Aus den Erwägungen:
E.II.4.a/aa) Nach Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG geben die Betreibungsämter Dritten von einer Betreibung keine Kenntnis, wenn der Schuldner nach Ablauf einer Frist von drei Monaten seit der Zustellung des Zahlungsbefehls ein entsprechendes Gesuch gestellt hat, und der Gläubiger nach Ablauf einer vom Betreibungsamt angesetzten Frist von 20 Tagen nicht den Nachweis erbringt, dass rechtzeitig ein Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlages (Art. 79-84) eingeleitet wurde; wird dieser Nachweis nachträglich erbracht oder wird die Betreibung fortgesetzt, wird sie Dritten wieder zur Kenntnis gebracht.
bb) Das Bundesgericht hat sich im Entscheid 5A_319/2020 vom 7. Mai 2020 E. 2 erstmals näher mit dem Verfahren um Nichtbekanntgabe einer Betreibung gemäss Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG befasst. Dabei hat es festgehalten, dass das Betreibungsamt bei der Bekanntgabe von Betreibungen an Dritte einzig prüfen könne, ob (objektiv) ein Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlages eingeleitet worden sei, jedoch nicht, ob das Rechtsöffnungsverfahren zu Recht oder zu Unrecht eingeleitet worden sei bzw. wie es mutmasslich ausgehen werde. Die Frage, ob über eine Betreibung Auskunft zu geben ist, wenn der Gläubiger im Rechtsöffnungsverfahren unterlegen ist, wurde unter Hinweis auf die Literatur offengelassen (BGE 147 III 41 E. 3.2.1; BGer 5A_319/2020 E. 2 m.w.H.). In einem weiteren Entscheid vom 22. Juni 2020 wurde die Frage geklärt, welche Tragweite das vom Betreibungsgläubiger eingeleitete, erfolglose Rechtsöffnungsverfahren auf das Gesuch um Nichtbekanntgabe nach Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG des betriebenen Schuldners hat. Das Bundesgericht hielt fest, dass das Unterliegen des Betreibungsgläubigers in der Rechtsöffnung (Art. 80 ff. SchKG) der Bekanntgabe nicht entgegenstehe (BGE 147 III 41).
Weitere Konstellationen im Zusammenhang mit dem Verfahren zur Nichtbekanntgabe einer Betreibung gemäss Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG sind höchstrichterlich ungeklärt. Dazu gehört auch die vorliegende Frage, wie zu verfahren ist, wenn ein Schlichtungsbegehren (zur Einleitung einer Anerkennungsklage) gestellt wurde, dieses aber (aus formalen Gründen und mit dem allfälligen Vorbehalt der Wiedereinbringung) wieder zurückgezogen wird. Auch die Weisung der Dienststelle Oberaufsicht für Schuldbetreibung und Konkurs Nr. 5 (neuer Art. 8a Abs. 3 Bst. d SchKG) und die diesbezügliche Literatur (Rüetschi, Das neue Verfahren zur "Löschung" ungerechtfertigter Betreibungen, in: Plädoyer 2018, S. 42 ff.; Rodriguez/Gubler, Die Abwehr von Betreibungsregistereinträgen ab dem 1. Januar 2019, in: ZBJV 2019, S. 12 ff.; Bernauer, Der neue Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG in der Praxis, in: AJP 7/2019, S. 687 ff.; Terekhov, Neuerungen im Betreibungsregisterrecht – von den diversen Schwachstellen des Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG, in: ZZZ 47/2019, S. 223 ff.; Brönnimann, Verstärkter Schutz vor ungerechtfertigten Betreibungen und ihre Auswirkungen, in: Festschrift für Jolanta Kren Kostkiewicz, 2018, S. 405 ff.) befassen sich mit der vorliegend relevanten Problematik bisher nicht.
