Aus den Erwägungen:
I.
Die B (Beklagte) ist ein seit […] im Handelsregister des Kantons St. Gallen eingetragener Verein (Art. 60 ff. ZGB) mit Sitz in St. Gallen. Gemäss Handelsregistereintrag bezweckt die Beklagte unter anderem die Förderung der Zucht und die Verbesserung und das Wohlergehen von Arabischen Pferden in Europa und anderen Ländern von Mitgliedern; das Ergreifen von Massnahmen zur Verhinderung von Gewalt gegenüber Pferden im Allgemeinen und an von B organisierten Wettbewerben im Besonderen sowie die Förderung internationaler Wettbewerbe in Europa und anderen Ländern von Mitgliedern durch die Schaffung und Durchsetzung von Regeln (….).
Die Klägerin nahm am […] mit ihrem Pferd "X" in der Kategorie […] an einem von B organisierten Wettbewerb teil, welcher in Paris ausgetragen wurde. Es handelt sich dabei um einen von der Beklagten anerkannten Show-Wettbewerb bzw. eine Pferdeschau, bei welcher ihr Regelwerk zur Anwendung gelangte. Während der Präsentation des Pferdes "Y", ein Pferd einer Konkurrentin der Klägerin, hielten mehrere Personen im Zuschauerbereich Banner hoch, welche den Namen des vorgeführten Pferdes den Punkterichtern preisgaben […]. Dieses Pferd gewann in der Folge den Wettbewerb in der Kategorie […]. Nach Auffassung der Klägerin soll es sich beim Hochheben der Banner um einen schwerwiegenden Verstoss gegen das Regelwerk der Beklagten gehandelt haben, da dieses eine anonymisierte Präsentation der Pferde vorsehe […]. Der Vorfall bildete anschliessend Gegenstand eines vereinsinternen Disziplinarverfahrens, bei welchem alle Instanzen des vereinsinternen Disziplinarwesens durchschritten wurden. Die Klägerin war an diesem Verfahren als Beschwerdeführerin beteiligt. Schliesslich bestätigte die Beklagte am […] die Disziplinarmassnahmen (Verwarnung und Busse) gegen die für das Pferd "Y" verantwortlichen Personen […].
Da nach Auffassung der Klägerin jedoch auch der vereinsintern letztinstanzliche Beschluss vom […] äusserst milde ausgefallen sei und gegen Gesetzes- und Statutenbestimmungen verstosse, reichte sie mit Eingabe vom 1. April 2021 die vorliegende Anfechtungsklage zum Schutz der Vereinsmitgliedschaft nach Art. 75 ZGB mit den eingangs zitierten Rechtsbegehren beim Handelsgericht ein. Die Klägerin verlangt im Wesentlichen die Aufhebung des Beschlusses […] und die Anweisung an die Beklagte, einen neuen Beschluss zu fällen.
[…]
II.
Nach Art. 59 Abs. 1 ZPO tritt das Gericht auf eine Klage ein, sofern die Prozessvoraussetzungen erfüllt sind. Was eine Prozessvoraussetzung ist, bestimmt sich auch bei internationalen Sachverhalten, wie dem vorliegenden, nach Art. 59 Abs. 2 ZPO (STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 3. Aufl., Zürich 2019, § 11 N 8). Die Prozessvoraussetzungen sind von Amtes wegen zu prüfen (Art. 60 ZPO).
Die Prozessvoraussetzungen verlangen, dass das Gericht sachlich und örtlich zuständig ist (Art. 59 Abs. 2 lit. b ZPO).
2.1. […]
2.2. Das Handelsgericht ist für handelsrechtliche Streitigkeiten sachlich zuständig (Art. 6 Abs. 1 ZPO i.V.m. Art. 10 Abs. 1 EG-ZPO). Eine Streitigkeit gilt als handelsrechtlich, wenn kumulativ die geschäftliche Tätigkeit mindestens einer Partei betroffen ist, gegen den Entscheid die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht offensteht und die Parteien im schweizerischen Handelsregister oder in einem vergleichbaren ausländischen Register eingetragen sind (Art. 6 Abs. 2 ZPO).
