Aus den Erwägungen:
II.2. Aufgrund der beim Präsidenten der Anklagekammer im Recht liegenden Akten, stellt sich mit Bezug auf die Hauptsachenprognose insbesondere die Frage, ob auf die Beschwerde der Staatsanwaltschaft überhaupt wird eingetreten werden können.
Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung hat die Staatsanwaltschaft, wenn sie gegen einen Haftentlassungsentscheid des Zwangsmassnahmengerichts vorgehen will, die Beschwerde unmittelbar nach Kenntnis anzukündigen und hernach schriftlich einzureichen (BGE 138 IV 148 E. 3.2). Die Staatsanwaltschaft hat ihre Beschwerde unmittelbar nach Kenntnis des Haftentlassungsentscheides beim Zwangsmassnahmenrichter anzukündigen. Hat die Staatsanwaltschaft nicht an der Verhandlung teilgenommen, kann ihr das Zwangsmassnahmengericht einen negativen Entscheid telefonisch mitteilen. Ein Rechtsanspruch darauf besteht allerdings nicht. Will die Staatsanwaltschaft verhindern, dass die beschuldigte Person freigelassen wird, muss sie an der Verhandlung teilnehmen oder in anderer Weise sicherstellen, dass sie rechtzeitig ihre Beschwerde ankündigen und einreichen kann (Oberholzer, Grundzüge des Strafprozessrechts, N 1325 m.w.H.).
Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung vermag die Einreichung einer Beschwerde innerhalb von drei Stunden nach Kenntnis des Haftentlassungsentscheides eine unterlassene vorgängige, sofortige Ankündigung der Beschwerde durch die Staatsanwaltschaft nicht zu heilen. Vielmehr ist im Fall einer unterlassenen vorgängigen, sofortigen Ankündigung der Beschwerde durch die Staatsanwaltschaft auf die Beschwerde anschliessend nicht einzutreten (BGer. 6B_576/2019 E. 2.2 m.w.H.).
Nach Eingang der Beschwerde ist das Zwangsmassnahmengericht gehalten, den Beschuldigten bis zum Entscheid der Verfahrensleitung der Beschwerdeinstanz im Sinne von Art. 388 StPO in Haft zu belassen und die Beschwerde mit dem Dossier und seiner allfälligen Stellungnahme verzugslos der Beschwerdeinstanz zu übermitteln (BGE 139 IV 314 E. 2.2.1; 138 IV 148 E. 3.2; BGer. 1B_576/2019 E. 2.2).
3. Vorliegend fand die Haftverhandlung am 30. September 2021, ab 16:18 Uhr, statt. Anwesend waren – neben dem Haftrichter und der (a.o.) Gerichtsschreiberin – die Gesuchsgegnerin und ihr Verteidiger. Auf Seiten des Gesuchstellers (Staatsanwaltschaft) nahm niemand teil. Nach Entscheideröffnung an die Anwesenden wurde die Verhandlung um 17:13 Uhr geschlossen. Um 18:38 Uhr übermittelte der regionale Zwangsmassnahmenrichter seinen Entscheid im Dispositiv per E-Mail an die Verteidigung der Gesuchsgegnerin sowie an die fallführende Staatsanwältin. Am 1. Oktober 2021 reichte der Gesuchsteller Beschwerde ein. Dabei wurde ausdrücklich festgehalten, dass die fallführende Staatsanwältin am 1. Oktober 2021 um 07:45 Uhr Kenntnis vom Entscheid genommen habe. Die Beschwerde ging um 10:28 per E-Mail bei der Vorinstanz ein.
Eine vorgängige und sofortige Ankündigung der Beschwerde durch den Gesuchsteller erfolgte weder am Abend des 30. Septembers 2021, noch am Morgen des 1. Oktobers 2021. Wie dargelegt, hat eine solche sofortige Ankündigung nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes aber zwingend zu erfolgen, andernfalls auf die Beschwerde anschliessend nicht eingetreten werden kann. Damit kann offen bleiben, ob die dreistündige Beschwerdefrist vorliegend eingehalten wurde.
4. Es erscheint zwar durchaus fraglich, ob die Vorinstanz bei einer Eröffnung des Haftentscheides an die fallführende (nicht pikettleistende) Staatsanwältin einzig per E-Mail um 18:38 Uhr und im Wissen darum, dass die Staatsanwaltschaft gegebenenfalls und bei Gefahr des Verlustes ihrer Rechtsmittelmöglichkeit sofort reagieren (können) muss, den Grundsätzen an ein faires Verfahren zu genügen vermag. Dies vermag aber nichts daran zu ändern, dass vorliegend keine vorgängige und sofortige Ankündigung seitens der Staatsanwaltschaft erfolgt ist.
5. Damit muss davon ausgegangen werden, dass die Anklagekammer auf die Beschwerde der Staatsanwaltschaft nicht eintreten können wird. Entsprechend aber ist das Gesuch der Staatsanwaltschaft um Erlass vorsorglicher Massnahmen abzuweisen. Wird die superprovisorische Haftanordnung verweigert, ist ein Entlassungsbefehl zu erlassen (Zürcher Kommentar StPO-Frei/Zuberbühler Elsässer, Art. 222 N 9c). Entsprechend ist die Gesuchsgegnerin nach Massgabe des Entscheides der Vorinstanz, d.h. sobald die Gesuchsgegnerin eine andere Unterkunft als die eheliche Wohnung beziehen kann, spätestens bis heute 16:00 Uhr aus der Untersuchungshaft zu entlassen.
6. Schliesslich bleibt darauf hinzuweisen, dass die Vorinstanz die Beschwerdeschrift, welche sie am 1. Oktober 2021 um 10:28 Uhr erhalten hat, zusammen mit den Akten erst am 4. Oktober 2021, 10:25 Uhr, der Anklagekammer übermittelte. Dies geschah somit nicht – wie von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gefordert – verzugslos (vgl. vorstehend II. Ziff. 2).