cc) Der Wortlaut von Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG knüpft die Nichtbekanntgabe einer Betreibung an den Umstand, dass rechtzeitig ein Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlages (Art. 79-84 SchKG) eingeleitet wurde. Nach dem klaren Gesetzestext reicht der Nachweis, dass ein Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlages nach Art. 79-84 SchKG eingeleitet wurde, um die Betreibung für Dritte sichtbar zu machen, währendem nicht vorausgesetzt wird, dass der Gläubiger im betreffenden Verfahren obsiegen muss oder der Ausgang des Verfahrens eine Rolle spielt (BGE 147 III 41 E. 3.3.2). Das Untätigbleiben des Gläubigers nach Zustellung des Zahlungsbefehls soll entsprechend die Nichtbekanntgabe der Betreibung rechtfertigen. Der (allenfalls ungerechtfertigt) betriebene Schuldner soll verhindern können, dass seine Kreditwürdigkeit geschädigt wird, wenn der betreibende Gläubiger "keine Anstalten" macht, die Betreibung fortzuführen. Ein blosses Tätigwerden des Gläubigers soll damit ausreichen, um die Nichtbekanntgabe der Betreibung zu begrenzen bzw. deren Bekanntgabe zu rechtfertigen. Die massgebende Ernsthaftigkeit der jeweiligen Betreibung wird lediglich daran gemessen, ob der Gläubiger ein Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlages einleitet und/oder die Betreibung fortsetzt (vgl. BGE 147 III 41 E. 3.3.4 und 3.4.2 m.w.H.).
b/aa) Im vorliegenden Fall stellte die Beschwerdegegnerin am 22. Dezember 2020 beim Vermittleramt […] ein Schlichtungsbegehren. Dieses Begehren wurde allerdings am 3. Februar 2021 wieder zurückgezogen, so dass das Schlichtungsverfahren am 8. Februar 2021 als gegenstandslos abgeschrieben wurde. Die Beschwerdegegnerin wies in ihrer Stellungnahme gegenüber dem Betreibungsamt vom 19. Mai 2021 darauf hin, dass das Gesuch aus formalen Gründen zurückgezogen worden sei. Anlässlich der (kommenden) Stockwerkeigentümerversammlung (vom 25. Mai 2021) werde eine Mandatserteilung zwecks "Rechtsöffnung" an einen Rechtsanwalt behandelt und aller Voraussicht nach beschlossen werden. Im vorinstanzlichen Verfahren liess sich die Beschwerdegegnerin hierzu bzw. den zwischenzeitlich erfolgten Vorkehren zur Beseitigung des Rechtsvorschlages nicht mehr vernehmen.
bb) Im Schlichtungsverfahren hat der vorbehaltlose Klagerückzug die Wirkung eines rechtskräftigen Entscheids im Sinne einer Klageabweisung (Art. 208 Abs. 2 ZPO; vgl. auch Art. 241 Abs. 2 ZPO; BSK ZPO-Infanger, 3. Aufl., Art. 65 N 5). Daher ist im Schlichtungsverfahren mit dem Rückzug zu erklären, ob dieser unter dem allfälligen Vorbehalt der Wiedereinbringung erfolgt (BSK ZPO-Infanger, 3. Aufl., Art. 65 N 5 f.). Die Abweisung einer Anerkennungsklage (Art. 79 SchKG) oder die Gutheissung einer Aberkennungsklage (Art. 83 Abs. 2 SchKG) gehört zu den nach Art. 8a Abs. 3 lit. a SchKG gerichtlichen Entscheiden, gemäss welchen die Betreibungsämter von der entsprechenden Betreibung keine Kenntnis geben (BGE 147 III 41 E. 3.4.1 m.w.H.).
Im vorliegenden Fall wurde das Schlichtungsgesuch mit E-Mail vom 3. Februar 2021 mit der Begründung zurückgezogen, dass die (damalige) Verwaltung "den Willen der EigentümerInnen grob missachtet und das Rechtsöffnungsverfahren nicht wie gewünscht an unsere Anwältin, Frau […] weitergeleitet [hat]. Frau […] wird ein neues Rechtsöffnungsverfahren in die Wege leiten". Zugunsten der Beschwerdegegnerin ist vorliegend damit nicht von einem vorbehaltslosen Klagerückzug auszugehen, sondern (sinngemäss) von einem solchen unter Vorbehalt der Wiedereinbringung. Entsprechend dürfte auch keine rechtskräftige Abweisung der Anerkennungsklage vorliegen, welche (bereits) eine Nichtbekanntgabe aufgrund von Art. 8a Abs. 3 lit. a SchKG zur Folge hätte.