2.2.1. Die Beklagte bestreitet vorliegend die sachliche Zuständigkeit des Handelsgerichts St.Gallen, da es sich nicht um eine handelsrechtliche Streitigkeit nach Art. 6 Abs. 2 ZPO handle […]. Sie macht im Einzelnen geltend, die sachliche Zuständigkeit des Handelsgerichts sei nicht gegeben, wenn eine im Handelsregister eingetragene Partei kein eigenes nach kaufmännischer Art geführtes Gewerbe betreibe. Dementsprechend könne das Handelsgericht nur dann für eine Anfechtungsklage gemäss Art. 75 ZGB sachlich zuständig sein, wenn der Verein wegen Führens eines kaufmännischen Gewerbes zur Eintragung im Handelsregister verpflichtet sei, nicht aber, wenn er sich freiwillig habe eintragen lassen. Bei der Beklagten handle es sich jedoch um einen Verein, der kein nach kaufmännischer Art geführtes Gewerbe betreibe und sich deshalb lediglich freiwillig in das Handelsregister habe eintragen lassen. Das Erfordernis gemäss Art. 6 Abs. 2 lit. c ZPO sei aus diesem Grund nicht erfüllt […]. Da die Beklagte kein nach kaufmännischer Art geführtes Gewerbe betreibe, übe sie auch keine geschäftliche Tätigkeit im Sinne von Art. 6 Abs. 2 lit. a ZPO aus. Im Übrigen sei durch die vorliegende Streitigkeit auch nicht die geschäftliche Tätigkeit der Klägerin betroffen. Es fehle somit auch an der Voraussetzung von Art. 6 Abs. 2 lit. a ZPO […]. Zuletzt stehe vorliegend auch nicht die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht offen (Art. 6 Abs. 2 lit. b ZPO i.V.m. Art. 72 ff. BGG).
2.2.2. Nach dem Wortlaut sowohl von Art. 6 Abs. 2 lit. c ZPO als auch von Art. 6 Abs. 3 ZPO setzt die Qualifikation einer Streitigkeit als handelsrechtlich alleine die tatsächliche Eintragung der jeweiligen Partei im Handelsregister voraus. Auf den Grund der Eintragung nimmt das Gesetz keinen Bezug. Es liesse sich mit dem Gebot der Rechtssicherheit nicht vereinbaren, wenn ein Kläger zur Bestimmung des sachlich zuständigen Gerichts abzuklären hätte, ob die Gegenpartei ein nach kaufmännischer Art geführtes Gewerbe betreibt oder revisionspflichtig ist. Zudem wird das Kriterium der geschäftlichen Tätigkeit abschliessend durch Art. 6 Abs. 2 lit. a ZPO geregelt. Die Rechtsprechung hat es denn auch abgelehnt, Streitigkeiten von der handelsgerichtlichen Zuständigkeit auszunehmen, wenn diese nicht den Geschäfts-, sondern den Privatbereich eines im Handelsregister eingetragenen Einzelkaufmanns betreffen (BGE 138 III 694). Nichts Anderes lässt sich dem von der Beklagten angerufenen Bundesgerichtsentscheid (BGE 142 III 96) entnehmen, wonach die Eintragung als Organ einer Gesellschaft die handelsgerichtliche Zuständigkeit nicht zu begründen vermöge, ist die Beklagte doch nicht als Organ, sondern als Rechtseinheit eingetragen. In der neuen Fassung der ZPO wird dies denn auch präzisiert, in dem eine Eintragung als Rechtseinheit