Aus den Erwägungen:
2. Zu entscheiden ist aber über die Beschwerde des Beschwerdeführers vom 2. August 2013, welche sich gegen die Verfügung der Vorinstanz richtet, mit der ihm während der Sicherheitshaft keine Telefonnate erlaubt werden (Art. 393 Abs. 1 lit. b StPO und Art. 17 Abs. 1 EG-StPO).
2.1. Durch den Vollzug von Untersuchungs- und Sicherheitshaft wird das Grundrecht auf persönliche Freiheit nach Art. 10 Abs. 2 BV eingeschränkt. Gemäss Art. 235 Abs. 1 StPO darf diese Einschränkung nicht weiter gehen, als es der Haftzweck sowie die Ordnung und Sicherheit erfordern. Diese Bestimmung entspricht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung und konkretisiert den Grundsatz der Verhältnismässigkeit (Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 BV). Die Europäische Menschenrechtskonvention gewährleistet im Bereich der Haftbedingungen keine über die persönliche Freiheit nach Art. 10 Abs. 2 BV hinausgehenden Rechte (BSK StPO-Matthias Härri, Art. 235 N 1 mit weiteren Hinweisen).
Je höher die Flucht-, Kollusions- oder Wiederholungsgefahr erscheint, oder je stärker der ordnungsgemässe Gefängnisbetrieb (...) gefährdet ist, desto restriktiver können die Haftbedingungen sein. Im Übrigen kann abgesehen von hier nicht zutreffenden Ausnahmen (z.B. Notfällen) weder aus der Bundesverfassung noch aus der EMRK ein Anspruch des Untersuchungsgefangenen abgeleitet werden, mit Familienangehörigen oder ihm sonst nahe stehenden Personen durch Benutzung des Telefons verkehren zu können. Solange dem Untersuchungsgefangenen andere Mittel für die Kommunikation mit der Aussenwelt zur Verfügung stehen, besteht das Recht auf Telefonbenützung nur insoweit, als dies in der Gefängnisordnung vorgesehen ist (BGer 1B_26/2009 E. 3.1). Gemäss Art. 40 der (kantonalen) Verordnung über die Gefängnisse und Vollzugsanstalten (sGS 962.14) sind Besitz und Benützung von privaten Kommunikationsgeräten wie Natel oder Funkrufempfänger verboten. Der Gefangene wird nicht ans Telefon gerufen (Abs. 1). Die einweisende Stelle oder, wenn sie nicht erreichbar ist, der Gefangenenbetreuer kann dem Gefangenen in besonderen Fällen die Benützung des Telefons erlauben. Das Gespräch kann aus Sicherheitsgründen überwacht werden (Abs. 2).
2.2. Der Beschwerdeführer war im hier massgebenden Zeitpunkt des Erlasses der angefochtenen Verfügung am 29. Juli 2013 Untersuchungsgefangener. Daran vermag nichts zu ändern, dass mit der Anklageerhebung die vorbestehende Untersuchungshaft in Sicherheitshaft umgewandelt wurde (vgl. Art. 229 StPO). Vollzugsrechtlich änderte sich damit nichts. Sicherheitshaft dient grundsätzlich dem gleichen Zweck wie Untersuchungshaft. Es müssen in beiden Fällen Haftgründe gegeben sein. Die Untersuchungshaft wurde wegen Fluchtgefahr angeordnet. Bezugnehmend auf die Entscheide des regionalen Zwangsmassnahmenrichters vom 25. November 2012, 22. Februar 2013 und 19. April 2014 wurde nach der Anklageerhebung – womit im Zusatz zu einer früheren Verurteilung die Ausfällung einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren beantragt wurde – am 2. Mai 2013 gegen den Beschwerdeführer Sicherheitshaft angeordnet, weil Fluchtgefahr nach wie vor zu bejahen sei. Mit der Anklageerhebung ist grundsätzlich eher von einer noch erhöhten Fluchtgefahr auszugehen. Dies erfordert namentlich auch hinsichtlich des (bereits grundsätzlich nicht erlaubten) Telefonverkehrs erhöhte Sicherheitsvorkehrungen.
2.3. Dem Beschwerdeführer wird der Verkehr mit den Familienangehörigen - insbesondere mit seiner Ehefrau – nicht grundsätzlich, sondern nur der telefonische Kontakt mit ihnen, untersagt. Andere Mittel der Kommunikation mit der Aussenwelt, namentlich auf dem Postweg, sind (wenn auch unter zulässiger Kontrolle) unbestrittenermassen vorhanden und möglich. Auch sind Besuche beim Beschwerdeführer offenbar unstreitig ebenfalls möglich. Der Beschwerdeführer macht im Übrigen auch keinen Notfall oder sonst eine begründete Ausnahmesituation geltend, welche allenfalls einen (regelmässigen) telefonischen Kontakt zu seinen engsten Familienangehörigen zu rechtfertigen vermöchte. Dabei ist mitzuberücksichtigen, dass der Beschwerdeführer offenbar erstmals und erst nach rund 8-monatiger Dauer der Inhaftierung telefonischen Kontakt zu seinen nächsten Familienangehörigen suchte. Zumindest wird etwas anderes vom Beschwerdeführer weder vorgebracht, noch glaubhaft gemacht. Im Übrigen machte er im Zusammenhang mit seinem Gesuch vom 23. Juli 2013 keine eine Ausnahme vom grundsätzlichen Telefonverbot rechtfertigenden Gründe geltend. Daran hat sich im vorliegenden Verfahren nichts geändert. Schliesslich steht dem Beschwerdeführer – wie bereits erwähnt – der Kontakt mit seinen engsten Familienangehörigen auf schriftlichem Weg offen. Es ist aber nicht aktenkundig, dass er hiervon überhaupt Gebrauch gemacht hätte. Sodann ist nicht ersichtlich, weshalb vorliegend ein brieflicher Kontakt nicht ausreichend für die Kommunikation mit seinen Angehörigen sein sollte.
2.4. Am Dargelegten vermag im Übrigen – wie auch die Vorinstanz zu Recht erwogen hat – eine Empfehlung des Europarates aus dem Jahre 2006 nichts zu ändern. Diese Empfehlungen des Ministerkomitees des Europarates betreffen zwar die Haftbedingungen. Sie sind aber nicht in der Weise völkerrechtlich verbindlich, dass die Missachtung der darin enthaltenen Mindestgrundsätze für die Behandlung der Gefangenen für sich allein als Verstoss gegen verfassungsmässige Rechte oder wegen Verletzung eines Staatsvertrages beim Bundesgericht gerügt werden könnte; sie begründen insofern keine subjektiven Rechte und Pflichten(vgl. BSK StPO-Matthias Härri, Art. 235 N 6). In Anbetracht der vorne angeführten klaren Rechtsprechung des Bundesgerichtes aus dem Jahre 2009 kann der Beschwerdeführer auch aus den Empfehlungen des Europarates kein Recht auf ein regelmässiges Telefongespräch (pro Woche 15 Minuten) ableiten.
2.5. Insgesamt erweist sich der Entscheid der Vorinstanz, dem Beschwerdeführer während der Sicherheitshaft keine wöchentlichen Telefonate zu erlauben, als rechtens. Seine dagegen erhobene Beschwerde ist abzuweisen, soweit das vorliegende Verfahren nicht als erledigt abzuschreiben ist.