cc) Mit Einreichung des Schlichtungsgesuchs vom 22. Dezember 2020 wurde von der Beschwerdegegnerin ein (Anerkennungs-)Verfahren i.S.v. Art. 79 SchKG zur Beseitigung des Rechtsvorschlages eingeleitet und sie wurde i.S.v. Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG tätig. Mit dem Rückzug des Schlichtungsbegehrens stoppte sie das Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlages hingegen selbst wieder. Massgebend für den erforderlichen Nachweis der Ernsthaftigkeit der Betreibung ist daher, ob sie ein erneutes Schlichtungsgesuch – wie angekündigt – innert angemessener Frist eingereicht und damit (erneut) ein Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlages eingeleitet hat. Nach Art. 8 Abs. 3 lit. d SchKG kann der Schuldner ein Gesuch zur Nichtbekanntgabe der Betreibung (erst) nach Ablauf einer Frist von drei Monaten seit der Zustellung des Zahlungsbefehls stellen. Diese Frist beruht auf der Vorstellung und Erwartung an den Gläubiger, sich nach Erhebung eines Rechtsvorschlages rasch zwecks Fortsetzung des Verfahrens an einen Richter zu wenden, da er von der Begründetheit seiner Forderung ausgeht (BGE 147 III 41 E. 3.3.4 m.w.H.). Vorliegend dürfte diese Dreimonatsfrist sinngemäss mit der Abschreibung des Schlichtungsverfahrens am 8. Februar 2021 (erneut) zu laufen begonnen haben. Sie war somit an sich bereits zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils vom 19. Juli 2021 abgelaufen. Die Beschwerdegegnerin hat dem Betreibungsamt am 19. Mai 2021, mithin ebenfalls nach mehr als drei Monaten seit dem 8. Februar 2021, in ihrer Stellungnahme den Hintergrund des Rückzugs des Schlichtungsgesuchs erläutert, dessen Neueinreichung in Aussicht gestellt und Unterlagen eingereicht. Im vorinstanzlichen Verfahren liess sie sich nicht mehr vernehmen und reichte insbesondere auch keine neuen Nachweise ein, dass sie im Anschluss an die Stockwerkeigentümerversammlung vom 25. Mai 2021 tatsächlich ein erneutes Schlichtungsgesuch eingereicht habe. Gemäss Amtsauskunft des Vermittleramtes […] vom 23. September 2021 wurde bis zum genannten Zeitpunkt kein neues Schlichtungsgesuch eingereicht. Der Rückzug des Schlichtungsbegehrens unter dem Vorbehalt der Wiedereinbringung ohne erneutes Einreichen eines entsprechenden (formell korrekten) neuen Gesuchs bis jedenfalls zum 23. September 2021, d.h. rund acht Monate später, kann nicht mehr als ernsthafte Fortsetzung der Betreibung betrachtet werden und muss in der vorliegenden Konstellation dem (gänzlichen) Untätigbleiben des Gläubigers gleichgesetzt werden.
dd) Damit ist die Beschwerde zu schützen und der Entscheid des Kreisgerichts St. Gallen vom 19. Juli 2021 (BE.2021.6-[…]) aufzuheben. Das Betreibungsamt […] wird angewiesen, die bei ihm eingereichte Betreibung Nr. […] der Stockwerkeigentümergemeinschaft […], gegen […], Dritten nicht mehr bekannt zu geben.
Wird der Nachweis (der Einleitung eines erneuten Schlichtungsgesuchs) dem Betreibungsamt später zu Kenntnis gebracht oder wird die Betreibung fortgesetzt, so wird sie Dritten hingegen wieder zu Kenntnis gebracht (vgl. Art. 8a Abs. 3 lit. d letzter Teilsatz SchKG; ferner Brönnimann, a.a.O., S. 414; Terekhov, a.a.O., S. 233).
Hinweis auf erhobene Rechtsmittel:
Entscheid ist rechtkräftig.
Bemerkungen:
Keine.