verlangt wird. Die Frage, ob sich die Beklagte als Verein freiwillig oder aufgrund der Eintragungspflicht gemäss Art. 61 Abs. 2 ZGB in das Handelsregister hat eintragen lassen, ist deshalb für die Bestimmung der sachlichen Zuständigkeit bedeutungslos (vgl. HG.2014.115; gl.M. VETTER, in: Sutter/Somm/Hasenböhler/Leuenberger, ZPO Komm., 3. Aufl., Art. 6 N 24; VETTER/BRUNNER, ZZZ 2013, 257 f.; DEL FABRO, Ein Streifzug durch die Anfechtungsklage nach Art. 75 ZGB, AJP 2015, S. 1142; SCHNEUWLY, Die sachliche Zuständigkeit der Handelsgerichte nach Art. 6 Abs. 2 ZPO, 2021, Rz. 594; CHABLOZ, CPC, Petit Commentaire, Art. 6 N 17; BRUNNER, DIKEKomm-ZPO, Art. 6 N 18; a.M. BSK ZPO-VOCK/NATER, 3. Aufl., Art. 6 N 11a; BK ZPO-BERGER, 2012, Art. 6 N 9; SHK ZPO-HÄRTSCH, 2010, Art. 6 N 21; HAAS/SCHLUMPF, KUKOZPO, Art. 6 N 11). Sowohl die Klägerin als auch die Beklagte sind im Handelsregister bzw. in einem vergleichbaren ausländischen Register eingetragen […], weshalb vorliegend die Voraussetzung nach Art. 6 Abs. 2 lit. c ZPO erfüllt ist.
2.2.3. Gemäss Art. 6 Abs. 2 lit. a ZPO muss sich das Prozessverhältnis aus der geschäftlichen Tätigkeit mindestens einer Partei ergeben. Unter eine geschäftliche Tätigkeit fällt nicht nur das Grundgeschäft des Gewerbes, sondern auch das Hilfs- oder Nebengeschäft, das die Geschäftstätigkeit fördert oder unterstützt (BGE 139 III 457 E. 3.2.; BSK ZPO-VOCK/NATER, 3. Aufl., Art. 6 N 8). Der Begriff der geschäftlichen Tätigkeit ist weit zu fassen (BGE 140 III 355 E. 2.3.1).
Vorliegend liegt die geschäftliche Tätigkeit der Klägerin gemäss dem Handelsregisterauszug in der Aufzucht von Arabischen Pferden […]. Sie bietet von ihr aufgezüchtete Pferde zum Verkauf an […]. Dass mit der Teilnahme an Show-Wettbewerben […] die geschäftliche Tätigkeit zumindest unterstützt wird, indem dadurch die Präsenz der Klägerin auf dem Markt verstärkt bzw. die Teilnahme als Werbeinstrument für die Klägerin dient, liegt auf der Hand. So ist auch davon auszugehen, dass der Verkaufswert des betreffenden Pferdes beeinflusst wird, wenn dieses eine gute Platzierung erreicht. Die Beklagte weist selbst darauf hin, dass ein Pferd, welches auf Pferdeschauen […] gut abschneidet, einem ästhetischen Ideal nahekomme […]. Dass dadurch der Verkaufswert zumindest dieses Pferdes beeinflusst wird, ist offensichtlich. Es kann entgegen den Ausführungen der Beklagten somit nicht davon ausgegangen werden, dass die geschäftliche Tätigkeit der Klägerin nicht betroffen ist, wenn ein Pferd einer Mitbewerberin nicht vom Wettbewerb ausgeschlossen wird. Die Voraussetzung nach Art. 6 Abs. 2 lit. a ZPO ist demnach erfüllt. Das Prozessverhältnis ergibt sich aus der geschäftlichen Tätigkeit mindestens der Klägerin. Ob auch die geschäftliche Tätigkeit der Beklagten betroffen ist, kann offenbleiben (BGE 138 III 694).
