Ost- und Westfassade im vorliegenden Fall kein einheitliches Fassadenbild abgeben, sodass ein Mehrlängenzuschlag nicht zu berücksichtigen ist.
dd) / ee) (Konkrete Prüfung der Grenzabstände).
b) (Besitzstandsgarantie, Prüfung Ausnahmebewilligung). Damit ergibt sich, dass das Bauprojekt auf der südöstlichen Seite den gesetzlichen Grenzabstand verletzt und dafür weder eine privatrechtliche Vereinbarung noch eine Ausnahmebewilligung vorliegt.
9.- Nach dem Gesagten ist die Baubewilligung insoweit aufzuheben, als das Bauprojekt im Bereich des mittleren Gebäudes der Westfassade, im Bereich des Treppenhauses der Ostfassade sowie im Bereich der südöstlich liegenden Ecke des mittleren Gebäudeteils der Südfassade die maximale Fassadenhöhe von 20 m überschreitet (E. 4h/bb) und auf der südöstlichen Seite den gesetzlichen Grenzabstand verletzt und dafür weder eine privatrechtliche Vereinbarung noch eine Ausnahmebewilligung vorliegt (E. 8b/bb). Der Baubewilligungsentscheid vom 14. Juli 2010 ist deswegen aufzuheben. Im Übrigen erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
10.- (Kostenfolgen)