2.2.4. Bei Anfechtungsklagen nach Art. 75 ZGB handelt es sich um eine nicht vermögensrechtliche Streitigkeit (BGE 108 II 15 E. 1a mit Hinweis auf BGE 82 III 296 E. 1; BSK ZGB I-SCHERRER/BRÄGGER, 7. Aufl., Art. 75 N 33). Dass mit der Anfechtungsklage als Gestaltungsklage vorliegend auch pekuniäre Interessen verfolgt werden, ändert nichts an dieser Qualifikation (BSK ZGB I-SCHERRER/BRÄGGER, Art. 75 N 33). In nicht vermögensrechtlichen Streitigkeiten steht die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht (Art. 72 ff. BGG) immer offen (Art. 74 BGG e contrario). Vorliegend sind damit die Wesenselemente von Art. 6 Abs. 2 ZPO grundsätzlich erfüllt (Art. 6 Abs. 1 ZPO i. V. m. Art. 10 EG-ZPO).
2.2.5. Speziell ist zudem auf den Umstand einzugehen, dass es sich vorliegend um eine Streitigkeit aus dem Vereinsrecht handelt. Der Wortlaut von Art. 6 Abs. 2 ZPO nimmt zwar keinen Bezug auf die materiellrechtliche Natur des eingeklagten Anspruchs, weshalb die Handelsgerichte grundsätzlich unabhängig von der materiellrechtlichen Qualifikation eines Anspruchs zuständig sein können. Es stellt sich jedoch die Frage, ob Art. 6 Abs. 4 ZPO in dem Sinne als Negativkatalog zu verstehen ist, dass die Zuständigkeit der Handelsgerichte in solchen Streitigkeiten generell entfällt, wenn die im Absatz genannten Streitigkeiten von den Kantonen einem anderen Gericht bzw. nicht dem Handelsgericht zugewiesen werden (SCHNEUWLY, a.a.O., Rz. 409 f.). Zudem stellt sich die Frage, ob in Art. 6 Abs. 4 ZPO nicht genannte Streitigkeiten gestützt auf Art. 6 Abs. 2 oder 3 ZPO vom Handelsgericht beurteilt werden können, wenn die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind oder ob das Schweigen des Gesetzgebers so zu verstehen ist, dass diese Streitigkeiten generell von der Handelsgerichtsbarkeit ausgeschlossen sind.
2.2.5.1. Nach dem Wortlaut von Art. 5 Abs. 1 ZPO bezeichnet das kantonale Recht das Gericht, welches als einzige kantonale Instanz für die in lit. a bis i des Artikels genannten Streitigkeiten zuständig ist. Soweit ein Kanton mit einem Handelsgericht solche Streitigkeiten einem anderen Gericht, etwa dem Obergericht zuweist, kann davon abweichend keine zwingende Zuständigkeit des Handelsgerichts gestützt auf Art. 6 Abs. 2 ZPO bestehen. Dies wäre mit dem Gesetzeswortlaut, wonach für alle in lit. a bis i von Art. 5 Abs. 1 ZPO genannten Streitigkeiten ein Gericht zuständig sein muss, nicht vereinbar.
2.2.5.2. Streitigkeiten aus Handelsgesellschaften und Genossenschaften sind jedoch in Art. 5 Abs. 1 ZPO nicht erwähnt. Es ist deshalb davon auszugehen, dass eine zwingende (Art. 6 Abs. 2 ZPO) oder fakultative (Art. 6 Abs. 3 ZPO) Zuständigkeit des Handelsgerichts selbst dann bestehen kann, wenn Streitigkeiten, die ihre Grundlage in Art. 552 – 926 OR haben, nicht generell dem Handelsgericht zugewiesen sind. Art. 6 Abs. 4 lit. b ZPO eröffnet den Kantonen mit anderen Worten bloss die Möglichkeit, solche Streitigkeiten über den Anwendungsbereich von Art. 6 Abs. 2 bzw. Abs. 3 ZPO hinaus dem Handelsgericht zuzuweisen. Aufgrund des Vorrangs des vereinfachten Verfahrens (Art. 243 Abs. 3 ZPO) steht eine Senkung der Streitwertgrenze zwar nicht in der Disposition der Kantone. Sie haben jedoch die Möglichkeit, dem Handelsgericht solche Streitigkeiten unabhängig von einer allfälligen geschäftlichen Tätigkeit der Parteien (Art. 6 Abs. 1 lit. a ZPO) oder einem Handelsregistereintrag (Art. 6 Abs. 2 lit. c und Art. 6 Abs. 3 ZPO) zuzuweisen. So wird das Handelsgericht etwa zuständig, wenn Verantwortlichkeitsansprüche gegen Organe von Handelsgesellschaften oder Genossenschaften zu beurteilen sind und zwar unabhängig davon, ob die Organe als Rechtseinheit im Handelsregister eingetragen sind oder nicht.
2.2.5.3. Im Vereinsrecht besteht diese Möglichkeit einer erweiterten handelsgerichtlichen Zuständigkeit gestützt auf Art. 6 Abs. 4 lit. b ZPO offensichtlich nicht, da es sich beim Verein weder um eine Handelsgesellschaft noch um eine Genossenschaft handelt. Dies vermag aber nichts daran zu ändern, dass die Eintragung eines Vereins im Handelsregister regelmässig zur Folge hat, dass Streitigkeiten aus dem Vereinsrecht am Handelsgericht anhängig gemacht werden müssen (Art. 6 Abs. 2 ZPO) bzw. können (Art. 6 Abs. 3 ZPO), wenn der Streitwert Fr. 30'000.00 übersteigt (Art. 6 Abs. 2 lit. b ZPO) und die geschäftliche Tätigkeit zumindest einer Partei betroffen ist (Art. 6 Abs. 2 lit. a ZPO). Die Eintragung im Handelsregister hat somit zur Folge, dass sich der Verein auch im Vereinsrecht weitgehend der Handelsgerichtsbarkeit unterwirft, d.h. das Handelsgericht für Streitigkeiten zuständig ist, wenn die übrigen Voraussetzungen von Art. 6 Abs. 2 ZPO bzw. allenfalls i.V.m. Art. 6 Abs. 3 ZPO erfüllt sind. Ein gesetzgeberischer Wille, wonach Streitigkeiten aus dem Vereinsrecht generell von der Handelsgerichtsbarkeit ausgeschlossen werden sollten, lässt sich aus Art. 6 Abs. 4 lit. b ZPO somit nicht ableiten.
2.2.5.4. Diese Gesetzesauslegung berücksichtigt namentlich, dass vereinsrechtliche Streitigkeiten unter dem kantonalen Recht regelmässig von den Handelsgerichten beurteilt wurden (vgl. etwa BGer 4A_490/2009). Dies gilt auch für Streitigkeiten aus dem Recht der einfachen Gesellschaft, die wohl konsequenterweise ebenfalls nicht mehr in die Zuständigkeit der Handelsgerichte fallen würden, wenn Art. 6 Abs. 4 lit. b ZPO in dem Sinne zu verstehen wäre, dass Streitigkeiten aus nicht genannten Gesellschaftsverhältnissen, generell von der Handelsgerichtsbarkeit ausgeschlossen wären. Namentlich Abrechnungsprozesse zwischen im Handelsregister eingetragenen Unternehmen im Rahmen der Liquidation von einfachen Gesellschaften, so etwa Streitigkeiten aus der Auflösung von Baukonsortien, wurden traditionellerweise von den Handelsgerichten entschieden. Soweit ersichtlich, lässt sich den Materialen nicht entnehmen, dass der Gesetzgeber mit der Regelung von Art. 6 Abs. 4 lit. b ZPO daran etwas ändern wollte. Ähnlich dürfte es sich bei Stiftungen verhalten. Stiftungen sind zwar juristische Personen, aber keine Gesellschaften, da es sich nicht um Personenvereinigungen handelt. Es liesse sich deshalb kaum begründen, weshalb mit der Spezialregelung von Art. 6 Abs. 4 lit. b ZPO, welche das Gesellschaftsrecht betrifft, stiftungsrechtliche Streitigkeiten von der Handelsgerichtsbarkeit generell ausgeschlossen werden sollten.
[…]